Приговор с сюрпризом

Предлагаемая здесь логическая задача, как новый парадокс, впервые была опубликована Майклом Скривеном. Затем ее разбирали весьма маститые математики, такие как Д. О’Коннор, Т. О’Бейрн, У. Куайн  и другие. Я предлагаю свой вариант в виде рассуждений Профессора, Простока и Зануды.

Профессор. А вот вам  задача, впервые обсуждавшаяся в серьезном философском английском журнале  "Mind" в середине 20-го века.
Один ужасный разбойник, на счету которого было немало кровавых злодеяний, был наконец-то пойман и осужден на смертную казнь. Приговор суда был таков: ты будешь повешен в один из семи дней на следующей неделе, причем ты не будешь знать заранее, в какой именно день это произойдет; тебе сообщат об этом в день казни утром, до полудня.

Понятно, что судья хотел в отместку заставить злодея мучиться неопределенностью, ведь говорят, что ожидание смерти хуже, чем сама смерть. Однако адвокат разбойника шепнул ему наедине: приговор не может быть исполнен, ибо противоречив. В самом деле, в последний день недели казнь не может состояться, так как, будучи живым в предпоследний день после полудня, разбойнику не трудно догадаться, что казнь назначена на следующий, единственный день, когда еще может свершиться правосудие. Таким образом, разбойник знал бы о дне казни раньше, чем ему об этом сообщили, а исполнение казни в этот день противоречит приговору. Аналогично, казнь не может состояться и в шестой, предпоследний, день: так как осужденный дожил до пополудни пятого дня, то, стало быть, он уже знает, что казнить его могут только в шестой день (в седьмой день этого не может быть, как мы выяснили ранее). По той же причине казнь не может состояться в пятый и другие дни недели. Разбойник успокоился благодаря логически безукоризненным доводам адвоката. Однако в один из дней недели, в которую по решению суда должна была состояться казнь, рано утром в камеру разбойника явился тюремщик вместе с палачом и заявил, что казнь назначена на сегодня после полудня. “Но это не возможно, поскольку противоречит приговору!”  — удивленно вскричал разбойник. Казнь, тем не менее, была произведена в полном соответствии с приговором. В чем тут загвоздка?

Простак. Скорее всего, адвокат в чем-то ошибся.

Зануда. Нет, адвокат рассуждал вполне логично.

Простак. Если казнь состоится, то это будет противоречить приговору в той его формулировке, в которой он был объявлен судьей. По приговору разбойник не должен заранее  знать, когда его казнят; он должен узнать об этом в день казни утром от тюремщика. Адвокат же убедил разбойника, что тот может узнать о дне казни накануне без объявления ему об этом, а чисто логическим путем. При этом не важно, на какой именно день назначена экзекуция. Таким образом, разбойник получил предварительное знание о дне казни и именно поэтому казнь не может состояться. Перечитайте приговор. В нем требуется, чтобы осужденный не знал  о дне казни иначе, чем посредством объявления.

Зануда. Вроде бы все верно, но предварительное знание, добытое с помощью адвоката логическим путем, есть знание не о конкретном дне казни, а о том, что приговор противоречив. Впрочем, можно считать, что это знание и о дне, хотя оно и выглядит несколько странно: день казни логически не возможен.

Простак. Быть может, следует пересмотреть дело в суде высшей инстанции и сформулировать приговор так, чтобы не возникало парадокса?

Профессор. В данном случае есть аргументы в пользу решения о том, что исполнение приговора суда первой инстанции не противоречит его формулировке. Действительно, логические рассуждения своего адвоката разбойник принял в качестве бесспорного доказательства невозможности своей казни и успокоился. Теперь он знал, что ни в один из семи дней казнь не может произойти. Когда утром, еще до полудня, в камеру зашли тюремщик и палач, узник заранее знал, что казнь не может произойти и в этот день. Когда же ему объявили о повешении сегодня после полудня, он был удивлен (что, кстати, свидетельствует об отсутствии предварительных знаний об услышанном).  Таким образом, все формальности были соблюдены и оставалось только дождаться полудня, чтобы уже через минуту, если хотите, привести приговор в исполнение.

Простак. Все же меня не оставляет смутное ощущение, что адвокат просто усыпил бдительность своего подопечного казуистическими рассуждениями, чем и воспользовались власти.

Профессор. Сейчас я вам покажу, что накануне свершения казни разбойник действительно не знал, что завтра его повесят. Предположим, что казнь была назначена на какой-то из семи дней. Обозначим номер этого дня через x. Что же именно знал или мог знать разбойник накануне, т.е. в день x - 1 после полудня? Он мог рассуждать следующим образом. Поскольку по логике адвоката в день x + 1 и последующие дни казнь не возможна, то остается день x — единственный последний день, когда еще возможно исполнение правосудия. Этот несложный вывод есть не что иное, как знание разбойника, хотя и не все доступное ему знание. Однако он тут же обнаруживает, что полученное утверждение противоречит приговору. Чтобы снять противоречие, разбойник заключает, что казнь не возможна в день x. Данный вывод составляет еще одну часть полученного разбойником знания. В итоге накануне дня x полное знание разбойника относительно следующего дня можно сформулировать так: казнь возможна и казнь не возможна. Очевидно противоречие. Согласно логике противоречивое высказывание может быть только ложным, а ложное высказывание не выражает никакого знания. Таким образом, получается, что казнить разбойника можно в любой день, поскольку накануне он не будет располагать знанием о дне казни.

Чтобы вам было понятнее, я рассмотрю частный случай, связанный с последним днем недели, когда приговор еще, вроде бы, можно исполнить. Итак, тюремщик приходит утром в камеру осужденного и спрашивает: “когда состоится казнь?”. “Сегодня, но я об этом знал еще вчера, а потому казнь не состоится сегодня”, — отвечает разбойник. “Ты не знал и не знаешь дня казни, поскольку не можешь точно указать день, а потому ты будешь повешен сегодня после полудня”, — сказал тюремщик.

Простак. Ничего не понимаю, оказывается казнить разбойника можно в любой, даже последний день недели, но тогда получается, что в рассуждениях адвоката таится ошибка. В чем же она?

Профессор. Давайте разберемся, на чем основывались рассуждения адвоката и к чему они привели. Адвокат исходил из того, что приговор не противоречив, а результатом его логических рассуждений явилось заключение, что приговор все же противоречив и именно поэтому не может быть выполнен. Однако из противоречия можно вывести что угодно. Противоречие могут использовать обе стороны судебного процесса, адвокат и прокурор, в пользу своей победы. Вопрос лишь в том, кто раньше сдаст свои позиции или, лучше сказать, чью сторону примет судья в затянувшемся споре сторон. Мое же рассуждение о дне казни x также опиралось на предположение, что приговор не противоречив, но в отличие от адвоката я пришел к противоречию не приговора, а знания разбойника о дне казни и поэтому приговор может быть исполнен.

Наличие противоречия всегда связано с неким порочным кругом, по которому наши рассуждения могут бродить сколь угодно долго. Вот вам пример, в котором порочный круг хорошо виден. Итак,  тюремщик приходит в последний день утром в камеру осужденного и спрашивает: “когда состоится казнь?”. “Сегодня, но я об этом знал еще вчера”, — отвечает разбойник. Заметьте, он ничего не говорит о невозможности казни, избегая противоречивости своих знаний. “Я знаю формулировку приговора, и поскольку твоя осведомленность не позволяет его исполнить, то казнь не состоится. Но раз так, то твое знание о дне казни ложно или, иначе говоря, ты не знал о дне казни. Следовательно, казнь произойдет сегодня. Но тогда ты знал об этом и, следовательно, казнь не состоится …”, — так стал бесконечно долго рассуждать тюремщик, ибо не мог разрешить противоречие. Это противоречие между знанием разбойника и приговором. Но информация о возможном знании или незнании разбойника включена, если вы еще помните, в саму формулировку приговора. Так что это противоречие, как будто, самого приговора.

Зануда. Из последнего вашего рассуждения, профессор, я понял, что приговор все-таки не может быть приведен в исполнение хотя бы потому, что тюремщик будет бесконечно долго рассуждать, как ему быть. Однако причину этого я усматриваю в том, что разбойник просто не сообщил тюремщику полного своего знания. Ведь благодаря адвокату он знал, что приговор противоречив, а это знание больше, чем то, которое содержится в фразе “Казнь будет сегодня, но я об этом знал еще вчера”.

Профессор.  Действительно, адвокат сообщил разбойнику, используя логические рассуждения, нечто большее, а именно, что приговор не может быть исполнен. Но для исполнения приговора требовалось лишь, чтобы разбойник не знал о дне казни накануне. Что же знал разбойник о дне казни? А только то, что ни в один из семи дней недели казнь не может состояться. Но если он скажет об этом в ответ на вопрос тюремщика  “когда состоится казнь?”, последний должен будет констатировать, что разбойнику не известен день казни ни сегодня, ни накануне, ни в любой другой день. Так что, исполнить приговор можно.

Простак. А все же у разбойника был шанс спастись! Для этого ему нужно было, не мудрствуя лукаво, просто написать в записке произвольный день предполагаемой казни и хранить ее на всякий случай. С вероятностью 1/7, небольшой, но все же не нулевой, он совпал бы с назначенным днем. Представьте, в пятницу утром, например, в тюремную камеру входит палач и объявляет, что сегодня он исполнит приговор, а осужденный достает записку, в которой написано примерно следующее: “Сегодня, в понедельник я уже знаю, что казнь назначена на пятницу”.

Профессор. Пожалуй, так разбойник мог бы миновать расплаты за свои злодеяния. Я хотел бы обратить ваше внимание не на то, можно ли в действительности исполнить приговор, а на трудности, которые могут встретиться при решении логических задач.