Задачка для математиков

Все 384 совершенных магических квадрата, где по 40 измерениям получается константа (34) – то есть четыре клетки пронумерованной матрицы дают в сумме это число, опубликованы мною здесь ранее.

http://www.proza.ru/2015/07/24/147

Но хорошая мысля приходит, если верить народу, опосля!
В известной игре «15» я здесь же предложил добавить число 16 на каждую клетку дна и благодаря этому стала возможной игра «в магические квадраты».
И вот встало вопрос: можно ли перемещая пятнадцать пронумерованных ладей на такой доске получать из одного магического совершенного квадрата другой совершенный магический квадрат?
Каково число таких преобразований, каково общее число подобных матриц и не выстраиваются ли решения в 12 пакетов по 32 квадрата?
Интуитивно чувствую, что это очень интересная математическая проблема, но у меня уже нет сил и ресурса времени на её решение, хотя имея представление об общей технологии преобразований я предполагаю две версии ответов.