Записки о Теореме Ферма. 12. Сказочная красота

Спустя два месяца после решения проблемы и осмысления всех нюансов доказательства стало возможным изложить суть и метод доказательства почти на пальцах. Оставляя всю нетворческую часть на математиков-формалистов, я выну из доказательства лишь самую его суть, где и покажу ту самую красоту, которая так восхитила великого математика.

Так вот, оказалось, что 80% доказательства предсталяет собой скучное сведение всех разновидностей равенства Ферма к одному базовому. Работа это на протяжении столетий делалась неоднократно, но, как будто, так никто и не оформил ее в отдельный документ, и потому 90% разговоров ферматист тратит на просвещение аудитории простейшим азбучным истинам. Я решил на это дело плюнуть и сразу рассмотрел базовый случай с известными свойствами (на их доказательство я в свое время тоже угробил немало времени), который и доказал практически без расчетов, причем тремя разными, но близкими способами. Из них лишь в третьем способе используется лемма, для которой нужно знание решения линейных диафантовых уравнений, которые, наверное, и использовал Пьер Ферма. Но основная и заключительная часть доказательства во всех трех способах одинакова и сказочная красота находится именно в этом месте. О ней и пойдет разговор.

Для того, чтобы показать саму суть доказательства ВТФ, мы не будем забираться в дебри школьных расчетов – нам достаточно понять всего ДВЕ простых вещи: феномен второй цифры и как устроена математическая «русская матрешка».

Феномен второй цифры, конечно, оригинален, но не сногсшибателен. Он заключается в том, что при возведении в простую степень n любого числа, записанного в n-ичой системе, вторая цифра результата (степени A^n) НЕ зависит от второй цифры основания (исходного числа A). Случай, конечно, уникальный: во всех остальных случаях, если в сомножителях поменять хоть одну вторую цифру, то изменится и вторая цифра произведения (результата). А вот вторая цифра (и двузначное окончание) простой степени зависит ТОЛЬКО от последней цифры основания.

Из этого возникает и более красивый феномен: и трехзначное окончание более сложной степени – с показателем n^2 – тоже зависит только от последней цифры основания. И вообще: (k+1) окончание степени с показателем n^k зависит только от ОДНОЙ (последней) цифры А' основания А. И вот в равенстве Ферма каждое из чисел А, В, С есть окончание степени с показателем n^k, где k – сколько угодно велико. Таким образом, все цифры чисел А, В, С однозначно определяются только их последними цифрами в степени n^k. Ну и, понятно, никакого решения уравнение Ферма не имеет. Нам осталось лишь показать, что из k=2 логически следует и k=3, 4 и т.д. до бесконечности. Вот тут-то и начинается КРАСОТА решения.

Из простейших свойств равенства Ферма совсем легко получить факт: двузначное окончание А_[2] числа А равно двузначному окончанию степени a^n (и, таким образом, однозначно определяется только последней цифрой числа а). Но оказалось,  что верно и наоборот: двузначное окончание а_[2] числа а равно двузначному окончанию степени А^n!!! Вот, по существу, тот золотой ключик, который 350 лет безнадежно искали многотысячные полчища математиков: на их пути стояла самая пуленепробиваемая крепость – вторые цифры вторых сомножителей p, q, r в числах A=ap, B=bq, C=cr. И вот если бы удалось показать, что вторые цифры в числах p, q, r равны нулю (а про последние известно, что у чисел, не кратных n, они равны 1), то великую теорему Ферма легко мог бы доказать любой грамотный школьник.

28 лет у меня ушло на то, чтобы догадаться, что ключ доказательства ВТФ спрятан во вторых цифрах и что именно нужно сделать, чтобы они стали нулями. В начале мая 2017-го головоломка была решена, причем сразу несколькими способами! В первом способе мне вообще удалось обойтись без рассматрения вторых цифр в числах p, q, r, поскольку я сразу получил трехзначные окончания их степеней. Логика второго способа больше оказалась философской, нежели математической: в левой части равенства вторых цифр нет, а в правой они есть, следовательно, они должны быть равными нулю и в правой части (хотя это спорно).

А вот третий вариант неожидан: я в принудительном порядке уменьшил вторые цифры чисел p, q, r до нуля. Следовательно, искомое положительное решение – (А, В, С) должно стать МЕНЬШЕ настоящего, не уменьшенного решения, однако оно и в этом случае оказалось бесконечно большим! Из чего следует, что неуменьшенное решение тем более является бесконечо большим, что означает отсутствие решения уравнения Ферма.

А сам Пьер Ферма нашел, скорее всего, четвертый способ (найденный мною дня через два): вторые цифры в числах p, q, r равны нулю. (Этот факт я доказал несколько лет назад и опубликовал на математических сайтах, но тогда не сообразил правильно его использовать.)

Так вот, все эти способы нужны были всего лишь для того, чтобы из равенства по двузначным окончаниям A=ap=a^n получить равенство по двузначным окончаниям A=a=a^n (поскольку p=01). И вот альянс по двузначным окончаниям равенств A=a^n и a=А^n и порождает «истинную красоту», столь поразившую Пьера Ферма.

Если А_[2]=a^n_[2] и а_[2]=А^n_[2], то подставляя значение а_[2] из второго равенства в первое, мы получаем в правой части окончание А^{nn}_[2], где в показателе степени основание n содержится уже во ВТОРОЙ степени! Но такая степень, согласно теореме об окончаниях сложной степени, однозначно определяет уже ТРЕХзначное окончание числа в левой части, т.е. А_[3]. И теперь равенство А_[2]=a^n_[2] превращается в равенство А_[3]=А^{nn}_[3].

А теперь «матрёшкой» (так это число окрестил мой друг А.Серединский) оказывается уже число А: А_[2]=a^n_[2]. И подставляя ее в правую часть, мы получаем следующее равенство: А_[4]=а^{nnn}_[4], или А_[4]=а^{n^3}_[4]. И так ДО БЕСКОНЕЧНОСТИ!

Таким образом, числа А, В, С в равенстве Ферма представимы в виде окончаний A=a'^{n^k}, B=b'^{n^k}, C=c'^{n^k}, где a', b', c' – последние цифры чисел А, В, С, а k сколь угодно велико. При этом никаким другим цифрам места в равенстве Ферма НЕТ!

Забавно, что понять красоту доказательства ВТФ первым дано российским обывателям, ибо слов «теорема Ферма» профессионалы боятся, как черти ладана. Вчера Французская Академия наук отказалась рассматривать мое доказательство ВТФ на том основании, что все предлагаемые доказательства оказывают ошибочными! Логика, конечно, сугубо математическая: высокая вероятость ошибки приравнивается единице – наличию заведомой ошибки! И это при том, что я готов не только оплатить все расходы на рецензирование, но и наградить математика, нашедшего системную ошибку в доказательстве, премией!

Ау, профессора, вам что, деньги не нужны? Или вы боитесь нечистой силы?..

=============

Публикация: [1526] viXra:1707.0092 [pdf]