Теорема Ферма. Полное доказательство. 2а

2а. Подготовка равенства

Равенство Ферма заслужило того, чтобы к нему относиться с почтением – как к человеку.

В формулировке ВТФ говорится лишь, что неизвестные числа X, Y, Z – это какие-то целые и положительные числа. Ну, то что с нулевым числом решение существует, это очевидно. А вот почему запрещены отрицательные числа, непонятно – как будто с отрицательными числами равенство Ферма возможно. Ну да это не мое собачье дело – «Жри, что дают!», как учат нас слуги народа.

Трудно себе представить, что теорема может быть доказана не методом от противного, и потому мы берем гипотетическое равенство Ферма и смотрим на него, как бараны на новые ворота: с какого конца к нему подступиться? На месте оснований X, Y, Z и показателя степени m в общем уравнении X^m+Y^m=Z^m могут стоять какие-угодно целые положительные числа, коих бесконечное множество. Но даже самого начального образования достаточно, чтобы увидеть, что рассматривать отдельно, например, случай только с четными X, Y, Z не имеет смысла, так как он сводится к случаю, когда четно лишь одно из трех оснований. И вообще, все случаи, когда числа X, Y, Z имеют общие делители, сводятся к случаю со взаимно простыми числами X, Y, Z.

Короче, прежде чем приступить к анализу равенства Ферма, нужно очистить его от разной шелухи – постричь, помыть и придать ему интеллигентный вид: числа X, Y, Z нужно поделить на их НОД (наибольший общий делитель), а в показателе степени нужно выделить лишь один простой сомножитель больший двух и с помощью подстановки превратить исходное равенство в изящное равенство простой степени n: A^n+B^n=C^n, к которому сводятся все равенства Ферма за исключением равенств со степенью m=2^k. Последний случай сводится к степени n=4 и доказывается отдельно. А мы остаемся с нечетной степенью n>2 и взаимно простыми А, В, С.

И даже более того: оказывается, и числа А, В, С нужно записать в системе счисления с простым основанием n! Почему с простым? Да потому что родственная и уже доказанные малая теорема Ферма оперирует простой степенью и именно в простой системе счисления имеет изящное свойство: все числа, не кратные n, в (n-1)-й степени оканчиваются на цифру 1! И потому с первых же дней работы с ВТФ я стал исследовать системы счисления с простым основание, находя всё новые красивые свойства в отношениях между числами вообще и особенно между степенями.

Это сегодня профессиональные математики относится к ферматистам, как бульдоги к дворняжкам, а в 1990-е академические институты еще отвечали ферматистам по существу. Ну и в одном из таких ответов из Французской Академии я узнал, что и система счисления с простым основанием, и степенные свойства равенства Ферма хорошо и давным давно изучены. Так что я наоткрывал массу Америк, но в то же время получил косвенное подтверждение, что нахожусь на правильном пути.

Описание всех необходимых, но с очень простыми и по существу школьными доказательствами, свойств равенства Ферма занимает более 80%  всего объема доказательства ВТФ. Поэтому я оставил в доказательстве ВТФ лишь анализ базового случая, принимая свойства базового равенства в качестве исходных истин, а все базовые свойства объединил в отдельную теорему о базовом равенстве. Единственное, что все же необходимо сделать, так это объяснить эти свойства. К чему и перехожу, а предварительно введу обозначения, но прежде всего напомню,  что все целые числа рассматриваются в системе счисления с простым основанием n>2.

Обозначения:

A', A'', A_(k) – первая, вторая, k-я цифра от конца в числе A. Например, в числе 3417 цифра 7 – 1-я, 1 – 2-я, 4 – 3-я, 3 – 4-я. (Некоторые математики такую нумерацию категорически не признают.)

A_[k] – k-значное окончание числа A (т.е. A_[k]=A mod n^k). Любое окончание само является некоторым числом. Например, трехзначное окончание в числе 3417 будет 417;

nn=n*n=n^2; «=>» – из этого следует, что…; «<=» – это следует из… .

Ну а теперь рассмотрим известные свойства базового равенства (с простым n>2):

1°) A^n=C^n-B^n [=(C-B)P], или B^n=C^n-A^n [=(C-A)Q], или C^n=A^n+B^n [=(A+B)R]. Откуда (после подстановки значений из квадратных скобок в любое из равенств):

1a°) (C-B)P+(C-A)Q-(A+B)R=0, где наибольшие общие делители соответственно в парах чисел (A, C-B), (B, C-A), (C, A+B) мы обозначим буквами a, b, c. 

А вот числа в парах (P, C-B), (Q, C-A), (R, A+B) взаимно простые, за исключением случая, когда одно из чисел А, В, С, например В, кратно n. И тогда из всех соможителей n числа B^n одно и только одно n попадает в большой сомножитель Q, а остальные остаются в первом сомножителе – в С-В. Из-за этого довольно стройная логическая картина равенства Ферма рушится: числа С-В и Q не являются степенями, в отличие от остальных четырех чисел (С-А, Р, А+В и R). Этот диссонанс оказался столь существенным, что ферматисты разделили доказательство ВТФ на два больших случая:
1) – когда число ABC не кратно n, то есть когда цифра (ABC)';0, и
2) – когда одно из чисел А, В, С, например В, кратно n.

Если первый случай ВТФ еще представлялся доказуемым, то второй почти во всех идеях порождал неразрешимые ситуации. И оказалось фантастической удачей, что в моих последних доказательствах второй случай оказался вообще как бы пустым местом – он доказывается с помощью двух линейных уравнений с одним неизвестным на уровне первых уроков алгебры. Его доказательство занимает всего две строки (см. 7°). И потому всё доказательство сосредоточено на первом случае – с (ABC)';0. И тогда взаимно простые сомножители в квадратных скобках в 1° являются степенями:
2°) C-B=a^n, P=p^n, A=ap; C-A=b^n, Q=q^n, B=bq; A+B=c^n, R=r^n, C=cr.

С самого начала исследования ВТФ мне стало ясно, что большую роль играет положительное число A+B-C. Оно является как бы паспортом равенства Ферма:
3°) число U=A+B-C=un^k, где k>1, откуда (A+B)-(C-B)-(C-A)=2U.
По меньшей мере два нуля ему обеспечивают сомножители P, Q, R, оканчивающихся на 01, поскольку их основания p, q, r оканчиваются на 1, а эту единицу порождает малая теорема Ферма в (n-1)-х степенях чисел А, В, С.

3a°) Но если, например, B_[k]=0, а B_[k+1];0 (т.е. В оканчивается на k нулей), то окончание (C-A)_[kn-1]=0 (одно n из их общего числа kn забирает себе – в правой части равенства –сомножитель Р), где (при k>1 и n>2) kn-1>k+1, то в равенстве
3b°) [(A+B)-(C-B)-(C-A)]_[k+1]=(2U)_[k+1] (см. 3°) число (C-A)_[k+1]=0 и никакого влияния на (k+1)-значные окончания чисел не оказывают. (Но если мы вдруг узнаем, что окончание (2U)_[k+1]=0, то, отбросив число С-А, мы из 3b° найдем, что и В[k+1]=0.)

Из простейшего факта, что p'=q'=r'=1, следует и P_[2]=Q_[2]=R_[2]=01, а отсюда и U_[2]=0, и далее все соотношения 5a–5d-I°, с единственным замечанием относительно числа k:
k – это: а) длина в цифрах наименьшего единичного окончания в числах P, Q, R, из чего следует: б) число нулей на конце числа U, из чего (см. 3°) следует: в) число нулей на конце одного из чисел А, В, С, кратного n, если таковое имеется, г) показатель степени показателя степени в хитром окончании (a'^{n^k})_[k+1] (см. 4°).

Окончание следует.

===================================

Публикация: http://vixra.org/author/victor_sorokine