Сам в себе, или парадокс Рассела

Парадокс Рассела является следствием проблемы определения понятия "множества всех множеств" в математической теории множеств. В формулировке Рассела парадокс выглядет так: "Пусть K — множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента. Содержит ли K само себя в качестве элемента? Если да, то, по определению K, оно не должно быть элементом K — противоречие. Если нет — то, по определению K, оно должно быть элементом K — вновь противоречие." Формальная логика бессильна в интерпретации этих парадоксов и предлагает исключить из теории множеств понятие "множество всех множеств".

Суть парадокса - во фразе "сам в себе".
Откуда появляется проблема самости ("сам в себе"), или "самореференция"?

Например, рассмотрим парадокс брадобрея. Его в 1901 году предложил Бертран Рассел. Суть парадокса такова:
В городе есть брадобрей, который бреет всех мужчин, которые не бреются сами. Бреет ли брадобрей сам себя?
Если брадобрей бреет сам себя, то он не попадает под свое собственное правило, потому что он бреется сам.
Если брадобрей не бреет сам себя, то он попадает под свое собственное правило, потому что он не бреется сам. В обоих случаях возникает логическое противоречие.

Составляем первый список (первое множество) жителей деревни:

жители = цирюльник (житель) + Вася  + Петя + Коля

Теперь составляем второй список (множество) - список клиентов цирюльника:

клиенты цирюльника = Вася + Петя + Коля

Из двух списков получаем обобщенный список:

жители = цирюльник (житель) + клиенты цирюльника

Если цирюльник бреет самого себя, то он - клиент самого себя и список изменится:

жители = цирюльник (житель) + цирюльник (клиент) + Вася + Петя + Коля

Чтобы не было проблемы, цирюльник должен стать "сам в себе":

цирюльник (сам в себе) = цирюльник (житель) + цирюльник (клиент)

Все бы ничего, но только списки изменились.

А теперь рассмотрим пример с алфавитом: если к буквам алфавита добавить еще одну сущность под названием "русский алфавит", то, казалось бы, получится полная ерунда. Но... Пусть элементы а, б, с, д... - это "маленькие" (строчные) буквы русского языка, а элемент А - это оператор перехода в верхний регистр (Caps Lock), т.е. печать прописных букв. Образно говоря, элемент А - это переход в старый и одновременно новый алфавит. Тем самым, мы получаем ситуацию "сам в себе", когда внутри одного и того же алфавита содержится такой же алфавит, привносящий иной смысл словам. Звуки и прочее при этом не меняются, а вот смысл у слов, написанных с прописных букв, появляется другой. Например, используя вариации Caps Lock, два совершенно одинаковых по звучанию слова "бондарь" и "Бондарь" приобретают разный смысл. Слово "бондарь" - это специалист по изготовлению тары из древесины, а "Бондарь" - фамилия, или имя собственное. "Бондарь" с маленькой буквы - это специалист, а "Бондарь" с большой буквы - это личность. Если по аналогии с парадоксом брадобрея собрать в деревне всех бондарей и поинтересоваться, не найдется ли среди них такой "Бондарь", который даже не знает, кто такой "бондарь", то не будет странным, что таковой найдется и на вопрос, почему он пришел, не стоит удивляться ответу "так я же Бондарь". Получаем заготовку для нового парадокса.

Или другой пример. Пусть имеется некая конкретная картинка. Как можно в эту же самую картинку добавить еще одну такую же картинку, чтобы выполнить условие "сам в себе"? Самый простейший ответ - это использование системы зеркал, когда осуществляется многократное отражение одного и того же объекта.

Чтобы понять онтологию проблемы Рассела,рассмотрим фразу "сущности существуют в сущем".

Любой объект, используя схему сущностно-сущего разложения, можно представить в виде составных сущностей:
Рис.1
Например: анатомическое строение человека есть результат его сущностно-сущего разложения на составные сущности:
Рис.2
В этом случае человек является сущим, или пространством, содержащим составные сущности, или множеством своих составных сущностей.
Для сравнения с эталоном, расширим фразу "сам в себе" до вида "сам существует в себе". Здесь "сам" будет сущностью, а "в себе" - сущим. Легко видеть, что и "сам", и "в себе" - тождественные понятия: и то, и другое - просто "сам". Сущность не только существует в сущем, но и тождественна сущему. А этого быть не может ни при каких обстоятельствах, поскольку существующая сущность - это конкретный объект, а сущее - пространство, в котором существует данный объект. В парадоксе "Брадобрей", как литературном отражении парадокса Рассела, сущим является непосредственно сам брадобрей, а его профессия "брадобрейство" - составной сущностью. В результате, происходит отождествление "брадобрея" с "брадобрейством", что приводит к парадоксу.

Таким образом, в парадоксе Рассела сущность отождествляется с сущим (философия), или объект отождествляется с пространством (математика).

Самоприменимость, или самореференция ("сам в себе") используется во многих других парадоксах:
-Парадокс всемогущества — средневековый вопрос: «Может ли всемогущий бог создать камень, который он сам не сможет поднять?»
-Парадокс Бурали-Форти (1897) — аналог парадокса Кантора для ординальных чисел.
-Парадокс Мириманова (1917) — обобщение парадокса Бурали-Форти для класса всех фундированных классов.
-Парадокс Ришара (1905) — семантический парадокс, показывающий важность разделения языка математики и метаматематики.
-Парадокс Берри (1906) — опубликованный Расселом упрощённый вариант парадокса Ришара.
-Парадокс Клини - Россера (1935) — формулировка пародокса Ришара в терминах исчисления.
-Парадокс Карри (1941) — упрощение парадокса Клини - Россера.
-Парадокс Жирара (1972) — формулировка парадокса Бурали-Форти в терминах интуиционистской теории типов.
-Парадокс интересных чисел — полушутливый парадокс, напоминающий парадокс Берри.

В парадоксе о всемогущем Боге, создающем подъемный/неподъемный камень, задействована сущностно-сущая пара "всемогущий-всемогущество". Здесь Бог всемогущий - это сущее, а всемогущество - сущность, обобщающая весь список Его возможностей (создание камня, подъем камня и т.д.).

Зная, что отождествление сущности с сущим ведет к ситуации "сам в себе", можно строить парадоксы на любые темы. Для этого необходимо придумать варианты отождествленных пар сущее-сущность по аналогии с общеизвестной парой "брадобрей-брадобрейство" и художественно описать процесс отождествления.