Занимательная арифметика

Следует добиться того, чтобы с равным успехом можно было говорить вместо точек, прямых и плоскостей о столах, стульях и пивных кружках. (Давид Гильберт)

Контекст (термины и определения на основе википедии)

Наука — область человеческой деятельности, направленная на выработку и систематизацию объективных знаний о действительности. Основой этой деятельности является сбор фактов, их постоянное обновление и систематизация, критический анализ и, на этой основе, синтез новых знаний или обобщений, которые не только описывают наблюдаемые природные или общественные явления, но и позволяют построить причинно-следственные связи с конечной целью прогнозирования.

Причинность - философская категория, в самом общем абстрактном смысле выражающая зависимость существования одних фрагментов действительности от существования других её фрагментов.

Причинность в широком понимании смысла термина понимается как синоним "всемирной связи" - универсального детерминизма, согласно которому существование любого фрагмента действительности детерминируется (определяется, обусловливается) другими (в пределе - всеми остальными) её фрагментами, причём не обязательно причинным образом в первом, узком смысле причинности, а, например, структурно, телеологически, функционально, статистически, системно и т. д.

Однородность пространства означает, что нет такой точки в пространстве, относительно которой существует некоторая «выделенная» симметрия, все точки равноправны, поэтому рассматриваемый эксперимент не зависит от нашего выбора точки отсчета.

Трансляционная симметрия — тип симметрии, при которой свойства рассматриваемой системы не изменяются при сдвиге на определённый вектор, который называется вектором трансляции. Например, однородная среда совмещается сама с собой при сдвиге на любой вектор, поэтому для неё свойственна трансляционная симметрия. Перенос в плоском четырёхмерном пространстве-времени не меняет физических законов.

Специальная теория относительности (точнее, её принцип метричности пространства-времени) является общепринятой научным сообществом и составляет краеугольный камень базиса современной физики.

Метрическим пространством называется множество, в котором между любой парой элементов определено обладающее определенными свойствами расстояние, называемое метрикой.

Каждое движение тела происходит относительно определенного тела отсчета и поэтому все физические процессы должны рассматриваться, а законы должны формулироваться по отношению к точно указанной системе отсчета. Следовательно, не существует никакого абсолютного расстояния, длины или протяженности, так же как не может быть никакого абсолютного времени.

Математика — наука о структурах, порядке и отношениях, исторически сложившаяся на основе операций подсчёта, измерения и описания формы объектов. Математические объекты создаются путём идеализации свойств реальных или других математических объектов и записи этих свойств на формальном языке.

Число — основное понятие математики, используемое для количественной характеристики, сравнения, нумерации объектов и их частей. Письменными знаками для обозначения чисел служат цифры, а также символы математических операций. Возникнув ещё в первобытном обществе из потребностей счёта, понятие числа с развитием науки значительно расширилось.

Множество можно представить себе, как совокупность элементов, обладающих некоторым общим свойством. Для того чтобы некоторую совокупность элементов можно было назвать множеством, необходимо, чтобы выполнялись следующие условия: должно существовать правило, позволяющее определить, принадлежит ли указанный элемент данной совокупности; должно существовать правило, позволяющее отличать элементы друг от друга (это означает, что множество не может содержать двух одинаковых элементов).

Отношение — математическая структура, которая формально определяет свойства различных объектов и их взаимосвязи.

Отношение (в математической логике) — пропозициональная функция (см. предикат), то есть выражение с неопределёнными переменными, подстановка конкретных значений для которых делает его истинным или ложным.

Предикат — это то, что утверждается о субъекте. Субъектом высказывания называется то, о чём делается утверждение.

Предикат можно связать с математическим отношением: если (m1,m2,…,mn) принадлежит отношению, то предикат будет возвращать на ней 1. В частности, одноместный предикат определяет отношение принадлежности некоторому множеству.

Логика первого порядка, называемая иногда логикой или исчислением предикатов — формальное исчисление, допускающее высказывания относительно переменных, фиксированных функций и предикатов.

Функция (отображение, оператор, преобразование) — в математике соответствие между элементами двух множеств, установленное по такому правилу, что каждому элементу одного множества ставится в соответствие некоторый элемент из другого множества.

Операция — отображение, ставящее в соответствие одному или нескольким элементам множества (аргументам) другой элемент (значение). Термин «операция» как правило применяется к арифметическим или логическим действиям.

Логика первого порядка обладает рядом полезных свойств, которые делают её очень привлекательной в качестве основного инструмента формализации математики. Главными из них являются: полнота (это означает, что для любой замкнутой формулы выводима либо она сама, либо её отрицание); непротиворечивость (ни одна формула не может быть выведена одновременно со своим отрицанием).

Арифметика (др.-греч. — число) — раздел математики, изучающий числа, их отношения и свойства.

Простейшим арифметическим понятием является порядковый счёт. Объектом счёта служат различные элементы или их множества, например, яблоки и корзины яблок. С помощью порядкового счёта можно пронумеровать элементы и обозначить их общее количество.

1 (один, един, единица, раз) — число, мысленное представление отдельного абстрактного объекта. Наименьшее натуральное число.

Для натуральных чисел естественным образом определена операции сложения и умножения. При объединении двух наборов, содержащих некоторое количество предметов, новый набор будет иметь столько предметов, сколько было в первых двух наборах вместе. Если первый набор содержал 3 предмета, а второй — 2 предмета, то их сумма будет содержать 2+3=5 предметов. Указанное действие носит название сложения и является простейшей бинарной операцией. Для проверки корректности суммы таблицу сложения знать не обязательно, достаточно пересчитать предметы.

Сложение возможно только, если оба аргумента принадлежат одному множеству элементов.

Многократное сложение элементов нескольких одинаковых множеств не зависит от порядка этих множеств, что позволило определить другую бинарную операцию — умножение.

У всех операций арифметики есть обратные: у сложения — вычитание, у умножения — деление, у возведения в степень — арифметический корень и логарифм.

Вычитание — это операция, обратная сложению: разностью двух чисел 5 и 2 является неизвестная из уравнения 2 + ? = 5.

Деление – действие, обратное умножению. Подобно тому, как умножение заменяет неоднократно повторенное сложение, деление заменяет неоднократно повторенное вычитание.

Операция вычитания, если её применять ко всем парам натуральных чисел, а не только к таким, которые могли бы быть суммой и слагаемым в рамках операции сложения, позволяет выйти за пределы натурального ряда, то есть разность двух натуральных чисел не обязательно является натуральным числом — в результате вычитания может получиться ноль или вовсе отрицательное число. Отрицательные числа уже невозможно рассматривать как количество предметов.

Возведение в степень — бинарная операция, первоначально определяемая как результат многократного умножения натурального числа на себя.

Операция извлечением корня n-й степени» из числа a - одна из двух операций, обратных по отношению к возведению в степень, а именно — нахождение основания степени b по известному показателю n и результату возведения в степень a=b^n. Вторая обратная операция, логарифмирование, находит показатель степени по известным основанию и результату.

Замыкание (в общей алгебре) — минимально возможное расширение заданного множества относительно заданного набора алгебраических операций, в котором любое применение этих операций к элементам такого расширения не выходит за его пределы.

Множество, совпадающее со своим замыканием, называется алгебраически замкнутым (относительно заданного набора операций).

Математическая модель вещественных чисел повсеместно применяется в науке и технике для измерения непрерывно меняющихся величин. Однако это не главное её применение, потому что реально измеренные величины всегда имеют конечное число десятичных знаков, то есть являются рациональными числами. Основное назначение этой модели — служить базой для аналитических методов исследования. Огромный успех этих методов за последние три века показал, что модель вещественных чисел в большинстве случаев достаточно адекватно отражает структуру непрерывных физических величин.

Сказанное, конечно, не означает, что вещественная числовая прямая есть точный образ реальной непрерывной величины. Например, современной науке пока не известно, дискретны ли пространство и время или делимы неограниченно; однако даже во втором случае модель вещественных чисел для этих величин должна рассматриваться как приближённая, поскольку понятия точки пространства и момента времени представляют собой идеализации, не имеющие реального аналога.

Иррациональное число может быть представлено в виде бесконечной непериодической десятичной дроби (или тоже самое в логике предикатов: для любого иррационального х существует интервал времени t, за который число х может быть представлено в виде бесконечной непериодической дроби. Загадка: за какой интервал времени может быть представлена одна цифра из записи десятичной дроби числа х, чтобы за интервал t представить всё число х?).

Основная часть

Интерпретируя выше процитированное: свойства и принадлежность объекта числовому множеству определяется через выражения, с использованием арифметических операции (также над числами задана операция сравнения и по ней множество чисел упорядоченно).

Сложение определяется так: для любых двух x и y элементов множества натуральных чисел существует элемент того же множества z = x + y. Раз z – сумма двух элементов того же множества, то ничего не мешает x и y быть тоже суммами элементов того же множества? Множество однородно по определяющей его операции сложения, никаких особенных элементов нет.

Тут появляются два пути развития математики: ноль с отрицательными числами и рациональные (дробные) числа.

Рациональные числа появляются еще из операции умножения, как многократной операции сложения одинаковых чисел и обратной к умножению операции деления.

Из умножения появляется степень, а из степени корень (или дробная степень), которые приводят к иррациональным числам, дальше корень из отрицательных к комплексным.

Замыканием натуральных чисел относительно сложения являются натуральные числа. Замыканием натуральных относительно сложения и вычитания – целые. Замыканием натуральных относительно сложения, умножения и деления – положительные рациональные, замыканием целых относительно сложения, вычитания, умножения и деления – мы пришли к неопределенному делению на ноль, т.е. неоднородности. Замыканием натуральных относительно сложения, умножения, степени, деления (и корня, как комбинации степени и деления) – положительные действительные. Замыканием натуральных относительно сложения, вычитания, умножения, деления, степени и корня – комплексные с особенным неоднородным нулем.

Вернемся к определениям выше: для множества должно существовать правило, позволяющее отличать элементы друг от друга (это означает, что множество не может содержать двух одинаковых элементов); операция — отображение, ставящее в соответствие одному или нескольким элементам множества (аргументам) другой элемент (значение). В случае арифметической операции двум элементам множества ставится в соответствие третий элемент множества. Чтобы арифметическая операция определяла отношение элементов множества необходимо, чтобы оба аргумента были различными элементами множества. Значение операции также не должно совпадать ни с одним из аргументов, иначе в силу обратимости арифметических операций получится, что аргументы обратной операции могут будут одинаковыми элементами.

Так что под определение арифметической операции попадает только сложение (с обратным к нему вычитанием). Все остальные «арифметические операции» не являются отношениями над множеством: ни умножение, ни деление, ни возведение в степень, ни корень, так как в каждой из них (или обратной операции) используется один и тот же элемент множества несколько раз.

Если считать число ноль элементом множества чисел, то при ситуации x + y = z, ничего не мешает интерпретировать её, как z – x = y, а в случае y = 0, мы получаем неоднородный случай - нарушение правила оперирования, а именно использование одного элемента множества два раза. В случае отрицательных чисел через сложение мы приходим к нулю, как сумме двух противоположных чисел.

Так что операция вычитания, как обратная к сложению, определяется только когда уменьшаемое больше вычитаемого, что соответствует описанию естественных объектов или иными словами: как только мы из уменьшаемого вычли всё, что в нем было, мы попали в пустоту, т.е. отсутствие самого объекта оперирования.

Естественным смыслом отсутствия операции умножения (всех её производных, в том числе обратной - деления) является то, что ни один объект реальности нельзя использовать два раза. Две кружки пива – это не одна кружка, взятая два раза. Каждая кружка уникальна.

Объединим принципы: относительности, однородности, метричности и причинности и построим числовое множество, соответствующее им в полной мере. Названия, происходящие из понятий: действительное, натуральное, естественное заняты, поэтому в нашем контексте будем использовать понятие – универсальное число.

Универсальное число - элемент множества U, определяемого так:
1. Для любого x и любого y существует z, все три принадлежат U, такие что x + y = z и x <> y <> z.
2. Для любого x и любого y, принадлежащих U, таких что x > y, существует z, принадлежащий U  и существуют натуральные n и m, такие что x = y + сумма (z n раз) и сумма (z m раз) = 1.

Оба выражения однородны, первое выражение задаёт упорядоченность чисел. Каждое число взаимосвязано с любым другим числом – задана причинность. Второе выражение задает метричность, т.е. определяет расстояние между любыми двумя числами при этом в силу относительности может быть выбран такой масштаб, что это расстояние может быть единичным (например, 1 километр, 1 миля или 1 а.е.).

Суммирование z во втором выражении – это не умножение и не сложение одинаковых элементов, это последовательные сложения, при этом не z складывается с z, а (у+z), (у+z)+z, и т.д. А сумма z = 1, также может быть определена как 1 + (последовательна сумма z) = 2, но для наглядности записана так. Множество натуральных чисел является подмножеством U. 
 
Из основных числовых множеств математики этому определению не удовлетворяют: ноль и отрицательные числа по первому выражению, иррациональные числа, так как сумма иррационального и рационального числа не может быть рациональным числом.

Среди числовых множеств, описываемых в математике, наилучшим приближением под определение универсального числа является множество положительных рациональных чисел. Такое множество не имеет ни границ, ни особых точек, ни неопределенности деления на ноль. Таким множеством можно с любой точность приблизить любую скалярную физическую величину. Таким множеством хорошо описываются физические сущности типа времени, температуры по Кельвину, любые расстояния и т.д.

Стоит отметить, что отсутствие нуля, как элемента числового множества приводит к частному следствию: невозможности полной независимости двух множеств, так как проекция одного множества на другое не может быть нулевая. Это делает невозможной полноценную математическую модель двумерного и многомерного пространства с ортогональными измерениями. С точки зрения естественного описания это соответствует тому, что все сущности (включая материю, пространство и время) в действительности взаимосвязаны.

Заключение

Необходимо понимать, что построение Теории всего, как гипотетической объединённой физико-математической теории, описывающей все известные фундаментальные взаимодействия, т.е. всю наблюдаемую действительность, должно основываться на математике, основывающейся на понятии универсального числа, как отражении принципов однородности, относительности и причинности, метричности.

Математика является абстрактной моделью описания действительности, равно и геометрия, как раздел математики, является абстрактной моделью описания действительности.

Геометрия (и евклидова и не евклидова) является такой же локальной теорией, как Общая теория относительности или Квантовая механика, т.е. точно описывает только часть действительности. Попытки варьировать количество измерений или их кривизну рано или поздно приведут любую теорию, на этом построенную, либо к внутреннему логическому противоречию, либо к несовпадению с результатами наблюдения действительности в некоторой части всего спектра многообразия действительности.