Теория множеств без чисел

Законы математики, имеющие какое-либо отношение к реальному миру, ненадёжны; а надёжные математические законы не имеют отношения к реальному миру. (Альберт Эйнштейн).

Термины и определения

Физика

Причинность - философская категория, в самом общем абстрактном смысле выражающая зависимость существования одних фрагментов действительности от существования других её фрагментов. Причинность в широком понимании смысла термина понимается как синоним "всемирной связи" - универсального детерминизма, согласно которому существование любого фрагмента действительности детерминируется (определяется, обусловливается) другими (в пределе - всеми остальными) её фрагментами, причём не обязательно причинным образом в первом, узком смысле причинности, а, например, структурно, телеологически, функционально, статистически, системно и т. д.

Однородность пространства означает, что нет такой точки в пространстве, относительно которой существует некоторая «выделенная» симметрия, все точки равноправны, поэтому рассматриваемый эксперимент не зависит от нашего выбора точки отсчета.

Каждое движение тела происходит относительно определенного тела отсчета и поэтому все физические процессы должны рассматриваться, а законы должны формулироваться по отношению к точно указанной системе отсчета. Следовательно, не существует никакого абсолютного расстояния, длины или протяженности, так же как не может быть никакого абсолютного времени.

Теория множеств

Множество можно представить себе, как совокупность элементов, обладающих некоторым общим свойством. Для того чтобы некоторую совокупность элементов можно было назвать множеством, необходимо, чтобы выполнялись следующие условия:
1. должно существовать правило, позволяющее определить, принадлежит ли указанный элемент данной совокупности;
2. должно существовать правило, позволяющее отличать элементы друг от друга (это означает, что множество не может содержать двух одинаковых элементов).

Объекты, из которых состоит множество, называют элементами множества.

Множество A называется подмножеством множества B, если все элементы, принадлежащие A, также принадлежат B.

Множество B называется надмножеством множества A, если A является подмножеством множества B.

Как в наивной, так и в аксиоматической теориях множеств любой объект обычно считается множеством.

Универсальное множество (универсум) — множество, содержащее все мыслимые объекты.

Отношение — математическая структура, которая формально определяет свойства различных объектов и их взаимосвязи.

Неформально, множество частично упорядочено, если указано, какие элементы следуют за какими (какие элементы больше каких). В общем случае может оказаться так, что некоторые пары элементов не связаны отношением «следует за».

Логика

Отношение (в математической логике) — пропозициональная функция (см. предикат), то есть выражение с неопределёнными переменными, подстановка конкретных значений для которых делает его истинным или ложным.

Логика первого порядка, называемая иногда логикой или исчислением предикатов — формальное исчисление, допускающее высказывания относительно переменных, фиксированных функций и предикатов.

В математической логике выделяются логические постоянные и они так соотносятся с теорией множеств:
1. квантор общности (логические постоянные все, для всех...имеет место, что) - для любого элемента множества;
2. квантор существования (логические постоянные существует такой, что..., для некоторых...имеет место, что) - существует такой элемент множества, что…;
3. конъюнкция (и) - пересечение множеств;
4. дизъюнкция (или) - когда союз выступает в соединительно-разделительном значении -объединение множеств;
5. дизъюнкция (исключающее или) - когда союз выступает в строго-разделительном исключающем значении - симметричная разность множеств;
6. импликация (если..., то) - импликация высказываний означает, что одно из них следует из другого – вложение множеств;
7. отрицание (слова не, неверно) – дополнение, разность множеств.

Один, един, единица, раз — мысленное представление отдельного абстрактного объекта.

Основная часть

Возьмем за основу основополагающие физические принципы: причинности, однородности, относительности и применим их к теории множеств.

Нужно ли вводить понятие числа, как элемента числового множества, для построения теории множеств в логике первого порядка? Единственным понятием, связанным с числом в теории множеств, является мощность множества. При его введении появляется свойство, позволяющее различать элементы множества и подмножества множества. Однако, беря любой объект в действительности и представляя его, как элемент некоторого множества, мы знаем, что он может быть разделен на составляющие. При этом на данный момент физике неизвестно, существует ли предел делимости объектов действительности, равно как и предел делимости интервалов пространства и времени. В некоторой степени эта проблема обходится в математике расширением чисел от натуральных к рациональным и далее к вещественным.  Однако, применение расширенного числового множества к понятию мощности может привести, например, к такому непонятному выражению – «количество элементов множества равно пи». 

Два аргумента в бинарных отношениях могут обозначаться не как первый и второй, а как один и другой аргументы. Свойства бинарных операций определяются также бинарной операцией установления порядка аргументов. В итоге, всё может быть сведено к бинарной логике, где существует только два варианта: (истина и ложь) или (единица и не единица).

Также стоит отметить, что высказывания о множествах в логике первого порядка содержат только переменные, функции и предикаты, но не конкретные значения переменных. Иными словами, высказывания не могут зависеть от элементов множества или самих множеств, поскольку изначально высказывания определяют множество, но не наоборот (должно существовать правило, позволяющее определить, принадлежит ли указанный элемент данной совокупности). Отсутствие конкретных значений элементов и подмножеств соответствует отражению принципа однородности. Логическое высказывание распространяется на все элементы определяемого им множества без исключений.

Переход от подмножества к элементам множества, по сути, означает существование предела снизу при дроблении множества. При этом сверху такого предела нет. В чем причина такого ограничения и где она имеет отражение в действительности? Без понятия мощности множества можно высказать следующие утверждения: Элемент множества является объектом, и как любой объект он тоже множество; Множество, состоящее из единственного элемента другого множества, является подмножеством этого другого множества. Т.е. элементы множества есть его подмножества. Убирание абсолютной границы перехода подмножеств в элементы является отражением принципа относительности. Логическое высказывание, определяющее множество, без ограничений применимо к подмножествам и надмножествам определяемого множества.

Смысл понятия существования множества (объекта) в том, что варианты: «существует» и «не существует» равнозначны вариантам: «множество» и «не множество» или «множество с элементами» и «множество без элементов». Соответственно, пустое множество – не множество, т.е. пустота есть отрицание существования. Если взять два непересекающихся множества, то их пересечение будет пустым, т.е. не будет существовать. С другой стороны, принцип причинности может быть определен так, что у любых выбранных сущностей есть некая составляющая, свойственная всем выбранным сущностям (вроде энергии в физике). Со стороны теории множеств это означает, что пересечение любых множеств никогда не является пустым.

Среди множеств выделяется универсальное множество (или множество всех множеств). У него не существует отрицания, так как его отрицанием является пустое множество. По-другому можно сказать, что всё существующее есть множество, а противоположность всего сущего - есть пустота. Можно считать это отправной точкой теории множеств в бинарной логике.

Следствием утверждения, что любые множества имеют непустое пересечение, будет то, что, произведя процесс вычитания общей части исходных множеств (их пересечение), мы будем получать меньшие множества, также имеющие непустое пересечение. Нескончаемое продолжение этого процесса приведет нас к тому, что исходные множества есть единое целое, оно же множество всех множеств.  А наш выбор исходных множеств есть разделение единого целого на части и оперирование этими частями для определения их взаимоотношений, т.е. формирование локальной задачи. Разделение на сущее и пустоту - изначальное разделение, а все другие варианты получаются из изначального дальнейшими последовательными разделениями.

К слову, логические постоянные, операции над множествами, кванторы, переменные, высказывания также являются множествами.

Из описанного выше понятия существования множества можно прийти к утверждению, что все бинарные операции, заданные на множествах, существуют (или имеют смысл), когда оперирование производится над множествами, т.е. аргументы и результат - множества. Пустое множество не должно быть ни аргументом, ни результатом бинарной операции. Все бинарные операции над множествами в свою очередь также являются взаимосвязанными, что в том числе отражается через их обратимость.  Даже если в некотором случае операция, например, объединение множества со своим собственным подмножеством не приводит к пустому множеству, то обратная операция к объединению - разница приводит. В итоге можно сделать равнозначное изначальному утверждение - не существует бинарной операции, где, либо аргументы, либо любой аргумент и результат совпадают.

Приведенное утверждение отражает то, что все объекты действительности уникальны и оперировать можно только различными объектами. Не бывает двух полностью идентичных объектов.  У объектов могут совпадать значения некоторых свойств, но всё равно это будут не абсолютно идентичные объекты. К свойствам объектов относятся все свойства, включая и пространственно-временные. Вообще, нет никакого смысла определять отношение объекта с самим собой. То, что любые множества имеют непустое пересечение, т.е. отражения принципа взаимосвязи всех объектов, также является следствием приведенного утверждения. Когда множества сравнимы, т.е. когда одно множество является подмножеством другого, вычитать можно только из большего множества, меньшее. Из множества можно вычесть его собственное подмножество, но не наоборот. Это отражает естественность или натуральность объектов.

Посмотрим теперь, как определяется множество чисел.

На основе утверждений из теории множеств можно прийти к следующей последовательности рассуждений. Поскольку любые множества A и B пересекаются (C их пересечение), то разложив оба множества на общую и различающиеся части мы получим:

А U B = (A - C) U C U (B - C) U С = (A – B) U (B – A) U (C U C)

Такие обобщенные преобразования свойственны оперированию с натуральными числами, как отражению количества реальных объектов, т.е. когда меньшее число есть часть большего и операция объединения трансформируется в сложение, а приведенная формула трансформируется в такой вид:

5 + 3 = (A - B = разница между 5 и 3 = 2) + (C = общая часть = 3) + (B – A = разница между 3 и 5 = 0, всё вычли и ничего не осталось) + (С = общая часть = 3) = 2 + 3 + 0 + 3 = 8

Однако, для приведенных выше утверждений из теории множеств в полной мере корректными является следующее преобразование:

A U B = (A - B) U (B - A) U C, если одно множество A или B является собственным подмножеством другого, то одна из разностей будет отсутствовать, а пересечение C само с собой нет смысла объединять, так как ничего не изменится.

Таким образом, в числовом множестве одновременно используются два взаимоисключающих свойства из теории множеств: меньшее число есть часть большего, т.е. существует пересечение двух объектов (чисел), с другой стороны, при операции сложения считается, что объекты (числа) не пересекаются. В итоге приведенное обобщение операций над множествами в арифметические операции над числами не сохраняет полного соответствия между приведенной теорией множеств и арифметикой.

Решить проблему частично можно так, чтобы операция арифметического сложения не в полной мере соответствовала операции объединения из теории множеств, однако, удовлетворяла требованиям к любым операциям над множествами. Взяв единицу, как число и операцию сложения, применив утверждение о различности аргументов и результата операции мы можем построить числовое множество. Вычитание, как обратная операция к сложению, также может быть определена, но только для случая, когда вычитаемое меньше уменьшаемого. Умножение не может быть задано, как последовательные сложения, так как аргументы сложения различны. Выводимые из умножения, в том числе и через обратные, операции: деление, возведение в степень, корень не могут быть заданы, так как все они трансформируются в операции, приводящие к совпадающим аргументам.

Определяющее числовое множество высказывание: Любое число есть сумма (результат бинарной операции сложения) других различных чисел. В арифметике наиболее близким числовым множеством к предложенному будет множество положительных рациональных чисел (не используя операцию деления для определения чисел, а, например, так: 3 = сумма 1 и 2, 1 = сумма 1/3 и 2/3). Такое множество не имеет особых точек (условно нет неопределенности деления на ноль). У такого множества нет границ, ни сверху, ни снизу, можно выбирать какой угодно масштаб и дробить элементы. Любое число достижимо из любого за конечное число шагов (можно сменить масштаб так, чтобы расстояние между двумя выбранными числами определялось натуральным числом, как количеством шагов). Иррациональные числа не входят в такое множество, среди прочего, из-за того, что их нельзя вывести без отсутствующей операции умножения и выводимых из него: возведения в степень или извлечения корня. Кроме того, иррациональные числа определяются, как числа, не имеющие конечной (оконченной, достижимой) записи (разложения на сумму различных порядков).

Построенное числовое множество можно использовать для оперирования объектами, считающимися независимыми локально (в рамках обособленной задачи). Однако, числовое множество вообще нельзя использовать при переходе с локального уровня на всеобъемлющий. 

Заключение

Математика является абстрактной моделью описания действительности, равно и арифметика (начинающаяся с понятия натурального числа и арифметического сложения), как раздел математики, является абстрактной моделью описания действительности.

Однако, не вполне точной моделью описания действительности.