Наставления учителям математики в гимназиях

То бе наше мета оуцещешетесiя (Это ведь наша цель-мета учиться) - Влескнига. Дощ.7
Во всяком преподавании должны быть цель и суждение на твердых началах - Н.И. Лобачевский
 
Наставления учителям математики в гимназиях Н.И. Лобачевского (начало и конец рукописи)
 
Н.И. Лобачевский. Наставления учителям математики в гимназиях (неизданная рукопись от 16/VIII 1830г., найдена в ЦГА ТАССР и издана в 1948г. В.М. Нагаевой)
I. Способ преподавания
 В математике всего важнее способ преподавания. Обширность науки даже в первых ее началах, которые одолжены составлять гимназическое учение, уже такова, что может быть обнимаема только в общих правилах. Чтобы притти к сим правилам, надобно частные и раздельные представления о мере и числе соединить в одно, и с такими-то сложными и отвлеченными понятиями рассуждать о всяком предмете и щете. Ясность предмета и порядок, в котором строгое суждение связывает все истины, служат единственным средством, чтобы постигнуть и удержать общие правила. Польза от сего рода учения бывает двоякая: применение его к потребностям в нашей жизни и дальнейшее развитие самой науки. Умение применять общие правила ко всякому случаю предполагает твердое их познание и сверх того навык.
Способность составлять отвлеченные понятия, которые позволяют множество различных предметов соединять в одном представлении, приобретается постепенно и может усовершенствоваться непрестанно для развития ума, а в постепенном развитии понятий и в умении не допускать, чтобы одно изучение на память общих правил и механическое исчисление заменяли суждение, заключается искусство преподавания и успех его. Для отвлеченных и общих понятий о величине также и для тех действий, которые величины должны соединять между собой, изобретены знаки. Подобно тому, как дар слова обогащает нас мнениями других, так язык математических знаков служит средством еще более совершенным, более точным и ясным, чтобы один передавал другому понятия, которые он приобрел, истину, которую он постигнул, и зависимость между всеми частями, которую он открыл. Но так же, как мнения могут казаться ложно от того, что разумеют иначе слова, так всякое суждение в математике останавливается, как скоро перестаем понимать под знаком то, что оно собственно представляет. Поэтому и надобно, чтобы учитель с употреблением знаков давал понятия совершенно определенные и строгие; наконец, не довольствуясь еще и этим, присоединял сюда примеры, которые столько же поясняют правила, сколько предупреждают механическое их употребление; уже сказанного до сих пор было бы довольно, чтобы видеть, каково должно быть преподавание тех частей математики, где ее называют аналитической, но в самых началах встречаются особенного рода затруднения, которые хорошо надобно постигнуть и уметь победить.
Дело состоит в том, что наш ум должен сперва от предметов, прямо действующих на чувства, перейти к числам, а, наконец, и самые числа представить под общим означением помощью букв. Так математическим наукам служат те первые понятия, которые мы получаем в природе прямо чувствами; даже первые наши суждения о предметах, составляющих сии понятия, заключаются более в чувствах по навыку, нежели в действии ума, когда он под общим видом обнимает все возможные случаи. Между тем математические исчисления и правила, их изобретение и установление помощью этого общего взгляда на величину, определенную мерой, позволяют решать задачу во всей ее обширности. Так, для начинающего было бы сверх сил его понимать, откуда находятся общие правила арифметики. Напротив, надобно, чтобы для него чувства заменяли суждения и чтобы он от этих непосредственных впечатлений сам собой перешел к тому кругу отвлеченных понятий, где ум начинает уже свои действия. Здесь весьма важное условие для развития способностей то, что бы учение не было механической работой и чтобы ученик постигал прямо чувствами то, чего не в состоянии постигать суждением. Другое необходимое условие для успешности учения то, чтобы уметь победить леность и рассеянность детского возраста. Той и другой цели способствует в совершенстве способ взаимного обучения, которой разнообразием своим предохраняет учеников от скуки, а выкладками на щетах действует на чувства и посредством сих самых чувств начинает передавать уму их понятия, откуда как из первого источника силою суждения должны быть извлечены уже все математические истины в связи одна за другою. В школе взаимного обучения напрасно было бы заботиться об определениях, присоединять пояснения правил; здесь все должно быть у ученика под пальцами и перед глазами. Так можно учить в приходских училищах четырем действиям арифметическим с целыми числами, сложению и вычитанию дробей. В уездных училищах, где надобно учить арифметическому щету с десятичными и обыкновенными дробями, присоединяются толкования, которые не дают доказательств строго, но дают чувствовать причины. В первых классах гимназии способ преподавания тот же, что и в уездных училищах; только с алгеброю начинается строгое математическое учение, которое возвращается также к первым правилам арифметики и утверждается верность их строгим суждением, выражаясь всегда буквами и знаками. В гимназиях преподавание математики за арифметикой разделяется на алгебраическое и геометрическое. Алгебра предполагает измерение уже сделанным и потому все величины представляет в числах, а числа означает буквами для общего об них рассуждения. В началах геометрии дело идет о самом измерении, а потому эта часть представляет ей собственно принадлежащее, не зависимое от алгебры и которое должно быть отделено. Способ преподавания в чисто геометрическом учении должен быть всегда весьма отличный от способа алгебраического, покуда геометрия не будет доведена до того, чтобы могла соединиться с алгеброй, что и называется применением алгебры к геометрии. Трудности геометрического учения заключаются в первых понятиях о геометрических величинах и потом в представлении геометрических построений, которые требуют помощи воображения. При вступлении в геометрию надобно довольствоваться теми понятиями, которые получаем о них прямо помощью чувств без всяких дальнейших исследований и постороннего пособия. Эти понятия просты и на них основанные истины ощутительны. Хотя в них замечается некоторая темнота и неопределенность, но совершенная строгость могла бы вовлечь в исследования, которые были бы не у места в гимназическом учении потому, что они открывают нам невозможность познавать достаточно все геометрические свойства тел и что для убеждения в том, как далеко оправдываются такие положения геометрии, надобно было бы прибегать к наблюдениям астрономическим и к пособию других частой математики. Главная цель, которую надобно предположить в преподавании геометрии, будет та, чтобы дать общие правила для измерения. К этим правилам можно притти только помощью геометрического рассуждения. Они начинаются с измерения прямых линий помощью прямой и с измерения дуг круга помощью целой окружности. Затем следует учение об углах и об относительном положении прямых линий. Здесь самую главную статью составляет учение о параллельных, которое не везде может быть строго; но должно убеждать только ощутительностью истины и простотою предположения, хотя и произвольного.
Измерения плоскостей, ограниченных прямыми и дугами круга, сферических треугольников, помощью всей сферы, тел, ограниченных плоскостями, прямых цилиндров, конусов, шаров и отрезков; общее положение для измерения кривых линий, поверхностей и тел, ограниченных кривыми поверхностями, составляют учение начал геометрии. Давая общие правила для измерения, надобно соглашать их с той целью, для которой они должны служить, т.е. для измерения на самом деле. Так, важно, не погрешая против математической строгости, доказывать справедливость всех общих положений, хотя в том должно согласиться, что прямые линии с кривыми, плоскости с кривыми плоскостями и т.д. не могут одни быть произведены другими. Применение алгебры к геометрии должно состоять только в решении уравнений I и II степени для тех задач геометрических, которые могут быть полезны и нужны для всякого. Для таких случаев нужно давать геометрическое решение.
II. Предметы учения
 Учение в гимназиях должно быть соглашено с преподаванием в уездных училищах, которому оно служит продолжением, и в университете, до начала которого его надобно доводить. Сверх всего математике должно учить в гимназиях еще и с тою целью, чтобы познания, здесь приобретаемые, были достаточны для обыкновенных потребностей в жизни. Посему предметы гимназического учения будут:
Числительная арифметика, которая заключает в себе арифметические четыре правила с обыкновенными и десятичными дробями; превращение обыкновенных дробей в непрерывные и вычисление значения с главными свойствами сих последних; возвышение в степени и извлечение корней из целых чисел, десятичных и обыкновенных дробей.
Алгебра. Под сим названием надобно разуметь в гимназиях собственно алгебраическую или общую арифметику, которая, употребляя знаки и буквы, повторяет все арифметические исчисления, показывает их правила и делает их совершенно общими с введением учения о положительных и отрицательных, рассуждает о степенях и корнях со всеми показателями и об исчислении с воображаемыми величинами; занимается решением уравнений первой и второй степени и решением неопределенных уравнений первой степени; разложением в строки степеней от суммы, исчислением и счетом помощью логарифмов. Последняя статья не может включать разложения в строки логарифмических функций.
Собственно названная алгебра, т.е. решение уравнений во всей ее обширности, составляет ныне часть учения о функциях и может преподаваться только в университетах. Она предполагает уже учение о тригонометрических функциях.
Геометрия. Начала геометрии, или учение об измерении прямых линий, кругов, плоскостей, ограниченных прямыми и дугами круга, сфер, объема тел, ограниченных плоскостями и частями сферы, прямого конуса и цилиндра. Сюда входит как необходимая часть учение о параллельных линиях; присоединяется применение алгебры к геометрии для решения некоторых задач и, наконец, общие положения об измерении кривых линий, поверхностей и тел.
Прямолинейная и сферическая тригонометрия. После определения тригонометрических функций и как они находятся от суммы все прочее будет единственно заключать в себе решение задач, относящихся к треугольникам помощью уравнений, которые показывают зависимость углов и боков между собою. Применение алгебры к геометрии ограничивается преподаванием свойства линий, названных коническими сечениями.
III. Разделение на классы
 Порядок преподавания должен быть наблюдаем тот, в котором изложены выше предметы учения.
В первом классе учеников. Числительная арифметика: счет дробей, десятичных, обыкновенных и непрерывных.
Во втором классе. Продолжение числительной арифметики: возвышение в степень, извлечение корней с целыми показателями, из целых чисел и десятичных дробей, присоединяя повсюду объяснения, на чем основываются правила исчисления.
В третьем классе. Алгебраическая арифметика, объяснив, что такое число и арифметические действия, знаки арифметических действий и порядок, в котором действия совершаются, дает общие правила для сложения, вычитания, умножения и деления целых чисел, десятичных, обыкновенных и непрерывных дробей, присоединяя сюда учение о положительных и отрицательных.
В четвертом классе. Продолжение алгебраической арифметики. О степенях и корнях, разрешение определенных уравнений I и II степени и неопределенных уравнений I степени. Разложение бесконечной строки степеней от суммы; о логарифмах.
В пятом классе. Геометрия с разрешением геометрических задач помощью алгебры, которые относятся к черчению правильных многоугольников и к исчислению площадей треугольников, когда даны бока; площадей правильных многоугольников и объема правильных тел. Геометрические решения с черчением. Первые основания начертательной геометрии.
В шестом классе. Прямолинейная и сферическая тригонометрия, которые должны заключать сокращенное учение о разрешении треугольников. Упражнение в решении задач тригонометрии; употребление астролябии.
В седьмом классе. Применение алгебры к исследованию конических сечений. В гимназиях, где преподается греческий язык, или для тех учеников, которые учатся греческому языку.
В четвертом классе оставляется один урок в неделю, где читают о степенях и корнях; показывают разрешение уравнений I и II степеней. Разрешение же неопределенных уравнений, разложение бесконечной строки степеней от суммы и учение о логарифмах должно быть отделено для двух других уроков и так расположено, чтобы одни ученики слушали полное преподавание, а другие только часть, для них назначенную.
В пятом классе. Два урока отделяются для тех, которые занимаются алгебраическим решением задач геометрии и которым изъясняются общие правила с некоторыми их применениями для измерения кривых линий, поверхностей и тел, ограниченных кривыми поверхностями. Геометрические решения и черчение отменяются.
В шестом классе. Один урок назначается для геометрических решений и черчений, два других — для тригонометрии, которых курс сокращается в упражнениях задачами.
В седьмом классе. Учение о конических сечениях отменяется для тех, которые учатся греческому языку...
Н.И. Лобачевский. Наставления учителям математики в гимназиях. АН СССР. Труды института истории естествознания. 1948, Том 2, с.554-560
https://vk.com/doc399489626_450144364
http://www.twirpx.com/file/1749713/
Н.И. Лобачевский. Научно-педагогическое наследие. Руководство Казанским университетом. Фрагменты. Письма. - 1976, М., Наука, с.526-537
http://sinsam.kirsoft.com.ru/KSNews_799.htm
Воображаемая геометрия 
http://sinsam.kirsoft.com.ru/KSNews_798.htm