О вычислении числа Пи

Число пи является одним из самых загадочных чисел современной математики.
Его история начинается в глубокой древности, когда Анаксагор (500 – 428 до н.э) поставил вопрос о вычислении квадратуры круга, то есть определить параметры квадрата и окружности равных площадей.
Первым приблизился к решению этой задачи древнегреческий математик и механик Архимед (287 – 212 до н.э.), который предложил решать эту задачу методом итераций как среднее между описанным и вписанным многоугольником. В результате он определил нижнюю и верхнюю границы числа пи через 96-гранный многоугольник:
223/71 < пи < 22/7; 3,140845 < пи < 3,142857

Спустя около 400 лет математик и астроном Клавдий Птолемей (100 – 165) нашел более точное отношение: 377/120 = 3,1416(6).

Через сто лет после Птолемея китайский математик Лю Хуэй (220 – 280) вычислил периметр многоугольника с 3072 сторонами и получил значение числа пи равным 3,14159. Его ученик Цзу Чунчжи (429 – 500) доказал, что число пи должно находится в интервале 3,1415926 < пи < 3,1415927

Спустя ещё около 750 лет итальянский математик Леонардо Пизанский (Фибоначчи, 1170 – 1250) предложил другое отношение: 864/275 = 3,1418(18), что было значительно хуже предложенного Цзу Чунчжи.

Все дальнейшие вычисления числа пи, вплоть до наших дней, производились и производятся с помощью различных рядов, что является достаточно трудоемкой процедурой, поэтому в настоящее время вычисление числа пи производят исключительно на компьютерах, оснащенных специальными программами для вычисления пределов сложных рядов.

Но метод Архимеда, с учетом современных достижений математики, все ещё позволяет получать достаточно точные значения числа пи с помощью обычных настольных калькуляторов.

Основная идея Архимеда состояла в том, чтобы вычислить периметр многоугольника вписанного или описанного вокруг окружности с диаметром равным 1. Как показал анализ для современных калькуляторов, оказался более доступным метод описанных многоугольников.
Для внутренних многоугольников их возможности не простираются далее 38000-многогранника, упираясь в значение 3,1415926514327.
А вот внешний (описанный) многоугольник, периметр которого вычисляется из выражения:
пи = n*tg(180/n)
для n = 38000 позволяет получить значение пи = 3,1415926607473
Верхний предел, который позволяет вычислить калькулятор по этой формуле, находится на значении n равном одному миллиарду, тогда
пи = 3,1415926535898
Значение числа пи, которое вычислено на сегодня через предел функционального ряда на высокоскоростной ЭВМ равно:
 3,141592653589793238….

Таким образом, для вычисления числа пи совсем не обязательно пользоваться сложными методами вычисления пределов функциональных рядов, а необходимо всего лишь повышать вычислительные возможности общедоступных устройств для определения тангенса сверхмалых углов.