Великая теорема Ферма. Доказательство Окончательна

/Окончательная версия/

Памяти МАМЫ

Противоречие: В равенстве A^n=A^n+B^n [...=(A+B)R] число R имеет ДВА значения.

Все целые числа рассматриваются в системе счисления с простым основанием n>2.
Определения:
Степенным окончанием A_[t] длиной t (t>1) цифр будем называть окончание A'^{n^(t-1)}_[t] некоторого натурального числа A=A'^{n^(t-1)}+Dn^t, где A' – последняя цифра числа A.
Единичным окончанием r_[t] числа r будем называть t-значное окончание равное 1.
Обозначения: A', A'', A_(t) – первая, вторая, t-я цифра от конца в числе A;
A_2, A_3,A_[t] – k-значное окончание числа A (т.е. A_[t]=A mod n^t); nn=n*n=n^2=n^2.
ВТФ доказывается для базового случая (см. http://vixra.org/abs/1707.0174):

L1°) Лемма. Цифра A^n_(t+1) однозначно определяется окончанием A_[t] (следствие из бинома Ньютона). То есть окончания A^n_2, A^{n^2}_3 и т.д. не зависят от цифры A'' и являются функцией лишь цифры A'.
L1.1°) Следствие: если A_[t+1]=d^{n^t}_[t+1], где d_[2]=e^n_[2], то
A_[t+2]=e^{n^(t+1)}_[t+2] и A^{n-1}_[t+2]=A'^{n-1}_[t+2]=1.
L1.2°) При этом и g'^{n-1}_[t+2]=1, где g' есть какой-либо сомножитель числа A'.
L1.3°) Если C_[t]=C°_[t], A_[t]=A°_[t], B_[t]=B°_[t] и C^n_[t+1]=A^n_[t+1]+B^n_[t+1], то и C°^n_[t+1]=A°^n_[t+1]+B°^n_[t+1] (следствие из L1.1° и бинома Ньютона).

L2°) Лемма. t-значное окончание любого простого сомножителя числа R в равенстве (A^n+B^n)_[t+1]=[(A+B)R]_[t+1], где A_[t]=A^{n^(t-1)}_[t], B_[t]=B^{n^(t-1)}_[t], (A^{n^t}+B^{n^t})_[t+1]=C^{n^t}_[t+1], t>1, числа A и B взаимно простые и число A+B не кратно простому n>2, равно 1 –
следствие из равенства (CC^{n-1})_[t+1]=[(A+B)R]_[t+1], где C_[t]=(A+B)_[t]=0, и L1.2°.

***
Гипотетическое равенство Ферма имеет три эквивалентных формы:
1°) C^n=A^n+B^n [...=(A+B)R=c^n*r^n], A^n=C^n-B^n [...=(C-B)P=a^n*p^n] и B^n=C^n-A^n [...=(C-A)Q=b^n*q^n], где при (ABC)'=/=0 числа в парах (c, r), (a, p), (b, q) взаимно простые.

1.1°) Числа R, P, Q (без возможного сомножителя n) имеют единичные окончания с их наименьшей длиной в k цифр. Если, например, k=2, то наименьшее окончание будет 01.
1.2°) Следовательно, наименьшее единичное окончание у чисел r, p, q равно k-1 (цифр).

1.3°) Число U=A+B-C [=un^k] оканчивается на k нулей, даже если A', B' или C'=0.

1.4°) Если, например, C'=0, то число C оканчивается ровно на k нулей. При этом его особый сомножитель R оканчивается ровно на один ноль, который в число r не входит.
1.5°) Следовательно, в этом случае число A+B оканчивается nk-1 [>k] нулей.

L3°) Лемма. Если наименьшая длина единичного окончания у чисел r, p, q равна k-1 (и у чисел R, P, Q равна k), то k-значные степенно-степенные окончания чисел A и C-B, B и C-A, C и A+B, не кратных n, будут равны: A'^{n^(k -1)}, B'^{n^(k -1)}, C'^{n^(k -1)}.
Доказательство Леммы. Пусть для начала k=2. Тогда из равенства A+B-C=un^k (1.3°), с учетом 1° и L1°, мы находим равенства по двузначным окончаниям:
C=c'^n, A=a'^n, B=b'^n mod n^2, или C_2=c'^n_2, A_2=a'^n_2, B_2=b'^n_2.
Затем, если k>2, подставляем эти значения чисел A, B, C в левые части равенств 1°, учитываем свойство L1.1° и решаем систему уравнений  C^n=A+B, A^n=C-B, B^n=C-A, относительно A, B, C. И т.д., пока не дойдем до значений A'^{n^(k-1)}, B'^{n^(k-1)}, C'^{n^(k-1)}.

***
Доказательство ВТФ

2°) Пусть наименьшая длина единичного окончания среди чисел r, p, q будет у числа r и равна k-1 (в этом случае C'=/=0). Тогда наименьшая длина единичного окончания у чисел R, P, Q не кратных n будет равна k. И, следовательно, число U=A+B-C=un^k.

Тогда, согласно L3°, в равенствах C^n=A^n+B^n=(A+B)R=c^nr^n=CC^{n-1} (см. 1°) и 
3°) D=(A+B)^n_[k+1]=[(C-B)^n+(C-A)^n]_[k+1]={[(C-B)+(C-A)]T}_[k+1] k-значные окончания чисел в парах C и A+B, A и C-B, B и C-A, C^{n-1} (=1) и (A+B)^{n-1} (=1), R (=1) и T (=1) будут равными и степенно-степенными. Cогласно Лемме L2°, каждый простой (и составной) сомножитель числа T имеет единичное окончание длиной не менее k цифр.
Но среди сомножителей числа T содержится и число r, причем строго в первой степени (ибо число [(C-B)+(C-A)] на r не делится, а числа r и D/r взаимно простые)!

И мы пришли к противоречию: в самом равенстве Ферма единичное окончание числа r имеет длину строго k-1 знаков, а в числе T – k знаков. Тем самым ВТФ доказана.

Мезос, 1 декабря 2017

===============
P.S. Вордовские тексты доказательства ВТФ находятся здесь:
; http://em.ixbb.ru/viewtopic.php?id=7588&p=4#p487462 .