Фараоновы батоги

Почему не изучены примеры чередования гласных а-и в корнях слов? Не найдены или плохо искали? Подсказкой мне стали фараоновы батоги (нехех) – один из символов власти с угрозой побития палками. Фараоновы батоги породили универсальное боевое и трудовое орудие – цеп, для побития обидчиков и выбивания зерна из снопов.

Зацепившись за древнее русское слово «батоги», озадачился я происхождением группы слов с корнем <бат>. Нет порядка с этим корнем. Слово «батя» почему-то считается родившимся от «брат». Слово «батрак» оказалось нерусским по причине близости к татарскому диалектному слову «бАтырь» - подрядчик. «Батарея» выведена из французских или немецких слов в значении «бить». «Набат» оказался арабским детищем от nauba (стража).

Однако, если признать возможным чередование а-и, то корни <бат> и <бит> проявляют свои родственные связи и общий первосмысл «бить».
Баталия – битва.
Батальон, батарея, батыр – участники битв.
Батон – в переводе с французского оказалось палкой. Допускаю, что батон битьём и катанием из теста формовали.
Батрак – битый дурак, ударник наёмного труда.
Батя – авторитет, способный всех бить и «ъбать» для поддержания порядка в семье, хозяйстве или вверенном воинском подразделении.
Набат – результат битья в колокола.

В Большом латинско-русском словаре нашлось слово «batuo» в значениях бить,  драться.
Совсем порадовало санскритское слово «bata» переведённое на русский язык междометиями «ох! ах! увы!», подходящими для стенаний изрядно побитого человека.

Что касается чередования гласных а-и в корнях слов, то русскоязычный народ не только генетически приемлет такую возможность, но и успешно использует. Например, в ругательных от души выражениях «ъбАть тебе некого» и «ъбИтская сила». От этого учёным снобам никак не отмахнуться.

Совпадения коренных смыслов БАТЬ- БИТЬ не случайны. Гораздо меньшие совпадения принимались как неопровержимые.
Следовательно, <бат> - древний индоевропейский корень с первосмыслом «бить». От него и «батоги для побития» пошли.