Гармония внутренних сумм

Любое многозначное число может быть представлено суммой входящих в него цифр натурального ряда. Например:

11 // 1+1 = 2
256 //  2 + 5 + 6 = 13 // 1 + 3 = 4
3785 //  3 + 7 + 8 + 5 = 23 // 2 + 3 = 5
и так далее.

Если первые девять цифр натурального ряда умножить на девять, то внутренняя сумма этих произведений всегда равна девяти:

1*9 = 9
2*9 = 18 // 1 + 8 = 9
3*9 = 27 // 2 + 7 = 9
4*9 = 36 // 3 + 6 = 9
5*9 = 45 // 4 + 5 = 9
6*9 = 54 // 5 + 4 = 9
7*9 = 63 // 6 + 3 = 9
8*9 = 72 // 7 + 2 = 9
9*9 = 81 // 8 + 1 = 9

Не трудно заметить, что полученный ряд состоит из четырёх зеркальных пар:

2*9 = 18 // 1 + 8 = 9
9*9 = 81 // 8 + 1 = 9

3*9 = 27 // 2 + 7 = 9
8*9 = 72 // 7 + 2 = 9

4*9 = 36 // 3 + 6 = 9
7*9 = 63 // 6 + 3 = 9

5*9 = 45 // 4 + 5 = 9
6*9 = 54 // 5 + 4 = 9

Сумма первых множителей каждой пары равна 11, которое при умножении на 9 даёт число 99, внутренняя сумма которого равна 18 или в конечном итоге 9. Тому же равна и сумма внутренних сумм каждой пары.

2 + 9 = 11; 11*9 = 99 // 9 + 9 = 18 // 1 + 8 = 9
3 + 8 = 11; 11*9 = 99 // 9 + 9 = 18 // 1 + 8 = 9
4 + 7 = 11; 11*9 = 99 // 9 + 9 = 18 // 1 + 8 = 9
5 + 6 = 11; 11*9 = 99 // 9 + 9 = 18 // 1 + 8 = 9

9 + 9 = 18 // 1 + 8 = 9

Это свойство симметрии характерно и для других рядов. Например, для числа 8:

1*8 = 8
2*8 = 16 // 1 + 6 = 7
3*8 = 24 // 2 + 4 = 6
4*8 = 32 // 3 + 2 = 5
5*8 = 40 // 4 + 0 = 4
6*8 = 48 // 4 + 8 = 12 // 1 + 2 = 3
7*8 = 56 // 5 + 6 = 11 // 1 + 1 = 2
8*8 = 64 // 6 + 4 = 10 // 1 + 0 = 1
9*8 = 72 // 7 + 2 = 9

Нетрудно видеть, что с увеличением значения первого множителя внутренняя сумма произведения синхронно уменьшается, при этом сохраняется парная симметрия:

1*8 = 8
8*8 = 64 // 6 + 4 = 10 // 1 + 0 = 1
1 + 8 = 8 + 1 = 9

2*8 = 16 // 1 + 6 = 7
7*8 = 56 // 5 + 6 = 11 // 1 + 1 = 2
2 + 7 = 7 + 2 = 9

3*8 = 24 // 2 + 4 = 6
6*8 = 48 // 4 + 8 = 12 // 1 + 2 = 3
3 + 6 = 6 + 3 = 9

4*8 = 32 // 3 + 2 = 5
5*8 = 40 // 4 + 0 = 4
4 + 5 = 5 + 4 = 9

Аналогичную симметрию можно наблюдать и для других чисел, например 5:

1*5 = 5
2*5 = 10 // 1 + 0 = 1
3*5 = 15 // 1 + 5 = 6
4*5 = 20 // 2 + 0 = 2
5*5 = 25 // 2 + 5 = 7
6*5 = 30 // 3 + 0 = 3
7*5 = 35 // 3 + 5 = 8
8*5 = 40 // 4 + 0 = 4
9*5 = 45 // 4 + 5 = 9

Не трудно видеть, что этот ряд состоит из двух симметричных рядов:

2*5 = 10 // 1 + 0 = 1
4*5 = 20 // 2 + 0 = 2
6*5 = 30 // 3 + 0 = 3
8*5 = 40 // 4 + 0 = 4

1*5 = 5
3*5 = 15 // 1 + 5 = 6
5*5 = 25 // 2 + 5 = 7
7*5 = 35 // 3 + 5 = 8
9*5 = 45 // 4 + 5 = 9

В тоже время в нём сохраняется парная симметрия:

1*5 = 5
8*5 = 40 // 4 + 0 = 4
1 + 8 = 5 + 4 = 9

2*5 = 10 // 1 + 0 = 1
7*5 = 35 // 3 + 5 = 8
2 + 7 = 1 + 8 = 9

3*5 = 15 // 1 + 5 = 6
6*5 = 30 // 3 + 0 = 3
3 + 6 = 6 + 3 = 9

4*5 = 20 // 2 + 0 = 2
5*5 = 25 // 2 + 5 = 7
4 + 5 = 2 + 7 = 9

Существует правило делимости чисел на 3, в соответствии с которым любое число делится на три, если его внутренняя сумма делится на три. Например:

12345 // 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15; 15 : 3 = 5
12345 : 3 = 4115

86421 // 8 + 6 + 4 + 2 + 1 = 21; 21 :  3 = 7
86421 : 3 = 28807


Таким образом, мы видим, что девятка и кратная ей тройка являются некими константами для внутренних сумм. В связи с этим представляется удивительным свойство простых чисел, у которых внутренняя сумма ни когда не бывает кратной числу 3:

37 // 10 // 1;   47 // 11 // 2;  67 // 13 // 4;  41 // 5;   43 // 7;  89 // 17 // 8
163 // 10 // 1;  227 // 11 // 2;  283 // 13 // 4;  353 // 14 // 5; 457 //16 // 7;  683 // 17 // 8
1063 // 10 // 1;  1361 // 11 // 2;  1543 // 13 // 4;  1733 // 14 // 5;  1753 // 16 // 7;  1871 // 17 // 8

Анализ всех доступных на сегодня простых чисел, позволяет утверждать, что их внутренняя сумма ни когда не равна числу три или кратному ему (6 и 9), что позволяет их представлять как ангармонические числа, в отличие от большинства гармонических чисел натурального ряда.

Свойства внутренних сумм.
Сумма внутренних сумм слагаемых равна внутренней сумме результата сложения слагаемых.

2473 // 16 // 7
2789 // 26 // 8
7 + 8 = 15 // 6
16 + 26 = 42 // 6
2473 + 2789 = 5262 // 15 // 6
2789 – 2473 = 316 // 10 // 1
8 – 7 // 1

859 // 22 // 4
397 //19 // 10 // 1
4 + 1 = 5
22 + 19 = 41 // 5
859 + 397 = 1256 // 14 // 5
859 – 397 = 462 // 12 // 3
4 – 1 = 3

631 + 809 + 593 + 2617 = 4650 // 15 // 6
1 + 8 + 8 + 7 = 24 // 6

Внутренняя сумма произведения равна произведению внутренних сумм сомножителей:

56 * 44 * 25 * 12 = 739200 // 21// 3
2 * 8 * 7 * 3 = 336 // 12// 3

Внутренняя сумма степени равна степени внутренней суммы основания:

12^2 = 144 // 9      
3^2 = 9
               
881^2 = 776161 // 28 // 1
8^2 = 64 // 10 // 1

56^3 = 175616 // 26 // 8
2^3 = 8

25^2 = 625 // 13 // 4       
7^2 = 49 // 13 // 4
      
25^3 = 15625 // 19 // 10 // 1
7^3 = 343 // 10 // 1

Внутренняя сумма разности не равна разности внутренних сумм, если внутренняя сумма вычитаемого больше внутренней суммы уменьшаемого:

1021 // 4
881 // 17 // 8
1021 – 881 = 140 // 5
4 – 8 /не равно/ 5

Таким образом внутренние суммы чисел не обладают свойствами отрицательных чисел.