К вопросу обучения счёту

Из вопросов умных людей по поводу состояния математического образования выделим следующий:
какие, "первичные" понятия и способы их внедрения в сознание ребёнка требуются для развития математического мышления.

Вариант ответа.
Математическое образование может быть организовано в следующей последовательности:
1) освоение ребёнком понятия о НАТУРАЛЬНЫХ МНОЖЕСТВАХ отдельных ПРЕДМЕТОВ (а не об абстрактных множествах, каждый элемент которого тоже множество, да ещё бесконечных);
2) внедрение в сознание ученика понятия об «отношении ДОСТАТОЧНОСТИ» натуральных множеств между собой, выясняемом путём сравнения их друг с другом (сродни известной операции установления «взаимно-однозначного соответствия» и «отображения» множеств друг в друга);
3) формирование операции СЧЁТА и понятия («натурального») ЧИСЛА как средств решения проблем ОПОСРЕДОВАННОГО (“заочного”) сравнения натуральных множеств*;
4) все дальнейшие обобщения понятия числа, особенно «рационального»** и
5) освоения (с помощью чисел разного вида) всевозможных средств математического моделирования реальных процессов в природе и обществе.

Нижеследующий текст касается в первую очередь п.п.1-3 и в некоторой мере п.4. Что касается п.5, то он огромен, и им занята почти вся математическая литература, что позволяет разгрузить настоящий текст более чем существенно.

В статье «Число и порядок»*** дан генезис понятия числа как результат операций с так называемыми «многами» – конечными множествами отдельных предметов, которые (операции) легко «математизируются».
В то же время отдельные предметы и их «многи» настолько более “натуральны”, чем «натуральные» числа, что вполне доступны детскому восприятию и осознанию ещё до обучения счёту. Это обстоятельство позволяет дать очерк предполагаемых “уроков” приобщения детей к математике с самого её начала, возможно, нового, непривычного (для всех тех, кто уже умеет считать!) начала, но естественно приводящего к операции счёта и понятию числа через решение практических задач, ориентированных на первичные отношения между многами, а не на связь последних с предварительно вызубренной последовательностью слов-числительных «один», «два», «три», «четыре», «пять»… и т.д.

Генезис числа, где каждый шаг МОТИВИРОВАН, призван снять вековую "загадку числа", которая, на наш взгляд, коренится в социально обусловленном "онтогенезе" каждого "цивилизованного" индивида, осваивающего в детстве счёт просто через подражание взрослым, когда вся "мотивация" ребёнка сводится к скорейшему обретению способности правильно отвечать на магический вопрос взрослых "Сколько?" Такой "въезд" отроков в математику давно будоражит "передовую" педагогику какой-то своей ущербностью. И в нашей стране в середине прошлого века возникло течение в сторону смены приоритета: не "число", а "величина", не счёт, а понятие "измерения" должно быть положено в основание математической науки. Но без особых объектов - "мерок", используемых в качестве "единиц измерения", в этом случае не обойтись. Налицо "умножение сущностей"...

В дискретном мире сами отдельные предметы являются "единицами". Человек наделён ВРОЖДЁННОЙ способностью воспринимать отдельные предметы в пространстве и усваивать (через взрослых) их названия.**** Это значит, что можно использовать эти объекты детского интереса как естественные образования, лишь давая имена этим предметам – имена собственные и имена общие: «(кукла) Маша», «(кукла) Петя», «(кукла) Даша»... а также просто «кукла» как «элемент» «многа кукол»; «стульчик тот», «стульчик этот»… или просто «стульчик» как элемент «многа стульчиков» и т.п.
При необходимости допускаются разного рода словесные уточнения характеристики многа: «мног маленьких стульчиков в этой комнате» отличается от многа «всех стульев в квартире» и т.п. Надо понимать также, что один и тот же предмет может быть элементом разных многов или, что то же, разные многи могут иметь ОБЩИЕ элементы. Жёлтая монетка может быть элементом целого многа (A) «жёлтых монет у Саши» и в то же время элементом многа (B) «всех (не только жёлтых) монет», но только в левом его кармане». Другой пример, каждый элемент многа (D) «яблок в корзине», является также элементом многа (E) «всех фруктов в той же корзине» (возможно, там есть другие плоды). В первом примере названные два многа (А и В) имеют общую ЧАСТЬ – третий мног (C) «жёлтых монет в левом кармане Саши». Во втором примере мног D сам является частью многа E.*****
 
Разные предметы и их многи находятся друг к другу в некоторых отношениях. Между многами существует специфическое отношение (которого нет между отдельными предметами) – отношение «ДОСТАТОЧНОСТИ»: один мног может быть «достаточен» или «недостаточен» другому. Так мног стульчиков может оказаться достаточным или нет многу кукол». Достаточность проверяется через процедуру «сравнения» многов путём попарного объединения, или “спаривания”, элементов того и другого многа (стульчиков с куклами). Поскольку сравнивать таким образом можно любые многи, то уже здесь ребёнок получает первый урок АБСТРАГИРОВАНИЯ: “спариванием” элементов (разных многов) можно проверить “на достаточность” любые два многа (например, «достаточно» ли косынок для курток, карандашей для шапок и т.д., и т.п.).******
 
Далее первое важное “открытие”: сравниваемые многи могут быть ВЗАИМОДОСТАТОЧНЫ. Многи А и В взаимодостаточны, или «(1-1)ПОДОБНЫ» если их можно взаимно однозначно «отобразить» друг а друга. Не только стульчиков может быть достаточно для кукол, но и кукол может хватить, чтобы занять все стульчики. Это вариант отношения, когда кукол и стульчиков «поровну», но не в смысле равенства “чисел” (которых ещё нет и в помине), а в том, что мног кукол и мног стульчиков “достаточны друг другу”, и нет “лишних” ни кукол, ни стульчиков...
 
Ситуация 1-1-подобия пары многов очень важна с точки зрения опосредованных сопоставлений многов. Это когда один мног, “подобный” некоторому другому, временно отсутствующему, заменяет отсутствующий с целью проверки последнего на достаточность (или недостаточность) третьему. Так если мног K, достаточный многу Q, в то же время 1-1-подобен временно недоступному многу W, то и W достаточен многу Q.******* 
Из таких ситуаций возникает идея использования особых  многов, которые всегда «при мне» и служат 1-1-подобными заменителями других важных (но не всегда доступных для сравнения с другими многами) многов. Многи-заменители следует выполнять из легкодоступного материала, например, фишек (размеченных по принадлежности тому или иному многу******** ). Каждый мног-заменитель «важного» многа создаётся как его материализованный образ (точнее, «(1-1)образ»), обеспечивая возможность сравнения его с любым доступным многом. Более того, имея в своём распоряжении такие заменители двух недоступных многов (R) и (S) можно путём поэлементного спаривания их “1-1-заменителей” (материализованных “образов”) KR и KS определить отношение достаточности недоступных многов R и S: последнее просто совпадает с отношением достаточности их “многов-образов” KR и KS.

С целью “экономии материала” разные многи-заменители разумно набирать, по возможности, из одних и тех же «фишек». И здесь проявляется важное сопутствующее преимущество “экономии” фишек: если, например, выше упомянутые многи-заменители KR и KS имеют в своём составе общие фишки, спаривать понадобится только те, что не являются общими (результат спаривания – выявленное отношение достаточности между оставшимися частями KR и KS, как и между самими R и S, будет таким же, как если бы многи KR и KS состояли целиком из разных фишек). Ещё важнее другое: если один из заменителей целиком состоит из фишек другого заменителя, то есть является его частью, то “спаривать” фишки вообще не требуется: если, например, 1-1-образ многа R (т.е. мног  KR) включает 1-1-образ многа S (т.е. мног KS) в качестве своей части, то мног R достаточен многу S.

Обилие натуральных множеств, многие из которых весьма важны, но недоступны одновременно для непосредственного сравнения, требует создания целой системы «заменителей». Мног (KX) этой системы, 1-1-подобный «важному» многу (X), будем именовать дальше «КОЛИЧЕСТВОМ многа X» . Однако то же «количество» может быть 1-1-подобно другим многам, например, многу Y, и также служить ему заменителем (если он не доступен, но тоже  "важен"). Говоря о количестве как об эталонном многе-заменителе мы как бы материализуем для детей общее количественное свойство присущее 1-1-подобным многам. Разные имена «KX», «KY» и возможные другие следует считать случайными именами одного и того же «количества» 1-1-подобного каждому из целого «класса» многов (1-1-подобных и друг другу).
 Сохранить следует одно из имён или дать новое, например, «K7» и считать, что мног K7 – количество любого 1-1-подобного ему многа (даже, например, такого экзотичного как мног дней в неделе, не говоря уже о подходящем многе пуговиц на курточке).

Возможно “сосуществование” разных количеств (K7, K5, K8 и др.), каждое из которых является количеством в своём классе 1-1-подобных многов. Например, мног-количество K5 является количеством одновременно и многа лучей звезды на Спасской башне, и многа “рук” у морского иглокожего существа (морской «звезды»), и многа букв в слове «многи», и многа пальцев на руке (хотя в последних двух случаях многи всегда “в наличии”, и заменители им не нужны). Заметим, среди первых (по степени объективной необходимости) количеств ещё только создаваемой счётной системы, нет количеств, которые можно бы было назвать К1, К2 и К3 (если бы мы следовали привычным методам обучения счёту). Дело в том, что "количественное различение" 1-1-подобных им многов не требует системного подхода: многи в "Два" и "Три" предмета и, тем более, "Один" предмет, идентифицируются воображением и памятью, не требуя никаких заменителей (да и впоследствии, хоть всю жизнь, без всякого счёта)!

Элементы-фишки, из которых состоят «(фишечные) количества», разумно сразу назвать «номерками», не вкладывая в это слово никакого порядкового смысла. Это такие бирки, служащие элементами количеств, для удобства размеченными по принадлежности тем и\или иным количествам (например, один и тот же "номерок" может иметь метки "5" и "8", если служит элементом одновременно количества K5 и количества K8). Организация целой системы количеств с помощью минимального набора «номерков», приводит к образованию «компакта» – компактной системы количеств, состоящей из “налагающихся” (то есть имеющих общие элементы) количеств, которой (системе) присуще следующее:
разные количества (разной «мощности») связаны отношениями «полного наложения», или «включения». Это значит, что из любых двух количеств одно является «частью» другого (при этом другое «включает» все элементы первого). Полезность такой системы в том, что о достаточности одного многа другому можно узнать, определив   количества, 1-1-подобные им («их количества»): если количество многа X включает количество многа Y, то мног X достаточен многу Y.
Определение (выявление имеющегося или создание нового) количества для произвольного многа Z путём отображения элементов многа Z в уже существующие номерки «компактной системы количеств» без нарушения её компактности назовём «СЧЁТОМ (многа Z)».

Счёт в начальный период его освоения, пока просто "компактная" система количеств не превратится в "полную компактную" («полный компакт»), осуществляется по следующему алгоритму (определяющему последовательность выбора номерков для отображения в них элементов многа Z):
в каждом акте счёта (многа Z) выбирается ЛЮБОЙ номерок*********, принадлежащий всем тем количествам, которые ещё не исчерпаны в предыдущих актах его (многа Z) счёта. В остальном порядок выбора произвольный (и диктуется лишь соображениями удобства запоминания уже выбранных)! При этом пополнение всего "компакта" новыми фишками-номерками потребуется только если все его номерки исчерпаются раньше, чем будут исчерпаны элементы многа Z. Если (при счёте) с последним отображённым элементом многа Z исчерпываются номерки одного из уже существующих количеств, то оно и есть количество многа Z, т.к. оно 1-1-подобно Z. В противном случае выбранные номерки образуют новое количество, которое должно получить новое имя (условно «KZ») (и каждый задействованный "номерок" должен получить (среди прочих меток) метку принадлежности новому количеству KZ). Важно: новое количество (KZ) совсем не обязательно включает все ранее созданные количества (то есть содержит все номерки каждого из них), некоторые старые количества могут быть "больше" нового! Это совершенно не мыслимо в традиционном понимании операции счёта как строго упорядоченной процедуры.

Очевидно, с образованием каждого нового количества вероятность создания новых количеств (в случаях счёта многов, ранее не считанных) уменьшается (хотя и не исчезает, т.к. для любого, даже "самого большого" из уже существующих количеств найдётся ещё не сосчитанный мног, для счёта которого этих "номерков" окажется не достаточно).

По мере появления в системе новых количеств (“пополнения компакта”) возрастает упорядоченность счёта (жёсткость "алгоритма" выбора номерков при счёте многа Z). Счёт становится вполне-упорядоченным, только когда структура системы обеспечит однозначность выбора номерков, что, в свою очередь, требует: 1) наличия «единичного» количества, состоящего из одного номерка (вот когда понадобится количество К1), с которого и начинается любой счёт в будущем; 2) для каждого количества K в системе существует «следующее за ним» количество K', содержащее лишь один дополнительный номерок, которым продолжается счёт после исчерпания K. Номер, принадлежащий количеству K', но не принадлежащий K, следует назвать «собственным» номером количества K', или его «последним» номером (т.к. при счёте любого многа, 1-1-подобного количеству K', его «собственный» номер оказывается последним).
 
Поскольку процесс пополнения “компакта” новыми количествами не может в принципе закончиться естественным образом, то конечным его (процесса) результатом становится не сам материальный «компакт всех количеств», а созревание в голове ученика ИДЕИ «полного компакта», имеющего особое, но, что удивительно, вполне понятное, новое свойство – быть ПОТЕНЦИАЛЬНО БЕСКОНЕЧНЫМ (ПРО)ОБРАЗОМ полной компактной счётной системы.

В результате логичный генезис счётной системы приводит к двуединой системе жёстко связанных подсистем «количеств» и «номеров»: каждое количество это мног, состоящий из номеров, и каждый номер (NX) это особый – «последний», или «собственный», – элемент некоторого количества (KX), не принадлежащий количествам-частям этого количества. Всю систему можно изобразить в виде пары связанных потенциально бесконечных рядов:
    K1,   K2,   K3,   K4,   K5,    K6,   K7,   K8,   K9,  …
    N1,   N2,   N3,   N4,   N5,    N6,   N7,   N8,   N9,  …
Здесь символы верхнего ряда служат именами количеств системы, нижние – имена номеров (или даже сами номера, т.к. материальные фишки-номерки уже не нужны). Каждое количество по имени «KX» – правильная часть любого количества, имя которого фигурирует дальше от начала верхнего ряда, чем «KX», и содержит в качестве своих элементов определённые номера нижнего ряда, а именно, расположенный под его именем собственный номер NX и все те номера, что фигурируют ближе к началу нижнего ряда, чем NX, например, количество  K4 состоит из номеров N1, N2, N3 и «собственного» его номера N4 не принадлежащего ни K1, ни  K2, ни  K3 (но принадлежащего, кроме  K4, любому количеству, включающему K4, как свою часть).
   
Дань привычной терминологии: количества можно называть «количественными числами»,  номера же суть «порядковые числа». Возможность в процессе счёта нумеровать предметы есть полезный, но побочный эффект этой системы, возникающий уже после того, как частично упорядоченный счёт с помощью первых компактных систем количеств (когда при каждом акте счёта выбирать приходится среди нескольких одинаково подходящих номерков) превращается в полностью упорядоченный процесс счёта (когда выбор номерка в каждом акте однозначен).

Сенсорная (поверяемая органами чувств, а не логикой), в частности, пространственная, упорядоченность обоих “рядов” – количеств и номеров – есть лишь сверхэффективное вспомогательное средство, позволяющее без лишних меток (кроме одной, выражающей принадлежность некоторому количеству в качестве его "собственного" номера) ориентироваться в структуре как угодно большой эталонной системы количеств. Эта единственная метка на «номерке», превратившемся в «номер», и есть т.н. «натуральное число» в их «натуральном ряду»:
  1,  2,  3,  4,  5,  6,  7,  8,  9, …
Бесконечность «натурального ряда чисел» требует бесконечного множества меток, именуемых «числительными» – эта (важнейшая для практики использования больших чисел, но теоретически второстепенная) задача решается при изобретении нуля ("0") выбором «системы счисления» (наиболее в ходу "десятичная") и записью любого числа в виде набора цифр (от "0" до "9", служащих также наименованиями базовых малых чисел).

Важнейшее из обобщений понятия «натурального числа» – переход к «действительным числам» и введение понятия «величины» – начинается с освоения обобщённой операции отображения, при которой рассматриваются в качестве «элементов многа» уже не отдельные предметы, а целые множества таковых. Работа с величинами порождает «теорию измерений» и невозможна без понятия «меры» («мерки» у детей), используемой в качестве «единицы измерения» даже при простом счёте множеств.  В самом деле, “десяток”, “сотня” или любое другое множество, играющее роль “единицы” (вместо отдельного предмета), это уже "мера".
 
Вслед за освоением таких “мер” в мире дискретного человек приспосабливает выработанные приёмы для освоения мира непрерывного – жидких сред, сыпучих тел и т.д. Прямо сосчитать воду или песок невозможно, но операции отображения подобных недискретных объектов в счётные многообразия возможны "порциями", определённость которых обеспечивается особыми (опять же дискретными) телами (кружками, стаканами), которые как раз и обретают полноценный статус понятия «МЕРЫ» в мире непрерывного, ибо так же, в сущности, можно охарактеризовать эталон метра, хранящегося в палате мер и весов под Парижем….

В заключение заметим, что использование «мерок» и понятия «величины» на более ранней стадии обучения (чем освоение счёта и дискретного количества) не только осложняет усвоение операции счёта, но и сужает круг начальных задач, решаемых с помощью счёта, так как по сути игнорирует основную функцию количественных чисел – решать задачу достаточности одного многа другому. В самом деле, введение обязательной «мерки» обязывает сравнивать между собой величины "по общей мере" и игнорировать возможность сопоставления многов отдельных предметов, не имеющих общей меры, но действительно “нужных” друг другу (с одной стороны куклы, с другой – стульчики; с одной стороны болты – с другой гайки и тому подобные примеры). В практике счёта гораздо важнее сравнивать множества взаимодополнительные или функционально связанные, чем имеющие "общую меру". Велика ли надобность сравнивать друг с другом (по количеству) два множества стульев вместо того, чтобы сравнить количество стульев с количеством ожидаемых гостей?


  * Абстрактная теория множеств (элементы которых – тоже множества) по сути игнорирует «натуральные» множества отдельных предметов, и поэтому не служит ЕСТЕСТВЕННОЙ ОСНОВОЙ для введения операции счёта и понятия числа без использования дополнительных абстрактных объектов – «мерок», переводящих проблему счёта и числа сразу в более сложную проблему «измерения величин», адаптируемую (урезаемую) под нужды начального обучения.
  ** Этот частный случай «действительных» чисел наиболее важен в практике измерения физических величин с использованием обыкновенных дробей (ниже мы придём к выводу, что понятие «величины», вторично по отношению к понятию числа).
  *** Опубликована в сборнике «Наука, экономика, общество», г.Воскресенск, 2011, с.65-71. Её "инобытием" на Прозе.ру стала статья "Натуральные множества и натуральные числа" (http://www.proza.ru/2016/10/10/164). 
  **** И вовсе не должен конструировать их через «комплексы ощущений» (по терминологии Э.Маха), называемые «единицами», выделяемыми с помощью «мерок». Восприятие отдельного «предмета» со всеми его признаками происходит (если ощущения инициированы воздействием на органы чувств из одного «места» реального пространства-времени) подсознательно. А сознательно предмет не синтезируется, а скорее наоборот, разлагается в «комплекс (исходных) ощущений» (то есть порядок возникновения феноменов «предмета» и «комплекса ощущений» обратный декларируемому позитивистом). «Мерка» это в некотором роде «комплекс ощущений», имеющий смысл единицы измерения физической величины (особенно непрерывной), она не обязательна для операций с множествами изначально дискретных предметов.
  ***** Увлекательная комбинаторика может увлечь “продвинутого” отрока на обобщения в иной плоскости: использование целых многов в качестве элементов других многов. Например, рассматривать пару перчаток как мног являющийся «элементом» многа пар перчаток. За идею следует его похвалить, но предупредить о риске выйти за рамки ещё не освоенной темы и запутать её. В рамках темы пара перчаток это не мног, а «комплект» предметов (связанных единством назначения при отсутствии взаимозаменяемости), который (комплект) действительно можно рассматривать как элемент другого, скажем,"сложного" многа.
  ****** В практике постижения понятия числа исходя из операций с «величинами» “сравнивать” можно лишь величины «по общей мере». С точки зрения понятия числа это роковое, но не правомерное в дискретном мире ограничение. По общей мере можно сопоставлять друг с другом либо две кучки болтов, либо две кучки гаек, но на самом деле гораздо важнее сопоставить кучку болтов и кучку гаек для них. Важно, что последнее возможно, поскольку и болты, и гайки - отдельные предметы, лишь принадлежащие разным многам. Каким(?)- это вопрос не выбора "мерки", а различения свойств этих предметов.
  ******* Этот и последующие абзацы требуют некоторого напряжения даже при чтении взрослыми, но дети должны это не читать, а воспринимать всё на натурных объектах под руководством учителя (всё-таки “осилившего” нижесказанное).
  ******** Ещё доступней пальцы на руках, но они изначально упорядочены и это обстоятельство мешает (что исторически и происходило, порождая «загадку числа») постигать сущность количественных отношений вне зависимости от отношений порядка. В статье «Число и порядок» использованы такие метки принадлежности, как отверстия, надрезы, абстрактные символы («v»). В “детском” варианте лучше всего сработают символообразные рисунки: фигурка куклы на фишке означает принадлежность её многу заменителю многа кукол, аналогичную роль играет рисунок стульчика. Наличие на одной и той же фишке рисунка куклы и рисунка стульчика означает одновременную принадлежность её сразу двум разным многам-заменителям (в качестве общего их элемента)!
С ростом «компактной системы количеств» (“системных” многов-заменителей, – см. ниже) наличие на каждой фишке сразу нескольких рисунков-символов естественно усложнит ориентацию в принадлежности фишек разным «количествам» и приведёт к идее упорядоченного размещения фишек в пространстве. Но это будет восприниматься лишь как вопрос удобства для “счетовода” (обеспечивающего быструю ориентацию в системе) и не затмит собой количественную интерпретацию всей системы даже после того, как на «фишках-номерках» останется по одной метке («числительному», превратившему "номерок" в полноценный НОМЕР), и вся система вытянется в бесконечный «натуральный ряд» «чисел».
  ********* Такой "номерок" не единственный до тех пор, пока система не превратится в ПОЛНУЮ компактную систему количеств. Последнее произойдёт в полной мере лишь после осознания возможности «бесконечного» множества номеров и (столь же бесконечного) множества количеств, как ИДЕАЛЬНЫХ объектов счётной системы. Некоторые из идеальных объектов, а именно, "натуральные числа",  унаследовали "натуральность" лишь как эпитет от подлинно натуральных объектов, с которых начался генезис числа...


Рецензии