Метафизические основания арифметики

Нижеследующий текст есть результат моего небольшого 'музицирования', не имеющий практических приложений. Я не ставил себе цель достигнуть строгости, и некоторые положения, не вызывающие сомнения, оставляю без обсуждения. Скорее всего всё то что я пишу можно найти в какой нибудь книжке по математике, вспоминая "Вавилонскую библиотеку" Борхеса, тратить время на поиск такой книжки жаль.

Приведём отрывок из книги A.Колмогорова и C.Фомина: "Понятие множества настолько общее, что трудно дать ему какое-либо определение, которое не сводилось бы просто к замене слова "множество" равнозначащами выражениями совокупность, собрание элементов и т.п.". То же самое утверждение представляется справедливым для многих, видимо всех, оснований, они стоят исключительно на нашем интуитивном представлении. 

Необходимо привести предварительные рассуждения, результаты которых нам понадобятся вскоре. Мы хорошо чувствуем что находимся в пространстве, которое может быть абсолютно пустым. В этом пространстве можно перемещаться вперёд и назад, и таким образом выбрать некоторый отрезок, который можно мысленно делить на части. Интуиция говорит что достигая очень маленького размера делить дальше уже может не получиться, т.е. можно достигнуть того что называется квантом. Следуя A.Эйнштейну замечательным примером кванта является электрический заряд. Заряд квантуется, нет меньшего заряда чем заряд электрона, т.е. электрон не получается разбить пополам. Представим себе самый маленький отрезок пространства, и зададим вопрос : можно ли его расширить взяв увеличительное стекло. Ответ утвердителен, таким образом мы всегда можем расширять пространство достигая сколь угодно маленьких размеров, и предела такому расширению нет. Отсюда следует что пространство не квантуется, пространство способно непрерывно расширяться сколь угодно. Зададим себе другой вопрос : можно ли увеличивать отрезок сколь угодно, достигая того что называетрся бесконечностью. Ответить на этот вопрос уверенно не удаётся поскольку остаётся возможность что наше пространство является очень большой сферой и двигаясь в одном направлении мы вернёмся в исходную точку. 

Арифметика основана на нашей способности считать - раз, два, три, четыре, и т.д. Число можно представлять себе как некий заряд, состоящий из определённого количества электронов.

Мы готовы к первым двум основаниям :

1. Возможна пустота чему соответствует цифра 0
2. Противоположность пустоте есть квант - цифра 1

Интуитивно кажется что счёт не нуждается в пространстве, но записать (т.е. запомнить) число невозможно без пространства, имеющего направление. Для записи числа нам необходимо складывать наши две цифры в определённом направлении. Такая запись даёт возможность запомнить любое число. Аналогия (т.е. одинаковость) счёта и одномерной геометрии, вероятно, находится в фундаменте мироздания.

Переходим к формулировке следующих оснований.
 
3. Существует пространство : точка отсчёта (там где нахожусь Я) и два направления от точки отсчёта - вперёд (положительное), и назад (отрицательное) вдоль которых возможно складывать цифры одну за другой. Подобную запись будем называть числом или регистром, разряды которого имеют состояния 0 или 1.

4. В регистры можно добавлять (операция +) или убавлять (операция –) по одному кванту. Алгоритмы очевидны, описание опускаем.

5. Числа возможно подвергать сравнению на основании следующих свойств пространства :
 
 5.1    a = a;   a + 0 = a  ;  a  - 0 = a
 5.2    a + 1 > a  ;  a  - 1 < a
 5.3   из  b > a, c > b следует  c > a


6.  Направления пространства неразличимы, также как регистры, выбор положительного и отрицательного направления не меняет результатов действий над числами. Отсюда следует :
               
a + b = b + a ;
a * b = b * a ,

здесь умножение * есть многократное сложение

7. Для очень больших чисел прибавление 1 не приводит к изменению числа, таким образом мы постулируем существование бесконечности. Иными словами регистр имеет максимальный размер и он может переполняться когда добавление к нему уже не меняет его состояния.
Фактически мы представляем себе что наше пространство является сферой.

8. Из предыдущего основания 7 следует существование малых чисел, которые невозможно запомнить или записать так как при этом наш регистр, содержащий число расширений пространства, будет переполняться. Таким образом, при малых расстояниях или значениях возникает неопределённость.


Прим. Мне даны органы чувств, с помощью которых мой мозг строит пространственные нейронные структуры, дающие способность мыслить. В этой заметке я исхожу из безосновательного предположения что мои нейронные структуры есть отображение действительного мира.