Тьма-таракань электротехники-2

назад http://www.proza.ru/2018/07/25/64

Тьма-таракань электротехники-2

Метод контурных токов и метод узловых потенциалов

Кто изучал электротехнику, тот знает, что эти две темы - одни из наиболее сложных в ней. Об этом, в частности, говорит то, что, как правило, решение задач этими методами не соответствует по результатам решению тех же задач классическим методом уравнений Киргофа. А также то, что в методичках самых разных институтов по этим методам до сир остаются неотвеченными некоторые вопросы собственно по алгоритмам этих методов (или в разных методичках отвеченнными по-разному)
В чём же причина этого?
Перед началом собственно анализа сразу оговорюсь: в данной статье я попытался показать и проиллюстрировать на практике принцип праксеологии: последовательно идя от простого к сложному (от решения простых задач к решению более сложных), на этом пути формулируй гипотезы и проверяй их, превращая в теоремы. Так что, уважаемые читатели, попытайтесь уловить эту интенцию.
(схемы всех цепей, анализируемых в данной статье, даны в иллюстрации к ней)

Метод узловых потенциалов

Идея этого метода в том, что для каждого (кроме одного, произвольного, потенциал которого принимается равным 0) узла цепи
(узел - это точка, в которй соединяются выводы как минимум 2-х элементов цепи) составляются уравнения и полученная система решается относительно потенциалов узлов, после чего, исходя из найденных значений потенциалов, определяются по закону Ома реальные токи через каждый элемент цепи.
Схема каждого уравнения МУП выглядит следующим образом:
сумма сил токов, втекающих в данный узел за вычетом сил межузловых токов токов равна сумме сил тока источников электрической энергии, инцидентных данному узлу.
Но как быть, если узлу инцидентны, кроме источников тока еще и источники эдс? Ведь у него нет собственной силы тока. Так как же определить тогда квази-силу тока данного источника эдс?

Для ответа на этот вопрос пойдём по тому же пути, что и в предыдущей статье, о МКТ: напишем для данной схемы систему уравнений Киргофа, затем, выразив по закону Ома силы тока через каждый пассивный элемент, сделаем в неё подстановку. Тогда и получим прообраз системы уравнений МУП для данной схемы, а затем и эту систему  в каноническом виде, после чего сделаем из неё выводы.
Начнём, как и в предыдущей статье, с простейшей схемы, а затем будем постепенно усложнять схему, добавляя в неё новые элементы.

Простейшая схема - e1.
Для неё система Киргофа такова:
a)0 = IE1+IR1
k1)E1 = UR1=-IR1*R1
Обратите внимание: мы написали уравнение только для одного узла, а, хотя в схеме их 2. Это, а именно исключение одного из узлов, в данном случае b, необходимо, чтобы устранить избыточность системы.
(и это есть "1-ая теорема Кирхгофа": один узел в системе уравений не учитываем.)
И еще: именно узлу b в МУП следует, стало быть, присвоить нулевой потенциал:
fb=0.
Решение системы Киргофа:
E1 = E1/R1
IR1 = -E1/R1
Подстановка для перехода от метода Киргофа к МУП:
IR1 = (fa-fb)/R1
E1 = E1/R1 (из решения системы Кирхгофа)
Тогда система МУП для данной схемы:
a)0 =E1/R1+fa/R1
А в каноническом виде:
fa/R1=-E1/R1
Выводы:
Ga=1/R1 - проводимость узла a (понятно, что это тоже виртуальная величина, как и контурный ток)
Введём понятие: проводимость источника эдс относительно узла, тогда
GE1a=1/R1 - проводимость источника эдс E1 относительно узла a.
Гипотезы:
1)значение эдс источника эдс берётся со знаком "-", если этот источник содаёт ток, вытекающий из узла.
2)проводимость источника эдс А относительно узла Б равна проводимости блока цепи, подключенной параллельно источнику эдс А.

Следующая схема - k.
Вот уравнения Кирхгофа для неё:
a)0 = IE1+IR1
b)IR1 = IR2
k1)E1 = -IR1*R1-IR2*R2
Решение системы Кирхгофа:
IE1 = E1/(R1+R2),
IR1 = -E1/(R1+R2),
IR2 = -E1/(R1+R2)
Подстановка для перехода к МУП:
IR1 = (fa-fb)/R1,
IR2 = (fb-fc)/R2
fc = 0
IE1 = E1/(R1+R2) (из решения системы Кирхгофа)
Система МУП:
0 = E1/(R1+R2)+(fa-fb)/R1,
(fa-fb)/R1 = fb/R2
В классическом виде:
(fa-fb)/R1=-E1/(R1+R2) =>
 =>
a)fa/R1-fb/R1=-E1/(R1+R2)
b)-fa/R1 +fb*(/R1+/R2) = 0
Выводы:
Ga=/R1 - проводимость узла a
(здесь и далее /R1 - придуманное мной более краткое обозначение выражения 1/R1)
Gba=/R1 -проводимость узла b относительно узла a
Gab=/R1 -проводимость узла a относительно узла b
Gb=/R1+/R2 - проводимость узла b
GE1a=/(R1+R2) - проводимость E1 относительно узла a
Все выводы соответствуют выше сформулированным гипотезам.
Есть дополнительные гипотезы:
1)проводимость узла равна сумме проводимость всех инцидентных ему элементов цепи;
Введём еще понятие: общий межузловой элемент -  элемент, инцидентный обеим узлам из данной пары узлов.
2)силы токов через общие межузловые элементы следует брать с "-".
Как проверить эту гипотезу? А именно, в любом ли случае действует это правило?

Для этого поменяем в рассмотренной только что схеме выбор узла, потенциал которого равен 0. Это и будет схема ka.
Уравнения Кирхгофа для неё:
b)IR1 = IR2
c)IE1+IR2 = 0
k1)E1 = UR1+UR2
Решение системы Кирхгофа:
IE1 = E1/(R1+R2),
IR1 = -E1/(R1+R2),
IR2 = -E1/(R1+R2)
(как видим,  оно совершенно такое же, как и для схемы k. Но это и не удвительно.)
Подстановка для перехода к МУП:
IR1 = (fa-fb)/R1,
IR2 = (fb-fc)/R2
fa = 0
IE1 = E1/(R1+R2),
(из решения системы Кирхгофа)
Система МУП:
-fb/R1 = (fb-fc)/R2,
E1/(R1+R2)+(fb-fc)/R2 = 0
В классическом виде:
fb*(/R1+/R2) -fc/R2= 0
-fb/R2+fc/R2 = E1 /(R1+R2)
Выводы:
Gb=/R1+/R2
Gc=/R2
Ib=0 (т.к. узлу b не инцидентен ни один источник эл.энергии)
GE1c=/(R1+R2)
Все выводы соответствуют выше сформулированным гипотезам.
Таким образом, проверямая гипотеза тоже подтверждена.

Теперь - схема l.
Уравнения Кирхгофа для неё:
a)0 = IE1+IR1+IR2
k1)E1 = -IR1*R1
k2)-IR1*R1 = -IR2*R2
Решение системы Кирхгофа:
IE1 = E1*(R1+R2)/(R1*R2)
IR1 = -E1/R1
IR2 = -E1/R2
Подстановка для перехода к МУП:
IR1 = (fa-fb)/R1,
IR2 = (fa-fb)/R2
fb = 0
IE1 = E1*(R1+R2)/(R1*R2)
(из решения системы Кирхгофа)
Система МУП:
0 =E1*(R1+R2)/(R1*R2)+fa/R1+fa/R2
В классическом виде:
fa*(/R1+/R2)=-E1*(R1+R2)/(R1*R2)=-E1*(/R1+/R2)
Выводы:
Ga=/R1+/R2 - проводимость узла a
GE1a=/R1+/R2 - проводимость E1 относительно узла a.
Все выводы соответствуют выше сформулированным гипотезам.

Следующая - схема m. Уравнения Кирхгофа для неё таковы:
a)0 = IE1+IR1
b)IE1 = IE2
k1)E1+E2 = -IR1*R1
Решение системы Кирхгофа:
IE1 = (E1+E2)/R1,
IE2 = (E1+E2)/R1,
IR1 = -(E1+E2)/R1
Подстановка для перехода к МУП:
IR1 = (fa-fc)/R1
fc = 0
IE1 = (E1+E2)/R1,
IE2 = (E1+E2)/R1,
(из решения системы Кирхгофа)
Система МУП:
0 = (E1+E2)/R1+fa/R1,
(E1+E2)/R1 = (E1+E2)/R1
2-ое равенство является тождеством, поэтому отбрасываем его (введя попутно понятие ложный (пустой) узел, в данном случае это узел b) , в итоге система МУП в классическом виде предстаёт так:
 fa/R1=-(E1+E2)/R1=-E1/R1-E2/R1
Выводы:
Ga=/R1
GE1a=/R1
GE2a=/R1
Последние 2 вывода не соответствуют выше сформулированной гипотезе:
2)проводимость источника эдс А относительно узла Б равна проводимости блока цепи, подключенной параллельно источнику эдс А.
Пересмотрим её, учитывая результаты и для данной схемы: проводимость источника эдс А относительно узла Б равна проводимости блока цепи, подключенного параллельно источнику эдс А, учитывая то, что сопротивление идеального источника эдс равно 0.
Следовательно, для определения параллельности подключения иные источники эдс можно (мысленно) исключить из цепи.
(равно как следует учесть также и то, что проводимость идеального источника тока равна 0, но это уже в статье про МКТ)

Схема c1.
 Уравнения Кирхгофа
a)0 = IE2+IE1+IR1
b)IE1+IR1 = IR2
k1)E1 = -IR1*R1
k2)E2 = -IR1*R1-IR2*R2
Решение системы Кирхгофа:
IE1 = (E1*R1+E1*R2-E2*R1)/(R1*R2),
IE2 = -(E1-E2)/R2,
IR1 = -E1/R1,
IR2 = (E1-E2)/R2
Подстановка для перехода к МУП:
IR1 = (fa-fb)/R1,
IR2 = (fb-fc)/R2
fc = 0
В подстановку также,  из решения системы Кирхгофа:
IE1 = (E1*R1+E1*R2-E2*R1)/(R1*R2),
IE2 = -(E1-E2)/R2
Система МУП:
a)0 = -(E1-E2)/R2+(E1*R1+E1*R2-E2*R1)/(R1*R2)+(fa-fb)/R1
b)(E1*R1+E1*R2-E2*R1)/(R1*R2)+(fa-fb)/R1 = fb/R2
Итого система МУП в классическом виде:
a)fa/R1-fb/R1=-E1/R1
b)-fa/R1+fb*(/R1+/R2)=E1*(/R1+/R2)-E2/R2
Выводы:
Ga=/R1
Gba=/R1=Gab
Gb=/R1+/R2
GE1a=/R1
GE2a=0
GE1b=/R1+/R2
GE2b=/R2
Несоответствий текущим гипотезам: нет.
Новых гипотез: нет

Схема d1.
Уравнения Кирхгофа
a)0 = IR1+IE1+IR2
b)IR2 = IE2
k1)-IR1*R1 = -IR2*R2+E2
k2)-IR1*R1 = E1
Решение системы Кирхгофа:
IE1 = (E1*R1+E1*R2-E2*R1)/(R1*R2),
IE2 = -(E1-E2)/R2,
IR1 = -E1/R1,
IR2 = -(E1-E2)/R2
Подстановка для перехода к МУП:
IR1 = (fa-fc)/R1,
IR2 = (fa-fb)/R2
fc = 0
IE1 = (E1*R1+E1*R2-E2*R1)/(R1*R2),
IE2 = -(E1-E2)/R2
(последние 2 равенства - из решения системы Кирхгофа)
Система МУП:
a)0 = fa/R1+(E1*R1+E1*R2-E2*R1)/(R1*R2) +(fa-fb)/R2,
b)(fa-fb)/R2 = -(E1-E2)/R2
система МУП в классическом виде:
a)fa/R1+(fa-fb)/R2=-(E1*R1+E1*R2-E2*R1)/(R1*R2) =>
=>fa*(/R1+/R2)-fb/R2=-E1*(R1+R2)/(R1*R2) +E2/R2 =>
=>fa*(/R1+/R2)-fb/R2=-E1*(/R1+/R2)+E2/R2
b)-fa/R2 +fb/R2 = E1/R2-E2/R2
Выводы:
Ga=/R1+/R2
Gba=/R2 =Gab
Gb=/R2
GE1a=/R1+/R2
GE2a=/R2
GE1b=/R2
GE2b=/R2
Несоответствий текущим гипотезам: нет.
Новых гипотез: нет

Схема h1.
Уравнения Кирхгофа
a)0 = IE1+IE2
b)IE1 = IR1
c)IE2 = IR2
k1)-IR1*R1+E1 = -IR2*R2+E2
Решение системы Кирхгофа:
IE1 = (E1-E2)/(R1+R2),
IE2 = -(E1-E2)/(R1+R2),
IR1 = (E1-E2)/(R1+R2),
IR2 = -(E1-E2)/(R1+R2)
Подстановка для перехода к МУП:
IR1 = (fb-fd)/R1,
IR2 = (fc-fd)/R2
fd := 0
IE1 = (E1-E2)/(R1+R2),
IE2 = -(E1-E2)/(R1+R2),
(последние 2 равенства - из решения системы Кирхгофа)
Система МУП:
a)0 = 0
(это равенство является тождеством, поэтому его исключаем из системы.
Так получилось потому, что узлу а инцидентны только источники эдс, проводимость которых равна бесконечности, поэтому обе части уравнения для этого узла превращаются в 0)
b)(E1-E2)/(R1+R2) = fb/R1,
c)-(E1-E2)/(R1+R2) = fc/R2
система МУП в классическом виде
b)fb/R1=(E1-E2)/(R1+R2)=E1/(R1+R2)-E2/(R1+R2)
c)fc/R2=-(E1-E2)/(R1+R2) =-E1/(R1+R2)+E2/(R1+R2)
Выводы:
Ga=infinity
Gab=0=Gba (т.к. отсутствуют общие ветви)
Gac=0=Gca (т.к. отсутствуют общие ветви)
Gb=/R1
Gcb=0=Gbc (т.к. отсутствуют общие ветви)
Gc=/R2
GE1b=/(R1+R2)
GE1c=/(R1+R2)
GE2b=/(R1+R2)
GE2c=/(R1+R2)
Несоответствий текущим гипотезам: нет.
Новых гипотез: нет
Но есть следующая коллизия: источник E2 создаёт ток, вытекающий из узла b, но это если идти через узел a. Если же идти через узел d, то тот же источник E2 создаёт ток, втекающий в узел b.
Та же самая коллизия возникает и по отношению источнику E1.
Но, судя по виду уравнений, разрешаем эту коллизию следующей гипотезой-правилом:
направление тока, создаваемого источником через данный узел, следует определять по кратчайшему пути от источника к узлу, а желательно - по непосредственной инцидентности источника к узлу, возможно опуская при этом источники эдс, поскольку они имеют нулевое сопротивление.

Итак, подведём резюме.
Сначала понятия:
0)узел цепи - это точка, в которой соединяются выводы как минимум 2-х элементов цепи.
1)общий межузловой элемент -  элемент, инцидентный обеим узлам из данной пары узлов.
2)проводимость источника эдс относительно узла - это величина размерности /Ом, на значение которой следует умножить значение эдс источника эдс, чтобы найти создаваемый данным источником в данном узле ток.

Теперь правила (в которые вследствие нашего анализа превратились наконец-то гипотезы)
1)значение эдс источника эдс берётся со знаком "-", если этот источник создаёт ток, вытекающий из узла.
2)направление тока, создаваемого источником через данный узел, следует определять по кратчайшему пути от источника к узлу, а желательно - по непосредственной инцидентности источника к узлу, возможно опуская при этом источники эдс, поскольку они имеют нулевое сопротивление.
3)проводимость источника эдс А относительно узла Б равна проводимости блока цепи, подключенного параллельно источнику эдс А, учитывая то, что сопротивление идеального источника эдс равно 0.
(следовательно, для определения параллельности подключения иные источники эдс можно (мысленно) исключить из цепи.)
4)проводимость узла равна сумме проводимостей всех инцидентных ему элементов цепи;
5)силы токов через общие межузловые элементы следует брать с "-".

Итак, дело сделано: правила составления уравнений системы МУП сформулированы.
И могут быть успешно применяемы!

вперёд http://www.proza.ru/2019/11/10/42