Доказательтво распределения Тертеряна

   Пусть  мы  имеем прямоугольный  треугольник, один катет  которого  находится  на  оси  X, а  острый  угол  совпадает  с  началом  координат. Разобьём   лежащий  на  оси  X  катет  на  N  равных  интервалов (N=1,2,3,...,n), где  n - номера  интервалов, которые  будут  изменяться  от  1  до  N. Из  концов  каждого  интервала  проведём  прямые параллельные  другому  катету  до  пересечения  их  с  гипотенузой. В  результате  получаем  на  первом  интервале треугольник, на  остальных  интервалах - трапеции. Обозначим  долю площади каждой  из  получаемой  фигур относительно  общей  площади  треугольника (N*N/2) через p1, p2, p3. ... pn. 
   При  отсутствии  разбиения ( количество  интервалов = 1,  в  этом случае получаем треугольник)  имеем:
    р1=((0+1)/2)*1/N*N/2= 1/N*N=1/1. Сумма вероятностей= 1
   При  разбиении на  2  интервала (в  этом  случае  получаем треугольник и  прямоугольную  трапецию)   
    p1=1/N*N=1/4; p2=((1+2)/2*1)/N*N/2=3/2*2=3/4. Сумма  вероятностей=1.
   При  разбиении на  3 интервала  (в этом  случае  получаем  треугольник  и  две  прямоугольные  трапеции)
    p1=1/9; p2=3/9; p3=((2+3)/2*1)/N*N/2=5/3*3=5/9. Сумма  вероятностей=1.   
   При  разбиении  на 4 интервала (в этом  случае получаем  треугольник  и  три  прямоугольные  трапеции). 
    p1=1/16;p2=3/16;p3=5/16;p4=((3+4)/2*1))/N*N/2=7/16.Сумма вероятностей=1.
   При разбиении на N интервалов pn=(2n-1)/N*N, что и требовалось доказать.
   Назовём  треугольник, получаемый  при  количестве  интервалов = 1, исходным  или  элементарным. Тогда, при  количестве  интервалов = 2, мы имеем  количество  элементарных  треугольников = 3, при количестве  интервалов = 3 количество  элементарных  треугольников = 5, при  количестве  интервалов =5  количество  элементарных  треугольников = 7  и  т. д.  То  есть  количества  элементарных  треугольников  при  разбиении  всего  диапазона  на 1, 2, 3, 4  и  т.д.  интервалов  относятся как  1:3:5:7 и  т.д. Поэтому  данное  соотношение  назовём  законом  соотношения  прямоугольного  треугольника.  То, что  это соотношение фундаментально, подчёркивается , например, тем фактом, что  отношения квантилей  по  подуровням  в  уровнях  электронных  оболочек  атомов  химических  элементов  подчиняются  той  же самой закономерности.
     Справедливо  и  обратное: если  основание  некоторой  фигуры  разбито  на  N равных  интервалов, а  площади,  соответствующие  этим  интервалам,  относятся  между  собой  как  1:3:5:7  и т.д., то  данная  фигура  является  прямоугольным  треугольником.