Дьявольская теорема

ЭФФЕКТИВНОЕ РЕШЕТО ДЛЯ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ
                (29ая проблема автора в теории чисел, «Дьявольская»)
Самым популярным и, видимо, самым древним алгоритмом нахождения простых чисел считается решето Эратосфена, когда в последовательности натуральных чисел вычёркиваются все числа, кратные оставшимся предыдущим, не делящимся нацело ни на какие натуральные числа, кроме самого себя и единицы.
Наши исследования, резюмирующие результаты которых приведены на рисунке с пояснениями и иллюстрациями на английском языке, доказывают существование более эффективных алгоритмов и компактного решета: https://sites.google.com/site/wieujournal/scientific-notes/ .
Прежде всего важно доказать, что все нечётные простые числа включаются по простой формуле решета (2). Доказательство для случая, когда исходное множество совпадает с множеством нечётных чисел (к=1), очевидно, поскольку все нечётные простые числа включены во множество нечётных чисел. Для случая к=2 достаточно заметить, что остатки от деления нечётных чисел на 4 равны либо 1, либо 3, но 3=4-1, т.е. выражения 4м+1, 4н-1, где м, н – натуральные числа, полностью включают все нечётные простые числа. Несколько сложнее обстоит дело с решетом (6м-1, 6н+1), поскольку при делении нечётных чисел на 6 получаются остатки 1, 3, 5. Случай с остатком 5 легко поглощается случаями с единицей, поскольку 5=6-1. А вот 6 кратно 3. Стало быть, число не простое, т.е. делится на 3. Поэтому в формуле (1) для алгоритма такая кратность исключена. Поэтому и простое число 3 в данном случае выпадает из решета. При к=4 происходит расщепление формулы на 4 ветви: 8м-5, 8м-3, 8м-1, 8м+1. Но тут находятся все нечётные простые числа…
За меру эффективности решета естественно взять «плотность» простых чисел, т.е. отношение  числа простых чисел к общему числу чисел в множестве решета, определённом в каком-то конечном подмножестве, например, в первой сотне последовательности натуральных чисел.
Для решета Эратосфена получается плотность, равная 0.25. И вот на примерах продемонстрировано, что эффективность становится максимальной, если в качестве «к» выбрать произведение простых чисел, например, к=3х5=15. Эффективность 8миструйного решета 30м – р, как показано, достигает 92%: для первой сотни натуральных чисел из 25 членов вычёркиваются как непростые только два числа (49 и 77)!
А если взять к=3х5х7=105, то для многоструйного решета 210м – р  получаем для 211 первых натуральных чисел плотность, равную 0.895 (вычёркиваются в качестве непростых только 5 чисел из 48).
В более ранних работах мы ввели понятие факториала простых чисел как произведения последовательности нечётных простых чисел начиная с 3.  Эта величина и ближайшие к ней простые числа оказываются весьма важными и продуктивными для теории простых чисел вообще.
Работа с высокой плотностью простых чисел может значительно ускорить вычислительные процессы.
          На этом хотелось закончить все пояснения на русском языке, но тут случился неожиданный финал многолетнего письменного диалога с одним из признанных Богов Математики (не буду называть имени, чтобы не навлечь на себя дополнительную ярость, но все его называли Богом Математики – БМ – MathGod- MG). Дело в том, что с присущей мне детской наивностью я предложил описанные выше доказательства и алгоритмы нахождения простых чисел включить в курс арифметики для одарённых детей 9-10 лет. Бог Математики сначала с удовольствием согласился, поскольку он присоединился к критике, что простым числам не уделяется достаточно внимания в курсах арифметики. Мы вспомнили, что гении математики регулярно возвращались к занятиям с простыми числами. Но тут оказалось, что один из его одарённых учеников вместе с ним, познакомившись с моими алгоритмами решета, пришёл к такому же легкомысленному впечатлению, к какому пришёл Король математики Гаусс в юности, познакомившись с Великой теоремой Ферма. Тогда я обратил их внимание, что создаётся ложное впечатление, что почти все нечётные числа могут производиться любым алгоритмом типа (2), и предложил решето 60м – р, из которого «выпадают» простые числа 11, 71, …Собственно говоря, в этом заключается моя 29ая проблема в теории чисел…
Это привело их в замешательство. Я пояснил, что не всё так просто, как кажется, что при определённых условиях возникают ограничения, что при переходе к большим простым числам возникают принципиально новые проблемы. Обратил их внимание на проблему нахождения больших простых чисел среди чисел, образованных возведением удвоенных факториалов нечётных простых чисел в специальные чётные степени с последующим прибавлением единицы. И тут мои партнёры по переписке, увидев за видимой простотой всю сложность проблемы, вспомнили все мои «грехи», заподозрив, что я специально подстроил ловушку Богу Математики.
Дело в том, что с Богом Математики я познакомился в годы юности на семинаре по теоретической физике, в котором участвовали Боги теоретической физики уровня Дирака, Гейзенберга, Хиггса. Я умел быстро и эффективно вычислять и проверять результаты. Легко справлялся с лагранжианами в квантовой теории поля с  операторами порождения и уничтожения частиц, диаграммами Фейнмана, произведениями Вика и т.п. И находил ошибки и просчёты у классиков. Ведущий Бог заподозрил, что я делаю это специально ради подрыва авторитета богов. На самом же деле я хотел просто обратить внимание на проблемную, противоречивую недосказанность, нерешённость, которую часто хотели завуалировать, особенно при защите диссертации или победной реляции. Бог меня назвал за это «Коброй, вылетающей из Жертвенного невинного Агнца». «Смотрите, - говорил он, - в кого превращается скромный, добрый, мягкосердечный Агнец от дьявольского пламени познания, от плодов Древа Знания. На глазах Добро превращается в зло. Орфей превращается в Паганини. Paganini in Theoretical Physics (Паганини теоретической физики) – PiTPy!». И вот, если раньше меня называли ЛьПтитАльбер (Le Petit Albert), после этого стали называть ПИТПИ, Паганини. Во мне тогда видели худого брюнета с пламенным взором и непокорным нравом. Поэтому кличка «Паганини» внешне подходила и прилипла надолго. Потом экзальтированная нимфоманка, аспирантка Бога и по совместительству двойной агент известных разведок догоняла меня в коридоре, зажимала в тёмном углу, щипала, кусала и говорила, что хочет непременно пытать меня садистски и коллективно, втыкать раскалённый штырь и т. п. Я сначала не понимал, почему вызываю такую агрессию и повышенное притяжение маньяков. Затем один знаменитый актёр и режиссёр, отсидевший несколько лет в тюрьме за убийство жены, объяснил мне, что насилие притягивается моим миролюбивым поведением. «Не надо насильникам говорить, как ты им поёшь: «А что Вы сразу лезете?». Это распаляет насильника ещё больше. Надо смело надвигаться на них, как будто немедленно сам первым вступишь в драку!»…
Со временем маниакальные претензии ко мне перешли в другие, более тонкие, не физического плана сферы. После того, как я предложил спектр масс элементарных частиц и планет на основании новых нелинейных преобразований с корнем 64ой степени из массы, мне стали присылать письма и записки, объявившие меня «шпионом с Ориона», масоном, продолжателем колдовства Ньютона, Максвелла, Дирака. В одном из демократических кемпингов университетского городка показательно сожгли украденные у меня тетради, труды, одежду. «Не приезжай приглашённым профессором – сожжём на костре!». Я наивно полагал, что эра интернета ударит по мракобесию, что победит научное познание. Но вдруг появился целый класс новых мракобесов-цензоров-модераторов. Модераторы Гугла и Википедии объявили, что меня вовсе не существует и существовать не может, что я «фейк», произведение разведок и масонских лож, проявление тайной дьявольской власти…
Вот тут  Бог математики (БМ) всё и припомнил. Раз называли «Паганини» – значит, связь с дьяволом, всё один к одному. Припомнил он и мою диофантову проблему, обобщившую великую теорему Ферма, и уравнения квантовой теории. Мою 29ую проблему в теории чисел он назвал Дьявольской. Соблазнительным примером докторской диссертации на одной странице для сверхамбициозных гениев и губящих земной мир «джинов из бутылки». Скрижалью Дьявола. Измывательством над земными богами математики. БМ писал, что за моей 29ой проблемой кроются насмешливые, издевательские гримасы Ферма, Гаусса, Гольдбаха, Эйлера и всех, продавших, подобно Фаусту, душу дьяволу ради плодов познания. Закончил он переписку требованием, чтобы я возвращался на свой Орион и не портил жизнь богам на планете Земля, ниспровергая их в дьявольские ловушки и в ад безверия. С тех пор мою 29ую проблему в теории чисел называют «Дьявольской»…
Я не религиозен. И считаю истину эманацией Единого, Логоса, программой абсолюта. Простые числа, первочисла являются изначальной моделью вселенных, подобных нашей. В познании их нет заведомой заданности, «дурной бесконечности». Они будут всегда удивлять. Познание всегда будет древом. Ветвления, боковые новые ветки этого древа будут тропинками индивидуальности, неожиданного открытия, света, радости, любви к истине и доказательству…