Сюрпризы закона Био - Савара

[Физические формулы записаны в системе единиц СИ,  Pi = 3.14159 - число "пи",
Математическая символика - как в языке Turbo Pascal: sqrt - квадратный корень, ** - возведение в степень.]


Нет учебника общей физики для студентов ВТУЗов, в котором не излагался бы так называемый закон Био - Савара - Лапласа:

http://elementy.ru/trefil/79/Zakon_BioSavara

Как я понял, штудируя содержание ряда Интернет-сайтов, факультативно упоминается он и в школе, но мои студенты утверждают, что на уроках никогда ничего о нём не слышали (сам я в школе давно не преподаю). Студентами же закон воспринимается тяжеловато: и формула, выражающая его математически

                dH = (1 / 4 Pi)·[(i·dl); r] / |r|**3                (1)

(dH - вектор напряжённости магнитного поля, создаваемого малым элементом тока, dl - вектор длины элемента тока, i - сила тока в нём, r в числителе (1) - радиус-вектор из центра элемента тока в точку наблюдения, |r| в знаменателе (1) - модуль только что определённого вектора, [...] - математический символ векторного произведения 2 векторов)

записывается длиннее, чем, например, 2-й закон Ньютона, и с определением векторного произведения зачастую проблемы, и понятие "элемент тока" требует определённого уровня абстрагирования. Такого уровня, что для разъяснения его (понятия элемента тока) была написана целая статья [1] - очень интересная и, по-видимому, не только для меня, т.к. после своего появления, она вызвала целую дискуссию в этом физическом журнале.
Но и закончив чтение [1], думать над формулой (1) я не перестал и однажды мне пришло в голову, что я не знаю следующего: пусть имеется прямоугольная проволочная рамка ОАBC, несущая ток i. Положим, ОА = ВC = a, АВ = CО = b и допустим, что a << b, скажем a = 10 см, b = 1000 км (подводный телеграфный кабель через Атлантику, проложенный в XIX веке, имел длину 5000 км) при толщине проволоки с = 1 мм. Вопрос заключается в нахождении величины магнитного поля рамки, но не в произвольной точке пространства (это сложно), а в точке К на рисунке в его плоскости, вблизи оси Ox и одновременно далеко справа от стороны рамки ОА (левый край рамки - отрезок ВС - на рисунке показать невозможно: он далеко-далеко слева). То есть, координаты x, y, z точки К удовлетворяют двум сильным неравенствам сразу: x >> z, x >> a (но, возможно, x << b!).

По принципу суперпозиции магнитного поля, напряжённость поля Н рамки АОBC в любой точке - это векторная сумма напряжённостей полей 4 её сторон по отдельности -
 
                H  =  H1 + H2 + H3 + H4,                (2а)

где слагаемые соответствуют слева направо полям сторон рамки OA, AB, BC, CO.
Соответственно, для модулей этих векторов,

                |H| = |H1 + H2 + H3 + H4|                (2в)

Поле прямолинейного отрезка провода в физике известно (это прямое следствие (1)).
Соответствующую формулу можно найти во многих пособиях. У меня под рукой книжка [2], откуда и выписываю:

                |H| = (i / 4 Pi)·(cos Ф1 - cos Ф2) / s                (3)

Здесь s - расстояние от точки наблюдения до ближайшей точки отрезка по перпендикуляру, а Ф1 и Ф2 - углы между отрезком и направлением на точку наблюдения из дальнего и ближнего к ней краёв отрезка соответственно. Отрезок в (3) - произвольный и эту формулу можно раз за разом применять к рассматриваемой ситуации. На рисунке показан угол Ф2, соответствующий в (2в) полю Н4 стороны рамки СО, а расстояние s для точки К при этом равно модулю её z-координаты (угол же Ф1 не показан, чтобы не загромождать рисунок).

Первый неприятный сюрприз подстерегает решающего данную задачу, если он поместит точку К ПРЯМО НА оси Ox рисунка: тогда Ф1 = Ф2 = 0, s = 0 и мы сталкиваемся с неопределённостью 0 / 0 в (3). Правда, раскрывается она одномоментно - так как при малых Ф << 1 радиан,
                cos Ф = 1 - (Ф ** 2) / 2,                (4)
то модуль вектора Н4 линейно зависит от s и равен нулю при s = 0. Конечно - это очевидный заранее результат, но проверить его необходимо! 
А вот поле Н2 в точке наблюдения К, когда она лежит на оси Ox, очевидно, никак не равно - подставляя в (3) определение функции косинус как отношение прилежащего катета к гипотенузе и имея в виду, что
для малых чисел e << 1,
                sqrt(1 + e) = 1 + e / 2

и                1 / (1 + e) = 1 - e,

тут-же можно прийти к формуле

                |H2| = (i·a / 8 Pi)·((1 / x)**2 - (1 / (x + b))**2),          (5)               

а направление вектора этого поля в К, согласно (1), противоположно оси Oy, показанной на рисунке общепризнанной символикой (кружок с крестиком внутри). Коротко говоря - ось Оу смотрит от нас, а вектор Н2 в точке К - к нам (по направлению " - Оу ").
"Ну вот, - подумал я, выведя (5), - доброе начало полдела откачало". Теперь можно, используя тот-же метод, найти напряжённость поля в некоторых других удалённых от рамки точках пространства (здесь есть "белые пятна", не освещённые, насколько мне известно, в учебниках и задачниках). " ... Правда, есть ещё малые поправки от полей сторон рамки ОА и ВС, но ... надо ли их учитывать в условиях, когда длина стороны АВ в ДЕСЯТЬ МИЛЛИОНОВ раз больше длины стороны ОА?" ... "Нет - всё таки учесть их надо! В конце концов, это несложно" - подумал я. Это действительно несложно: ведь x >> a и, значит, стороны рамки ОА и тем более ВС по отношению к точке наблюдения К являются элементами тока. Закон Био - Савара можно применять в этом случае "в лоб". Применяю и получаю:

             |H1 + H3| = (i·a / 4 Pi)·((1 / x)**2 - (1 / (x + b))**2).        (6)

Ничего себе малая поправочка!! В 2 раза больше результата, который я, было, посчитал окончательным. А направлен вектор H1 + H3 - ОТ НАС. И, таким образом,

   |H| = |H1 + H2 + H3 + H4| = (i·a / 8 Pi)·((1 / x)**2 - (1 / (x + b))**2),  (7)

Результат совпадает с (5), но векторы H2 и H противоположны. ...
А через некоторое время до меня дошло - увы, с запозданием, - что вектор Н в точке К в ПРИНЦИПЕ не может быть направлен к нам (вдоль " минус Оу "). И, стало быть, я изначально не имел право остановить расчёты на вычислении в точке К только поля Н2.

Дело тут вот в чём. В физике есть понятие - точечный магнитный диполь:

http://mathus.ru/phys/mdipole.pdf

Это квадратная рамка с током со стороной квадрата намного меньшей расстояния до точки наблюдения. (На данном сайте использован термин просто "диполь" - это эквивалентно моему термину "точечный диполь". Не-точечный же диполь назван там "произвольным диполем".) Если рисунок мы дополним множеством вертикальных отрезочков Fj Gj, параллельных оси Oz (j - немой индекс, нумерующий вертикальные отрезки справа налево: 1 <= j <= N, N = b / a - число вертикальных отрезков) отстоящих друг от друга на равное расстояние "а", начинающихся каждый на точках отрезка СО и заканчивающихся в точках отрезка АВ, то наша рамка превратится именно в набор N точечных магнитных диполей! 
В каждом из них ток циркулирует против часовой стрелки, а токи в вертикальных участках FjGj двух соседних квадратов компенсируют друг друга - остаются только токи в крайнем справа (j = 1) и крайнем слева (j = N) квадратах (стороны ОА и ВС рамки соответственно).

Количественно точечный магнитный диполь характеризуется вектором магнитного момента p, у которого модуль
|p| = i·(a**2). Магнитные моменты всех квадратных рамок на рисунке одинаковы и направлены к нам. А поле точечного диполя известно (см., если угодно, текст на mathus.ru). Я пишу "если угодно", т.к. для поставленной задачи определения поля в плоскости Oxz в точке К, общая формула mathus.ru не нужна - достаточно знать, что точечный диполь, помещённый на плоскость Oxz и поляризованный по направлению "к нам", создаст поле, вектор напряжённости которого в любой точке плоскости направлен "от нас"! (т. е. вдоль оси Oy на рисунке.) Так как это верно для поля произвольного j-ого точечного диполя, то верно и для суммы всех их полей.

Разумеется, эти соображения можно подтвердить строгим расчётом, проинтегрировав поля отдельных рамок
Fj Gj Gj+1 Fj+1 по х от |ОК| до |СК| и придя новым способом вновь к формуле (7), но это будет интересно уже совсем немногим. Я же просто хотел показать на данном примере, как можно ошибиться в физике фактически, дав верный ответ чисто формально.

P. S.  Вектор поля в точке М с координатами М(x, 0, a), как очевидно из соображений симметрии, совпадает с вектором поля в точке К(x, 0, 0). Интересен (и несложен) вопрос о модуле поля в точке D(x, 0, a / 2) ...

[1] Charitat T., Graner F. "About the magnetic field of a finite wire" //
European Journal of Physics – 2003, volume 24, pages 267-270,
открыто для читателя по Интернет-адресу
http://graner.net/francois/publis/charitat_wire.pdf

[2] Антонов Л. И., Деденко Л. Г., Матвеев А. Н. "Методика решения задач по электричеству", МГУ, 1982, стр. 77


Рецензии
С определенной долей приближения закона Био - Савара можно рассматривать как частный случай проявления сил Лоренца и тут классическая электродинамика в окончательном виде представленная работами Игоря Евгеньевича Тамма приводит к парадоксу. Кулоновская сила между одноименными зарядами летящими с одной скоростью и в одном направлении уменьшается, в тоже самое время, если лететь с этими зарядами, то эта разница сил исчезает!

Алекс Капчинский   25.03.2021 11:21     Заявить о нарушении
Здравствуйте.
Парадокса нет. Формула для потенциала Ф точечного заряда q, в системе единиц К.Ф.Гаусса записываемая просто как

Ф = q / r (1)

(r - расстояние от заряда до наблюдателя), имеет место только для неподвижной ситуации (заряд и наблюдатель покоятся в какой-то системе отсчёта). Но в конце XIX века, немецкий физик Эмиль Вихерт, отталкиваясь от уравнений Максвелла, показал, что если заряд движется относительно наблюдателя с постоянной скоростью v, то его потенциал ужЕ не описывается формулой (1). Формула Вихерта ([1]) имеет вид

Ф = q / [(1 - v / c)) r]

причём r надо брать не в момент наблюдения, а в более ранний. Потенциал, по сравнению со случаем неподвижного заряда, возрастает. Соответственно возрастает и кулоновское отталкивание 2 одинаковых зарядов "А" и "Б", летящих с одной скоростью на одном расстоянии друг от друга. Сила же Лоренца, действующая со стороны заряда "А" на заряд "Б", направлена противоположно кулоновской и компенсирует возникающую (по сравнению со статичной ситуацией) добавку. Математика, очень сложная для пары зарядов, сильно упрощается для 2 бесконечных вдоль "горизонтальной" оси Ox цепочек зарядов, равноотстоящих друг от друга в каждой цепочке и летящих синхронно в направлении этой оси на фиксированном "вертикальном" расстоянии "y" между цепочками. Там вся математика доступна школьнику и нашёл я её в книге для школьников [2].

[1] Дж. Джексон "Классическая электродинамика", "Мир", 1965, стр. 510,

[2] А. М. Хазен, "Поле, волны ... и их модели", "Просвещение", 1979, стр. 44 - ...

с - скорость света в вакууме

Сазонов Сергей   26.03.2021 12:07   Заявить о нарушении
Таким образом, Вы хотите сказать, что силы Лоренца полностью компенсируются возрастанием потенциала движущегося заряда? Но постойте, зачем такие навороты, вроде как бы появляются силы Лоренца, но которые невозможно измерить в виду компенсирующих их сил возрастания потенциала? Такая постановка наводит на мысль, что научный мир занимается мистификацией, вместо изучения.

Алекс Капчинский   26.03.2021 17:23   Заявить о нарушении
@силы Лоренца полностью компенсируются возрастанием потенциала движущегося заряда@

Cилы Лоренца полностью компенсируют возрастание сил электрического взаимодействия движущихся зарядов. - Вот так фраза верна.
Вопросы хорошие. Соответствующая теория интересна. Некоторым не нравится и они ставят вопрос о видоизменении уравнений Максвелла. Ничего путного ни у кого из этого пока не получилось.

Сазонов Сергей   26.03.2021 18:25   Заявить о нарушении
Красиво сказано, главное, что силы Лоренца умные - увеличился потенциал зарядов, надо компенсировать. А вот силы Ампера - бестолковые, заряды пошли..., а нет наверное увеличение потенциала бестолковое...?

Алекс Капчинский   26.03.2021 21:57   Заявить о нарушении
На это произведение написаны 4 рецензии, здесь отображается последняя, остальные - в полном списке.