Образование 1

Глава 1. Действительные числа.

Пункт 1: Представление действительных чисел десятичными дробями.

Читатель может поспорить с хронологией изложения и заявить, что так учебники не пишутся. Ну чтож, пусть остаётся при своем мнении. Я буду придерживаться той последовательности, которая была в моей рукописи.

Абсолютных точностей в мире не существует. Вся математика состоит из погрешностей. Так как любое число в математике является абстракцией, то существует Действительное число А с постоянно уменьшающейся амплитудой числовых отклонений. Про такие числа мы не можем сказать, какое из них больше, а какое меньше (правда таковым было мое утверждение раньше, оно может быть ошибочным), однако мы можем с достаточной точностью определить участок данной амплитуды.

Я вообще планировал писать данную книгу для вузов. Однако базовый уровень знаний о действительных числах необходимо давать уже в школе (и да, я знаю, что есть другое определение действительных чисел, которое записано в каждом школьном учебнике, и я знаю, что такое множества, и я признаю, что "согрешил" позаимствовав данный термин). Итак для школьников достаточно знать, что действительное число записывается следующим образом:

А-1/10+1/100-1/1000...

Но у людей постарше наверняка возникнет вопрос: а почему именно так? Объясняю: числовые отклонения - это тоже самое, что и погрешности (на данном этапе мы можем считать эти слова синонимами). Погрешности (студенты наверняка знают) записываются с помощью процентов, а десятичная дробь очень похожа на проценты. Вообще данная запись числа не претендует на какую то "идеальную истину". Однако она позволяет "нарисовать" воображаемую картинку данного числа.

О "картинке" мы ещё успеем поговорить, а теперь проведем несколько математических операций, опять же для школьников.

Простое правило: При сложении действительных чисел величины их погрешностей складываются, а при вычитании - вычитаются.

Первое, что знать учащемуся, это - свою оценку. Поэтому попробуем посчитать обменные единицы. В математике можно представить обменную единицу как разницу чисел. Например 5-4=1. Здесь 5 и 4 - обычные числа, а 1 - обменное число (ну это мы его так условно назвали)

Рассмотри два числа. Нам известно, что они различны. Однако, так как сами исходные числа неизвестны, условимся, что различными у них будут погрешности. По другому это можно назвать "смещение отклонений". Тогда пусть погрешность первого числа равна -1/10, а погрешность второго 1/100. Проведём сложение и вычитание отклонений:

-1/10+1/100=1/100-1/10=(1-10)/100=-9/100

-1/10-1/100=(-10-1)/100=-11/100
(я не совсем помню правила знака "минус" для дробей, поэтому просил бы читателя проверить)

Существует три вида действительных чисел:

1) Алгебраические числа (их мы как раз выше и рассматривали)
2) Геометрические числа (будут рассмотрены ниже)
3) Физические числа - они представлены двумя объектами, которые движутся друг относительно друга или(и) вращаются друг относительно друга. Пока что мы их рассматривать не будем.

Итак, геометрические числа. Они определяют конкретные размеры, а поэтому отклонений у них будет два - верхнее и нижнее. Однако для упрощения мы можем предложить, что величины отклонений равны; тогда достаточно одно отклонение умножить на 2 (это всё ещё школьный уровень). Произведем данную операцию:

(-1/10)•2=-2/10=-1/5.

Смещение погрешностей здесь будет точно такое же, поэтому, например, при операции вычитания получим:

-1/5-(2•1/100)=-1/5-2/100=-1/5-1/50=-11/50.

Геометрические числа связаны с обменными единицами следующим образом. Стандартно денежная величина определяется соотношением веса золота и какого-нибудь продукта. Вес есть только у трехмерных объектов, и у всех них есть ширина, длина и высота. Много денег означает много обменных единиц. Поэтому нам нужно ещё научиться проводить операцию умножения. При этом также учитывается смещение отклонений. Попробуем умножить какую-нибудь погрешность на 2 и 3. Для удобства начнем с алгебраических чисел:

-1/10•2=-1/5 - это первое действие операции; во втором действии допишем отклонение со смещением:

-1/5+1/100=(-20+1)/100=-19/100.

Проведём умножение на 3:

-1/10•3=-3/10; добавим смещение, теперь их будет два, так как погрешность переносится на две волны амплитуды:

-3/10+1/100-1/1000=-(300+10-1)/1000=-309/1000.

Теперь перейдем к геометрическим числам:

-1/5•2=-2/5; добавим смещение:

-2/5+2/100=-2/5+1/50=(-20+1)/50=-19/50.

Перейдем к умножению на 3:

-1/5•3=-3/5; добавим смещение и учтем количество умноженных частей (под этим подразумевается, что число отличается на такую величину, на которую оно домножается; однако на единицу меньшую соответственно):

 
=-318/500=-159/250

(*Вообще, числа 2 и 3, на которые мы умножаем, тоже должны идти со своими смещениями; но в таких расчетах получаются слишком громоздкие дроби, которые на практике неудобны и неприменимы)

В завершение школьного курса давайте поговорим об уравнениях. Мы знаем, что корнем уравнения является некоторое число; а значит каждому числу вполне может соответствовать некоторое уравнение; или, выражаясь другими словами, "любое число можно выразить через уравнение.

Пример: пусть заданы два геометрических действительных числа

А-1/5 и B+1/50.

Одно из этих чисел останется неизвестным в любом случае. Но для одного из них можно составить уравнение, с помощью которого мы определим неизвестную величину погрешности (в дальнейшем можно будет судить о том, насколько груба эта погрешность):

А-1/5=х+1/50.

Число А убираем, так как оно остаётся неизвестным:

-1/5=х+1/50

Решим данное уравнение:

х=-1/5-1/50=-11/50.

Это означает, что некоторый студент решил задачу с погрешностью, равной -11/50.