Образование 2

Глава 1. Пункт 2: Представление действительных чисел дифференциальным уравнением.

В данном пункте я пишу уже для вузов. Но в головах миллионов студентов (при чем неважно, учатся они на гуманитарном или естественно-научные факультете) - зачем вообще это надо, и возможно ли это: записать число в форме дифференциального уравнения. Действительно, мы уже записали исследуемое число в довольно удобной форме; и вроде научились составлять с ними уравнения! Зачем "изобретать" что-то новое!? Но я ничего нового не открываю и не изобретаю.

Проблема ведь в том, что многие студенты вообще не понимают, что такое дифференциальные уравнения. И я тоже долгое время этого не понимал, хотя ещё лет 8 назад учился в Политехе в Волгограде. И да, у нас была высшая математика. Кроме того, я долго не понимал Причину того, почему я ничего не понимаю в дифференциалах. У преподавателей дела с мозгами обстоят не лучше. Не знаю, как там на технических факультетах, может эти преподаватели и понимают в теме "дифференциалы", но вот в художественном институте, преподаватель по истории искусств сказала однажды: "Производные и интегралов научились вычислять ещё в древнем Китае." Этим она пыталась намекнуть, что якобы изучение математики пришло к своему завершению ещё тогда, в древнем Китае; и теперь, якобы, нет смысла изучать данную науку.

А вот интересно: она вообще слышала о дифференциалах!? Конечно, школьник 11 класса может считать, что "производная" и "дифференциал"- это синонимы. Но вот студент, всё-таки должен обладать немножко большими знаниями. Впрочем, эта преподавательница не могла похвастаться тем, что умеет вычислять производные; она даже когда узнала о формуле вычисления (степень минус единица), ничего в ней не поняла, и была сильно шокирована увиденными символами.

Итак, в чем же различие? Производная - это сам числовой расчет, связанный со степенью. Дифференциал - это элемент дифференциального уравнения. Ни производная, ни дифференциал не определяют бесконечно малые величины, а определяют Точку в пространстве. И здесь нет ничего нового, это можно прочитать в учебниках.

Теперь самое главное; на это следует обратить внимание. Какого же причина многих непониманий? Во-первых, во многих, почти во всех технологических вузах, НЕ РАССКАЗЫВАЮТ этой темы вообще. Вместо нее рассказывают темы "Матрицы". А на дом, ничего не поясняя, задают дифференциальные уравнения (интересно, что матрицы в домашнем задании отсутствуют; забавно, да!?) Хотя наблюдательные студенты могут сказать (и будут правы), что это относится ко всем предметам в институте: на лекциях рассказывают одно, а на дом задают совершенно другое. И есть своя отмазка: ведь институт - это не школа; студенты самостоятельные и должны сами искать информацию. Но может быть тогда, институты вообще не нужны!? Ну серьезно, интернет есть у всех; и купить работу может каждый (хотя тогда получается, что работа не его, а другого студента - ну пускай тогда "другой студент" и получает диплом).

Во-вторых, решением дифференциального уравнения является не число, а тоже "уравнение". Я взял это слово в кавычки, потому что и это не совсем верно. Просто так будет понятнее тем студентам, которым не рассказывали данную тему. Если вы не будете осознавать этой разницы, то вы будете буквально плавать в данной теме.

Я сам об этом узнал только недавно, и чтобы об этом узнать, мне пришлось довольно долго копаться в интернете. В книге, которую я взял в вузовской библиотеке, такой информации не было. И кстати, из интернета я узнал, что на самом деле есть такие преподаватели, которые рассказывают на лекциях, весьма все подробно расписывая на доске, тему Дифференциальные уравнения. Просто это вообще довольно редкое явление в институтах, по крайней мере, в нашей стране. И я все буду рассказывать весьма подробно ниже, и если студенты знают об этом, я просил бы их не смеяться; потому что в десятки раз больше тех кто не знает об этом (хотя вещи-то впрочем элементарные).

Информация из Википедии:

1).Дифференциальное уравнение - это уравнение, в которое входит неизвестная функция под знаком производной или дифференциала. (Я прочел это в Википедии; однако понял это не сразу; поэтому просто надеяться на информацию в интернете не стоит.)

Разъясняю: неизвестное входит в любое уравнение, в том числе и школьное; однако отличие заключается в том, что для дифференциального уравнения это именно Функция, а не число; об этом было уже сказано; но поговорим об этом и ниже.
"Под знаком производной"- можно было не писать. Это означает тоже самое, что "в дифференциальное уравнение входит производная"; ну или "дифференциальное уравнение состоит из производных".
Сам дифференциал отличается от производной своей Записью:

Производная: (х в степени n)' или просто х' (*значок степени не позволяют поставить ограниченные способности компьютера).

Дифференциал: dy/dx

Естественно, если у них разная запись, то и решаться они будут по разному. Как видите, ничего сложного или сверхъестественного!

2)"Отправной точкой изложения будет служить дифференциальное уравнение 1 порядка, записанное в семмитричной форме..."- так было записано в Википедии. Мы запишем по другому, чтобы было понятнее:

"Отправной точкой Анализа традиционно служит дифференциальное уравнение 1 порядка, записанное в семмитричной форме:
P(t,x)dt+Q(t,x)dx=0

Прошу заметить: начинать нужно с уравнений 1 порядка, так как они наиболее простые; и пока вы с ними не разберётесь; переходить к уравнениям 2 и 3 порядка не стоит. Почему в записи стоит "плюс"? Ну наверное потому, что операция сложения наиболее простая. И как и любое другое уравнение, оно должно равняться нулю. Что такое "семмитричная форма"- мне не удалось узнать. Вам следует просто запомнить эту запись. Если же вам запомнить это трудно, то есть и ещё более простая форма записи дифференциального уравнения:

F(x,y,y',y'',y n-ного порядка)=0; это означает, что общее решение дифференциального уравнения - это множество решений, содержащие все без исключения решения этого дифференциального уравнения.

3)Мы говорили, что решением дифференциального уравнения тоже является "уравнение". И вот почему: в школе нас учили, что решение уравнения - это пересечение графиков функций. Их точки пересечения можно обозначить числами. Но ведь дифференциал должен определять любую точку графика; даже ту, которая не пересекается. Поэтому в математике решили такие точки обозначать "уравнением".

Но это условность. На самом деле решением дифференциального уравнения является Интеграл дифференциального уравнения. Это легко проверить на примере:

y'=x*2 (* будет обозначать степень)

Подставим: у=(х*3)/3, а это уже Первообразная от х*2 (нужно вспомнить 11 класс школы)

Получим тождество: у'=[(х*3)/3]dx=(1/3)•(3•x*2)=x*2; здесь мы нашли производную от х*3 и получили данное решение. И да, как видим, приравнивание к нулю - необязательное условие; главное, чтобы уравнение поддавалось обратной проверке.

Итак, более внимательный читатель заметит, что погрешность может равняться не только десятичной дроби, но и любой другой, и в принципе, любому другому числу. При условии, что данное число неизвестно, обозначим его х, а чтобы получить дробь, нужно х возвести в степень -1. Наверное многие предположено, что менее грубые погрешности достаточно обозначить степенями -2, -3 и т.д. Однако так амплитуда не образуется. А вот если мы найдем производную, и в дальнейшем будем увеличивать порядок производной, то амплитуда образуется. И вообще в тех случаях когда число обозначает точку на графике (она может быть точкой пересечения, а может и не быть), то эту же точкой можно записать в виде производной, значит каждому числу эквивалентна некоторая производная. Запишем данную амплитуду:

[х*(-1)]'=(-х)*(-2);
[(-х)*(-2)]'=(-2)•[х*(-3)]
{(-2)•[х*(-3)]}'=6•[х*(-4)]...

В физике действительному числу есть аналог. Вы уже, наверное, догадались, что это затухающие колебания. Может быть и в грубом приближении, но уравнение затухающих колебаний, вполне может подходить как математическая модель действительного числа. Запишем его:

A(r,t)=(A**0)•cos[w•t-(k,r)+(ф**0)]

(**-означает индекс),

где: А - амплитуда; w - круговая частота; k - волновой вектор, равный k•n;
k - волновое число; n - единичный вектор нормали, проведенной к волновому фронту; r(x,y,z) - радиус-вектор; (k,r) - скалярное произведение;
(ф**0) - начальная фаза колебаний.

Теперь запишем эту формулу словесно:

Функция (или множество функций), которая состоит из амплитуды, радиуса-вектора и времени, приравнивается к произведению начальной амплитуды и косинуса математического выражения, которое включает в себя вычитание скалярного произведения векторов из круговой частоты, умноженной на время, и сложение с начальной фазой колебания.

Теперь поясним некоторые термины:

1) Угловая частота - мера частоты вращательного или колебательного движения.

2) Волновой вектор - вектор, направление которого перпендикулярно фазовому фронту бегущей волны, а абсолютное значение равно Волновому числу. Волновое число обозначается k и равно 2•c/d (удвоенное соотношение (деление) длины окружности на диаметр), разделенное на длину волны.

3) Нормаль - прямая, перпендикулярная касательной прямой.

4) Волновой фронт - поверхность, до которой дошел волновой процесс к данному моменту времени.

5) Радиус-вектор - вектор, задающий положение точки в пространстве, относительно некоторой заранее фиксированной точки, называемой Началом координат.

6) Фаза колебаний начальная - значение фазы колебаний (полной) в начальный момент времени, то есть при t=0 (для колебательного процесса), а также в начальный момент времени в начале системы координат, то есть при t=0
в точке (x,y,z)=0 для волнового процесса.

6*) Фаза - этап или период (эти слова являются синонимами) в развитии какого-либо явления.

На этом заканчиваем тему действительных чисел и возвращаемся к теме образования.