Парадокс Рассела и его частные случаи

 Термины и определения:

Понятие множество, строго не определено. Это слово имеет то же значение, что и слово набор элементов. Предполагается, что элементы множества  обладают, общим для всех них, характеристическим свойством.

 Пример характеристического свойства: быть книгой (для библиотеки), быть действительным  числом (для множества R) , быть множеством (для множества множеств).

 Подмножеством множества, называют множества, составленные хотя бы из части элементов множества. Множество без элементов называют пустым множеством. Множество является  надмножеством  для своего подмножества.

Всякое множество является  своим подмножеством. Подмножество, совпадающее с множеством, и пустое множество именуют несобственными подмножествами. Остальные подмножества именуют собственными подмножествами.

Множество может быть задано:
1) перечислением своих элементов  А= {2, 5, 7,9}
2) указанием на общее свойство элементов A={a(- R}, (элементы  принадлежат (- множеству действительных чисел).
  3)применением логической формулы  f(A): Множество В состоит из тех элементов множества А, которые соответствуют логической формуле. Использование квантора содержит (- позволяет записать:
         В={a(-A| f(a)}


Примеры логической формулы с одной переменной f(a)  для А={а(-R}:
 a>5 (все элементы больше 5)
 а<3 (все элементы меньше 3)
 а (- N  (все элементы – натуральные числа)

Набор элементов множества может быть как конечным, так и бесконечным

Пример конечного множества: множество книг в библиотеке.

Множества могут состоять из элементов, некоторые из которых,  отличаются друг от друга видом. Например, множество людей в городе.

Множества могут состоять из счётного числа одинаковых элементов. Например, множество одинаковых  шариков.
Множества могут состоять из счётного числа элементов, полагаемых одинаковыми. Например: множество граждан страны.


Множества могут состоять из множеств, некоторые из которых отличаются видом или числом. Например, множество, составленное из подмножеств целых чисел меньших ста.

Примеры бесконечных счетных множеств: множество целых чисел, множество рациональных чисел.
Примеры бесконечных несчетных множеств: Множество действительных чисел, множество комплексных чисел.

  Все рассмотренные множества не имеют себя в качестве элемента и называются обычными множествами.
Утверждения :
это множество обычно,
 это множество не содержит себя в качестве элемента,
это множество не принадлежит себе
– эквивалентные утверждения.
С помощью квантора не содержит (-/  утверждение записывается:
 А(-/ А 
Так например, множество комплексных чисел С не является комплексным числом и поэтому С не содержится в множестве комплексных чисел:  С (-/ С

Существуют принципиально другие множества, составленные из множеств, об элементах которых  интересует лишь то, что это множество. Ни количество элементов, ни их качество,  не учитываются. Такие множества  содержат себя в качестве собственного элемента и называются необычными.
Утверждения:
это множество необычно,
это множество содержит себя в качестве элемента,
это множество принадлежит себе
- эквивалентные утверждения
            
О множестве  счётного числа  множеств можно сказать, обычно оно или нет.
Множество всех множеств - необычно
Высказывание о множестве всех  обычных множеств, как и  высказывание о множестве всех необычных множеств,  рождает парадокс.

 Докажем это, используя аксиому наивной теории множеств:
“Для любого множества В и ограничения , заданного логической формулой f(В) существует подмножество А» Или:

«Множество А состоит из тех, и только тех, элементов множества В, которые соответствуют логической формуле f(В)».

Пример:  В={b(-R} B состоит из множества действительных чисел.
Логическая формула f(B)   2<b<5
А={2….5} А – множество действительных чисел больших 2 и меньших 5. 

Использую обозначения:  (- квантор принадлежит. И  (-/  квантор не принадлежит.
          ;А ; В  (А(-В< = >f(B))
Если f(B) заменить на условие В (/-В , означающее, что В –обычное множество, не содержащее само себя, то аксиома будет иметь вид:
 ; В (А(-В <=> В (/-В )
 
Так как это верно для любого В, то верно и для А. То есть, имеем противоречие: А принадлежит А, тогда, когда А не принадлежит А.
                А(-А <=> А (/-А
Можно сформулировать парадокс Рассела с помощью кванторов  по-другому:

Существует множество А, состоящее из элементов-множеств а, таких, что множество а не принадлежит   множеству а.

Определение  такого множества:  А={a: а (/- а}

Теорема: Тогда следует (из определения А): «А принадлежит А» и «А не принадлежит А .
                |= (А(-А) & (А(/-А)

   
Доказательство:
Докажем, что А  принадлежит А . Докажем от противного:
Предположим А не принадлежит А, но тогда из определения объекта следует, что А принадлежит А. И предположение, что А принадлежит А истинно.
Предположим А не принадлежит А. Докажем от противного:
Тогда, из определения объекта следует, что А не принадлежит А. И предположение, что А не принадлежит А – истинно.Два взаимоисключающих утверждения  - антиномия.

Можно доказать, что оба утверждения ложны:

Рассматриваемое множество, составленное из всех обычных множеств,  не может быть обычным. 
Предположим, что рассматриваемое общество обычно. (А не принадлежит А). Но его элементы – обычные множества. (а не принадлежит а)
 Но это возможно только для необычных множеств. Принятое предположение, что А не принадлежит А и  рассматриваемое общество обычно – неверно.

Рассматриваемое множество, составленное из всех обычных множеств, не может быть необычным.
Предположим, что рассматриваемое множество необычно (А принадлежит А). Тогда его элементы должны быть необычные множества (а принадлежат а). Но его элементы- обычные множества (а не принадлежат а), следовательно принятое предположение, что рассматриваемое общество необычно – неверно.

Таким образом, множество всех обычных множеств, не является ни обычным (А не принадлежит А), ни необычным (А принадлежит А). Два взаимоисключающих утверждения  - антиномия.



Множество, составленное из необычных множеств, есть необычное множество. Так как и множество, и его элементы – необычные множества.

Примем иное предположение, что множество необычных множеств,   есть обычное множество. Тогда, как обычное множество, оно  не может состоять  обычных множеств, но может состоять из множеств необычных. Это так и есть, и принятое предположение истинно.

Таким образом, множество всех  необычных множеств  одновременно   и обычно и необычно, что является антиномией
 
Пример:

Рассмотрим необычное множество – множество натуральных чисел.
Обозначим через N произвольно фиксированное натуральное число.  Число N+1 называется числом, непосредственно следующим за числом N, а само N   — непосредственно предшествующим числу N+1.
Число N разбивает множество натуральных чисел на два :
1. Множество (обычное) натуральных чисел меньших или равных N.
2. Множество (необычное) натуральных чисел больших N.

Рассмотрим множество, составленное из всех обычных множеств натуральных чисел, меньших и равных N.
 Как было показано ранее, множество всех обычных множеств (обычное множество, когда его элементы - множества) не является ни обычным, ни необычным.


Следовательно, множество, составленное из всех обычных множеств, меньших и равных N, где N – любое натуральное число, не является ни обычным, ни необычным.

Аналогичным образом, множество, составленное из всех необычных множеств, больших N, где N – любое, сколь угодно большое, натуральное число,  является одновременно и обычным, и необычным.


                Парадокс Греллинга-Нельсона

Существует множество прилагательных соответствующих своему смыслу. Примеры:
Прилагательное русское –  русское. 
Прилагательное трёхсложный – трёхсложное.
Такие прилагательные называют – гомологичными.

Большинство прилагательных своему смыслу не соответствуют.
Прилагательное сладкий – не сладкое.
Прилагательное красный – не красное.
Такие прилагательные относятся к классу гетерологичных прилагательных.

Рассмотрим, к каким прилагательным, гомологичным или гетерологичным,  относится прилагательное гетерологичный?

Прилагательное гетерологичный не может относиться к классу  гетерологичных прилагательных, так как совпадение названия своему смыслу имеет мест только для гомологичных прилагательных.

Прилагательное гетерологичный не может относиться к классу гомологичных прилагательных, так как несовпадение названия смыслу прилагательного возможно только для класса гетерологичных прилагательных.
Таким образом,  прилагательное гетерологичный не является ни гомологичным ни гетерологичным.

Зададимся вопросом, к какому классу прилагательных относится прилагательное гомологичный?
Допустим, что гомологичный соответствует своему смыслу, тогда слово гомологичный  - гомологичное прилагательное.

Допустим, что прилагательное гомологичный не соответствует своему смыслу, тогда слово гомологичный – гетерологичное прилагательное.

Таким образом,  прилагательное гомологичный   одновременно  является и гомологичным и гетерологичным.


Множество всех  гомологичных прилагательных вместе с прилагательным гомологичный, составляет  множество, описываемое,  словом гомологичный. Поэтому множество всех гомологических прилагательных образует необычное множество.
Множество всех  гетерологичных прилагательных, без прилагательного гетерологичный, составляют  множество, описываемое прилагательным гетерологичный. Но прилагательное гетерологичный отсутствует  в множестве всех гетерологичных прилагательных, не является  элементом рассматриваемого множества. Поэтому набор всех гетерологичных прилагательных является обычным множеством.

Рассмотренное показывает, что парадокс Греллинга превращается в  частный случай парадокса Рассела, если рассматривать гетерологичные прилагательные, как обычные множества, а гомологичные – как необычные.

Рассматривая пару, противоположных по смыслу, прилагательных гамологично – гетерологично, замечаем, что антиномия возникает тогда, когда название прилагательного (гетерологично) и принцип, по которому производится классификация (квалификационный признак) не соответствуют друг другу.

Рассмотрим всё  множество обычных множеств. Квалификационный признак обычных множеств – не быть элементом рассматриваемого множества.
Предположим, бесконечное множество обычных множеств не является элементом самого себя, то есть, его нет среди обычных множеств. То есть рассматриваемое множество необычно. Но если рассматриваемое множество необычно, то оно должно являться элементом самого себя, что противоречит квалификационному признаку.
Таким образом, бесконечное множество обычных множеств не соответствует рассматриваемым квалификационным признакам и не является не обычным ни необычным.


В тех же случаях, когда название (гомологично) и принцип, по которому производится классификация (соответствие квалификационному признаку), совпадают, то название можно отнести к любым из двух квалификационных групп.

Рассмотрим всё  множество всех необычных множеств. Квалификационный признак необычных множеств –  быть элементом рассматриваемого множества.
Бесконечное множество всех необычных множеств соответствует рассматриваемым квалификационным признакам и  является одновременно  и обычным и необычным.

                Парадокс «Брадобрей»
В деревне все мужчины, число которых не определено, обязаны брить бороду. Множество мужчин образуют исходное необычное множество.
 Они могут брить бороду у единственного  брадобрея или бриться сами. В таких условиях брадобрей обязан бриться сам, так как он один.
Условие парадокса «Брадобрей» разбивают необычное множество на два необычных подмножества: 1. Множество тех, кто бреется сам 2. Множество тех, кто сам не бреются.
Первое подмножество включает в себя брадобрея.
Вводится квалификационный признак, разбивающий множество на два подмножества: Брадобрей может и должен брить только тех, и только тех, кто не бреется сам. По квалификационному признаку, брадобрей, который по условию парадокса должен себя брить, не может это делать по квалификационному признаку. То есть брадобрей не может ни брить себя, ни не брить себя. Антиномия парадокса заключена в противоречии условия парадокса квалификационному признаку, разбивающему исходное необычное множество на подмножества (тех кто бреется сам и тех, кого бреет брадобрей). Из-за этого, квалификационный признак разбивает исходное множество на три подмножества: 1. Множество тех, кто бреется сам 2. Множество тех, кто сам не бреются. 3. Единичное множество брадобрея. То есть брадобрей не принадлежит ни подмножеству 1. Ни подмножеству 2.
Если предположить, что число бреющих бороду мужчин деревни известно, то все рассуждения сохраняются, за исключением того, что основное множество и подмножества 1. и 2. будут обычными подмножествами.
Чтобы доказать, что парадокс «  можно представить, как частный случай парадокс Рассела, рассмотрим разбиение множества всех жителей деревни на два подмножества 1. Тех, кто бреется сам 2. Тех, кого бреет брадобрей.
В этом случае имеем два подмножества, которые оба  могут содержать элемент «Брадобрей». Элементы первого множества все обладают одинаковым свойством «брить самому себя» и как множество однородных, неопределённых по численности элементов, являются обычным множеством.
Второе подмножество, «Бреющихся у брадобрея» не однородно по свойствам, так как среди жителей, которых бреют, есть житель, который бреется. То есть, второе подмножество есть обычное множество. И всё множество таких обычных множество содержат как тех, кто бреется у другого, так и того, кто бреет себя сам. Отсюда следует, что оно не является ни множеством жителей, которых бреют, ни множеством жителей, которые бреются сами. Множество, составленное из всех необычных множеств, состоят из жителей, которые бреются сами. Они бреются сами, когда они бреются и не бреются сами, а когда они не бреются, то бреются у брадобрея.
Таким образом, сформулированный парадокс брадобрея  является парадоксом Рассела, где множество всех, кто бреется сам, образуют необычное множество, а те, кого бреет браобрей, образует обычное множество.


                Парадокс «Лжец »
Лжёт ли тогда лжец, когда утверждает, что он лжет всегда?

Для доказательства, что этот парадокс является частным случаем парадокса Рассела, рассмотрим вспомогательный вариант, в котором действующим лицом выступает обычный человек.

У обычного человека, иногда лгущего,  существуют ложные и правдивые (истинные) высказывания.

Множество всех истинных высказываний содержит в качестве элемента высказывание: «Все мои истинные высказывания истинны». Такое множество является  необычным.
А высказывание «Все мои истинные высказывания истинны» является тождественно истинным.

Множество всех ложных высказываний не содержит в качестве элемента высказывание: «Все мои ложные высказывания ложные». Такое множество является  необычным.
А высказывание «Все мои ложные высказывания ложные» является антиномией.

Таким образом, сформулированный парадокс является парадоксом Рассела, где множество всех истинных высказываний человека образуют необычное множество, а высказывание: «Все мои истинные высказывания истинны» является элементом множества всех истинных высказываний.


Множество, составленное из множества всех истинных высказываний – множество истинных высказываний.

Примем  предположение, что обычное множество, составленное из всех истинных высказываний,   есть множество  ложных высказываний. Тогда, будучи обычным множеством всех  ложных высказываний, оно не должно содержать в качестве элемента  ложных высказываний, но должно содержать в качестве элементов только истинные высказывания. Но это так и есть, и принятое предположение истинно. Таким образом, множество всех истинных высказываний можно считать  и множеством  ложных высказываний.

Рассмотрим крайний случай рассмотренного парадокса, когда
человек (Лжец) лжет всегда.

В этом случае рассмотренный парадокс превращается в парадокс «Лжец». А множество его правдивых утверждений превращаются в пустое множество. Пустым множеством оказывается и утверждение: «Все мои правдивые утверждения – правдивы». Пустое множество является  и необычным  и обычным множеством одновременно.


Парадокс «Всемогущий».

Предполагается, что Всемогущий – это тот, кто всё может. В том числе,  может создать и поднять камень любой массы

Парадокс « Всемогущий», звучащий так: « Может ли Всемогущий создать такой камень, который не сможет поднять», аналогичен антиномии «Брадобрей». Антиномия возникает из-за  противоречия условия парадокса квалификационному признаку, разбивающему исходное необычное множество на подмножества.

В условии предполагается, что Всемогущий может поднять любой камень. Квалификационный признак требует создание камня, который он не может поднять.

Парадокс «Всемогущий» является частным случаем парадокса, содержащегося в вопросе: «Может ли Могучий Волшебник, создать  и поднять камень любой массы.
Рассмотрим этот парадокс и докажем, что такой  парадокс  является частным случаем парадокса Рассела.


Для  этого рассмотрим  Могучего Волшебника,  могущего создавать камни любой массы из ряда, где каждый отличается от соседнего на единицу массы.  Но способного  поднимать лишь  камни, ограниченные массой N.

Множество камней произвольной массы из дискретного ряда, вплоть до камня массы N, которые может поднять волшебник, образуют необычное множество. Множество камней, которые он сможет создать, но не сможет поднять, образует необычное множество.

Если рассмотреть вариант, когда  Могучий Волшебник – Всемогущий, то множество камней, которые может поднять Всемогущий, не имеет ограничения по массе камней. А множество камней, которые не может поднять волшебник – пусто.
Имеется полная аналогия с рассмотренным примером парадокса Рассела, заданном на множестве натуральных чисел

Множество всех обычных множеств камней, которых может поднять Всемогущий Волшебник - бесконечно, и  содержит в качестве элемента самого себя. Поэтому  оно не может быть обычным.

Предположим, что рассматриваемое множество всех обычных множеств  - необычно. Тогда оно, чтобы быть элементом  множества, состоящего из обычных множеств, само должно быть обычным. Принятое предположение, что рассматриваемое общество необычно – неверно.

И, как всякое множество всех обычных множеств, множество камней, которые может создать и поднять Всемогущий, не является ни обычным, ни необычным, образуя антиномию.

Множество камней, которые не может создать и поднять Всемогущий, – пустое множество. И как пустое множество, оно и обычно и необычно одновременно.

 То есть парадокс «Всемогущий» полностью соответствует парадоксу Рассела.



         Обобщение парадоксов
Область определения:
1.Множества, 2.прилагательные, 3.множество жителей, 4.множество высказываний, 5. Дискретное множество камней

Квалификационный признак, разбивающий область определения на два парных типа:               
1.Множество совпадает с элементом множества, 2.смысл и название прилагательных совпадают, 3.брить только, тех, кто бреется сам, 4. ложность высказывания, 5. создать камень  и поднять камень  массы М

Парные множества:
1.Обычное - необычное множество, 2.гетерологичное - гомологичное прилагательное, 3. житель бреется сам  - житель бреется у брадобрея, 4.ложные и истинные высказывания, 5. Камни, которые можно поднять – камни, которые  невозможно поднять.

Антиномия:
1. К какому типу (обычное - необычное) принадлежат множество всех обычных множеств
2. К какому типу (гетерологичное-гомологиченое) принадлежит прилагательное гетерологично - характеристика всех не определяющих себя прилагательных
3. К какому типу ( бреющиеся сами   или бреющиеся у брадобрея) принадлежат  все люди  из множества  людей посёлка
4. К какому типу (ложное или истинное) относится утверждение лжеца, что он лжет всегда 5.
           5.К  какому типу ( ложное или истинное) относится утверждение, что Всемогущий может создать и поднять камень любой массы.