ДрамИстория решения задачи равновесия СНконструк3

назад http://www.proza.ru/2019/07/06/37

Драматическая история решения задачи равновесия статически неопределимых конструкций-3

Что же такое собственно равновесие конструкции? Ведь уже так долго говорим о равновесии, а воз и ныне там. Может, это связано с тем, что у нас отсутствует чёткое понятие равновесия?
Не условие равновесия, как-то:
1)классические уравнения равновесия
2)уравнения соблюдения заданных КС
3)сумма всех работ (чего-то и когда-то) = 0,
а  именно само понятие равновесия.
Что же это такое?

Вы когда-нибудь видели уравновешенную конструкцию? Что же для неё присуще? Правильно, неподвижность всех её точек, а значит, равенство 0 их скорости – вот что такое равновесие конструкции. Ведь после нагружения конструкции начинается переходный процесс, то есть она приходит в движение (в котором нас интересует прежде всего деформационная составляющая), в результате чего изменяются силы упругости внутри конструкции, которые в итоге уравновешивают грузовые силы и движение конструкции прекращается.
Но равенство 0 скорости всех точек конструкции должно иметь место не только в данный момент времени, а постоянно. А для этого необходимо еще и равенство 0 ускорения всех точек конструкции. И это требование в понятии «равновесие» мы поставим на 1-ое место, и вот почему: мы по умолчанию считаем, что для конструкции характерно внутреннее трение, что приводит к тому, что никакие колебательные (по крайней мере незатухающие) процессы (в которых ситуации «a=0 и v не= 0» и «a не=0 и v = 0» периодически чередуются во времени) в ней невозможны, поэтому если a=0, то и v=0.

Итак, поскольку понятие «равновесие» наконец-то было определено, можно приступать к созданию динамико-кинематического уравнения, отображающего движение конструкции. Необходимый понятийный аппарат для этого был создан в статье «Кинематика материальных линий» http://www.proza.ru/2016/12/11/1301 еще в 2016 году, главное же уравнение динамики линии – в статье «Динамика материальных линий» http://www.proza.ru/2016/12/13/240 также в 2016 году. Вот это дифференциальное уравнение в частных производных, как оно приведено в последней статье:

d2x(ks,t)/dt2*ro1= dFвнеш(ks)/dks - k1*d2x(ks,t)/dks2

Здесь:
ks – внутренняя координата точки линии, как бы пришитый к точке её номер, но только не дискретный, а континуальный (это – новое понятие, без которого кинематика и динамика линии были бы невозможны, т.к. именно оно позволяет описывать не только внешнее, но и внутреннее (=деформационное) движение линии),
x – внешняя координата точки (бесконечно малый участок) линии, то есть координата точки относительно внешних объектов, то есть объектов, не принадлежащих линии,
t – время,
ro1 – погонная плотность линии, в наиболее простом случае она постоянна как от t, так и от ks
Fвнеш(ks) – внешняя распределённая сила, действующая на линию
k1 – продольный коэффициент жесткости линии, [k1]= Н

Но теперь понятно, что в данном уравнении необходимо сделать некоторые исправления.
1)Т.к. оно описывает продольное движение линии, то ro1 = f(e), где e=dx/dks – безразмерная деформация б/м участка линии. (которая равна 1 в свободном состоянии и  тем больше, чем больше растянута линия. При e<1 линия сжата.) Поэтому вместо ro1 следует писать ro/e, где ro -  плотность линии в свободном состоянии.

2)знак – в правой части следует заменить на +.
Это объясняется тем, что на б/м элемент линии действует не одна, а 2 силы упругости: со стороны смежных, расположенных слева и справа от него, б/м элементов. Если б/м элемент растянут (то есть e>1), он стремится сжаться и тянет смежный с ним элемент к себе, то есть будучи расположен справа он тянет его в положительном  направлении оси ks, а будучи расположенным слева – в отрицательном. Так вот, если б/м элемент справа растянут больше, чем б/м элемент слева (то есть деформация элементов слева направо растет и поэтому de/dks=d2x(ks,t)/dks2>0), то возникает положительно направленная равнодействующая сила упругости. Таким образом понятно, что знак проекции равнодействующей силы упругости такой же, как и знак d2x(ks,t)/dks2.
Что же касается сжатий, то мы их интерпретируем как растяжения, имеющие меньшие, чем 1, значения безразмерной деформации, то есть как всё более меньшие растяжения.

3)вместо просто F должна стоять Fx – проекция внешней силы на ось х. Вообще-то для более точного описания процесса, не на x, а на ks, то есть Fks.(т.к. кроме продольной деформации может иметь место еще и поперечная деформация)
Но это значительно усложняет расчёты и, поскольку мы будем рассматривать задачи с малыми поперечнми деформациями, этим можно пренебречь

Кроме этого нужно упростить или уточнить обозначения некоторых величин.
Таким образом окончательный вид уравнения динамики линии таков:

d2x(ks,t)/dt2*ro/e= dFx(ks)/dks + kl*d2x(ks,t)/dks2

где kl – коэффициент продольной жесткости. (от английского lengthwise- продольный)
Но это – уравнение для описания продольных деформаций. Как же выглядит уравнение для описания поперечных деформаций линии? (ведь именно нам нужно) Немного по-другому:

d2y(ks,t)/dt2*ro= dFy(ks)/dks + kt*d2y(ks,t)/dks2

где kt – коэффициент поперечной жесткости (от английского transversal - поперечный), [kt] =Н.

Замечательно! Это именно то, что нам и нужно для решения задачи равновесия. Отсюда следует, что для конструкции в состоянии поперечного равновесия верно следующее:

0= dFy(ks)/dks + kt*d2y(ks)/dks2 => kt*d2y(ks)/dks2 = - dFy(ks)/dks

Следовательно, зная y(ks) (упругую линию конструкции), можно определить dFy(ks)/dks – интенсивность проекции внешней силы на ось у вдоль конструкции.(=qy(ks)
Можно решить и обратную задачу: по qy(ks) найти y(ks).
Но как правило мы решаем следующую замудрёную задачу: пусть на конструкцию действует несколько сил, их множество назовём профилем нагружения. Некоторые из этих сил могут быть распределёнными, но в основном они квазираспределённые (см. выше часть про представление сил), и они нам известны (их мы называем грузовые силы)
Кроме того, нам известны значения УЛ y(ks) и функции углов поворота (=dy(ks)/ks = ФУВ) (как правило, равные 0, но это совсем-совсем не обязательно) в некоторых точках конструкции. (что и называется в комплексе множеством  КС (=кинематических связей))
Спрашивается, какие квазираспределённые силы следует добавить к профилю нагружения, чтобы удовлетворить все КС? (и эти силы мы называем РСв – реакции связей. И как правило они квазираспределённые)
А поскольку очевидно, что для решения этой задачи мы должны будем решить систему линейных уравнений и их будет ровно столько же, сколько задано КС, то ровно столько же будет и РСв.

**

Тестирование exp-способа представления профиля нагружения совместно с применением для определения УЛ и ФУВ с помошью уравнения динамики линии, как для задачи с 2-мя, так и с 3-мя КС (см. МетодСил8, 9) даёт адекватный результат, то есть соответствующий как физике, так и классическим уравнениями равновесия.
Решена также проблема действия силы в обе стороны, а не в одну, в результате чего получена реальная, физически корректная упругая линия и функция углов поворота (ФУВ).
Однако в полученном результате смущает следующее: как может действие всего одной силы давать равновесие конструкции? Ведь так называемая частная УЛ – это форма конструкции в состоянии равновесия. И даже 2 силы (при поперечном нагружении, которое мы и рассматривем) не дают равновесия конструкции.
Давайте вдумаемся в это. Решая уравнение равновесия всего для одной действующей силы, мы получаем несколько неопределённый результат интегрирования, а именно содержащий две константы интегрирования, y(0) и f(0).(т.к. интегрировать приходится 2 раза) Ранее для их определения мы бы составили и решили уравнения УЛ, удовлетворяющие КС. Причём, заметьте, этих уравнений потребовалось бы 2, то есть ровно столько же, сколько как минимум требуется РСв для обеспечения реального равновесия конструкции. (но если РСв неизвестны, то почему бы их не заменить КС?

Отсюда вывод какой?  То, что введение в решение уравнения равновесия  произвольных констант интегрирования – это искусственное решение, обеспечивающее требуемые КС без добавления в профиль нагружения РСв. Но ведь мы-то не собираемся отказываться от такого добавления, так зачем же опережать события? Отсюда идея такая: при нахождении каждой частной УЛ принудительно назначать y(0)=0 и f(0)=0. Ведь мы-то знаем, что в итоге мы к этому и придём, но только не от каждой силы в отдельности, а в результате совместного действия этих сил, то есть сложения создаваемых ими частных УЛ и ФУВ.
Иначе говоря, назначая для каждой частной УЛ y(0) и f(0), мы отбираем из всего множества решений дифуравнения равновесия только то решение, при котором конструкция уже застрахована от перемещения и поворота в начальной точке, но в результате своего движения как целого (недеформируемого) объекта.(что и предусмотрено классическими уравнениями равновесия) То есть внешнее равновесие конструкции таким образом уже как бы обеспечено, поэтому осталось обеспечить еще и внутреннее (деформационное) состояние равновесия. Что и делается путём введения дополнительных РСв, согласно количеству КС.

Какой же еще отсюда вывод? Что понятие статической неопределимости, вообще-то говоря, миф. Да, действительно, при любом количестве грузовых СФ минимальное количество дополнительных СФ, то есть РСв, обеспечиващих реальное, а не формальное равновесия конструкции = 2. Но цена добавления оных в профиль нагружения (ПН) – это 2 КС.
Которые, между тем, рождаются практически автоматом:
1)2 прогиба в разных точках (что обеспечивается 2-мя ШНО)
2)прогиб и угол в одной точке (что, то есть 2 КС,  обеспечивается одной связью – консолью)
3)прогиб в одной точке и угол в другой точке (что есть экзотика, но всё же)
И именно для этих (минимальных) множествах КС задача равновесия решается при помощи классической системы уравнений равновесия (не учитывающих деформационной составляющей равновесия, а учитывающих только поступательную и вращательную составляющие)
И именно поэтому и возникает миф о СО-конструкциях и СН-конструкциях.
Потому что понятие равновесия в классическом случае не учитывает деформационных его, равновесия, составляющих.
Но у нас-то теперь есть понятие равновесия, учитывающее оба его аспекта.
(а это значит очень важное.
А именно то, что получив решение задачи при помощи новых методов, не забывай проверять это решение и по классическим уравнениям равновесия)

А значит, позволяющее решать задачу равновесия при любом количестве КС. А это значит, что по большому счёту понятие СН-задач – миф. Хотя, проявив толерантность к старым научным взглядам (то есть проявив к старикам почёт, но не дорогу), можно и так определить СО-задачу:
так называемая ранее СО-задача – это задача равновесия с 2-мя КС. Которую стало быть, можно решить и без нахождения УЛ. А отсюда и СН-задачи – тоже так называемые.

(В связи с чем хочется спросить многочисленных составителей методичек по строймеху, как правило, кандидатов наук: так откуда же возникла эта фишка: перед тем, как решить СН-задачу, обязательно сначала найти степень статической неопределённости задачи? Для чего даже формулы специальные сочинялись. Между тем формула-то одна: степень СН=кол-во КС-2.)

Да, методы нахождения УЛ потом были найдены, но это, увы, так и не позволяло адекватно решать так называемые СН-задачи, поэтому и придумывались методы типа метода сил и ему подобные. А всё почему? Это стало только теперь понятно.
Потому что для решения задач использовались
1)некорректные методы представления так называемых точечных сил (которые наиболе популярны в таких задачах)
2)отсутствовало чёткое понятие деформационного равновесия.

**
Отсюда и возникли достаточно слепые (пробные) формулировки условия равновесия с энергетических позиций, происходившие от метода ВП, который, напоминаю, дал пока что адекватный результат только для 2-задачи. (то есть задачи с 2-мя КС – вот нам новое понятие, вместо старого-то, привычного, СО-задача.) Которые, предполагаю, и дали миру такие порождения научной мысли, как метод сил и метод перемещений.

Но что же теперь, когда у нас уже есть все недостающие ранее инструменты? Может, в этом случае энергетический взгляд на проблему равновесия, родственник метода ВП, теперь откроется нам?

вперёд http://www.proza.ru/2019/07/08/1359