Продольная задача равновесия, трудности и открытия

назад http://www.proza.ru/2019/07/10/16

Непредвиденные трудности и открытия при решении задачи равновесия с продольным профилем нагружения

В цикле статей о решении задачи равновесия обсуждались задачи только с поперечным профилем нагружения, поэтому эту статью посвятим задачам с продольным профилем нагружения.
И казалось бы, какие же тут могут нюансы, ведь исходные дифференциальные уравнения для продольного случая нагружения совершенно такие же, как и для поперечного, с точностью до замены qy на qx (поперечной составляющей внешней силы на продольную), kt на kl (коэффициента поперечной жесткости на коэффициент продольной жесткости) и координаты y на x:

qx(ks)+kl*d2x(ks)/dks2=0

Кроме того, продольная задача привлекает тем, что минимальное количество сил, требующееся для реального равновесия при продольном нагружении – 2 вместо 3 при поперечном.(то есть, соответственно, 1 и 2 РСв на задачу) Так это же замечательно, значит, трудоёмкость решения задачи минимальная!
Решим продольную задачу c 1 КС методом УЛ+КС! (МетодСил14) И увидим, что результаты решения далеки от тех, которые даёт классический метод: Xa=-11*F вместо Xa=-F. (кроме того, как позже было замечено, получаемое значение Xa обратно пропорционально значению s, параметра описания функций распределения внешних сил) Как же это объяснить?

Что же касается модифицированного метода ВП, то он оказывается просто неприменим для решения этой задачи, т.к. для его применимости требуется минимум 2 РСв.
Данное обстоятельство приводит к идее решать продольную задачу с 1 КС классическим методом и только им. Ну хорошо, сделали так, нашли Xa, а дальше-то что? Ведь найденное таким образом значение противоречит значению, получаемому при помощи метода УЛ+КС, при помощи которого мы всецело решаем задачу. Как вывести из противоречия эти 2 метода?
И почему вообще это противоречие возникает?

Да, с одной стороны хорошо, что КС в задаче – всего одна.
Но мы-то, прожженые волки задачи равновесия, знаем, что каждая (минимально необходимая для равновесия) РСв – это цена реальному, а не номинальному равновесию, то есть нулевым значениям констант интегрирования.
Но в уравнениях для продольного равновесия - тоже 2 константы интегрирования. Чем же оправдать в этом случае нулевое значение 2-ой константы интегрирования? Да, конечно, можно добавить в профиль нагружения 2-ую, искусственную, РСв и решить задачу исключительно методом УЛ+КС.
И получить .. опять же некорректные результаты с точки зрения классики.
Но при этом не забываем, что у нас пока и задача с 1 КС не решена.

Как известно, долго ли, коротко ли сказка сказывается, да не скоро дело делается.
Но, как бы долго сказка не сказывалась, дело так или иначе делается и делается.
Это я вот о чём: все предыдущие рассуждения указывают на то, что решение проблемы связано с тем, что у нас что-то не так с пониманием физических величин, связанных с константами интегрирования, а именно безразмерной точечной деформации e(ks) и внешней координатой точки конструкции x(ks).
И в основе этих сомнений – следующие соображения:
1)Почему при решении дифуравнений равновесия не учитывается, что x(ks,0)=ks, и это - норма? Быть может, тогда x(ks) следует понимать как x(ks)-ks?
2)e(ks)=dx(ks)/dks мы понимаем как безразмерную деформацию. Но ведь понятно, что деформация может быть как сжатием, так и растяжением, если же она ни то и не это, то она =0, не правда ли?
А отсюда вывод: разумно понимать безразмерную деформацию не как dx(ks)/dks, а как dx(ks)/dks-1.
Что, кстати, согласуется с 1-ой гипотезой:
int(dx(ks)/dks-1,ks)= x(ks)-ks

Да, эти рассуждения логичны, но кто поспорит с тем, что величина dx(ks)/dks-1 – это всё-таки некая безразмерная степень деформации, а не собственно безразмерная деформация? Ведь ситуацию dx(ks)/dks=1 мы с ходу воспринимаем именно как отсутствие деформации (x(ks)=ks), то есть степень деформации, =0.
Касаемо x(ks), то эта величина, как и y(ks) первоначально кажется нам всего лишь показателем отклонения точки от некоторого состояния равновесия. То есть в какой-то степени Dx и Dy (приращениями x и y).
Отсюда идея: а что если решить уравнение равновесия для ССр? (свободного состояния равновесия) Получим следующее:
kl*d2x(ks,t)/dks2=0 => x=C1*ks+C2
Отсюда, потребовав
x(ks,t)=ks,
получаем:
C1=1, C2=0 => x(ks,t)=1*ks+0
(что вполне разумно интерпретируется и при прежнем понимании e(ks) и x(ks):
безразмерная деформация=1 (то есть отсутствие деформации), координата левой точки отрезка=0 (то есть отсутствие деформации))
(кстати говоря, аналогично получаются и значения констант интегрирования для попереречного нагружения, по уравнению для ССр:
y(ks,t)=С1*ks+C2=0 => C1=0, C2=0)

Однако использование и этих дополнительных данных для расчётов методом УЛ+КС (МетодСил14с) даёт совершенно несуразные результаты. Что же делать дальше?
В связи с этим скажу только следующее: x(ks), равно как и y(ks) – это всё-таки полноценные внешние координаты точки конструкции, а не какое-то перемещение этой точки относительно какой-то другой точки. А раз так, то для их определения нужно ввести систему отсчёта координат (СОК). И именно этот акт в этом случае и скрыт от публики, потому что это решение было принято не нами. Так, для поперечного нагружения принято, что y(ks,0)=0. (что не приносит никакого ущерба общности рассуждений в дальнейшем, а только упрощает вычисления.)
Какое же решение принять для x(ks,0)? Ответ: такое, которое обеспечит при правильном значении РСв заданное значение КС в точке ks=0: x(0)=0.
Что мы сделаем следующим образом: введём x0 такое, что:
x(0)=xa(0)+xf(0)+x0=0
(что интерпретируется просто как как другой выбор СОК)

Таким образом, созревает следующий план решения продольной задачи с 1-ой КС:
1)1-ую Рсв находим классическим методом.
2)чтобы обеспечить x(0)=0, вводим x0 и решаем это уравнение x(0)=0 относительно x0.
3)строим все необходимые графики.(МетодСил14a)
А для задачи с 2-мя КС сделаем следующее:
1)1-ую Рсв находим классическим методом.
2)чтобы обеспечить x(0)=0, вводим x0 и решаем это уравнение x(0)=0 относительно x0. – пока не будем делать.
3)чтобы найти 2-ую РСв, применяем метод УЛ+КС (для точки приложения 2-ой РСв), например, потребовав, чтобы x(AB)=0.
4)строим все необходимые графики.(МетодСил14b2)

В обоих случаях получаем результаты, проходящие все классические тесты. (и в том числе такой нестандартный, для продольного нагружения, тест, как уравнения равновесия по «моментам».
Но об этом тесте чуть позже.)
Кроме того, в задаче с 2-мя КС полностью корректное решение получается и без введения поправки x0 для СОК.
Как объяснить это?
Если не вводить поправку x0 для СОК в задаче с 1-ой КС  (МетодСил14b1), то выяснится, что на интервале ks от 0 до AC (при F, направленной вправо) образуется зона сжатия, содержащая в точке с ks=AC/2 естественный центр сжатия, то есть точку, в которой x=0 и меняет свой знак с “-“ на “+”. Но, раз так, то именно в это точке и следует выбрать начало отсчёта ks, чтобы не получалось неестественных результатов с многократным превышением правильных результатов (МетодСил14)

Кроме того, в задаче с 1 КС зона сжатия окаймляется с обеих сторон зонами нейтральными по деформации (=свободными зонами), то есть такими, внутри которых e(ks)=0. А, стало быть, такими, в которых .. нет, не dx/dks=0, а d(Dx)/dks, где Dx=x-ks, то есть отклонение точки от её естественного (-свободного) положения. А это значит, что исходное уравнения равновесия следует переписать так:

0=qx+kl*d2(Dx)/dks2

И то же самое для задачи поперечного нагружения:

0=qy+kt*d2(Dy)/dks2

Данное преобразование тем более имеет смысл, когда решается задача равновесия для тела, 2х-мерного уже в исходном состоянии (хотя и представляющее из себя, например, ломаную, а не  полноценное 2х-мерное тело, имеющее как длину, так и ширину.)

Что же касается решения задачи равновесия при продольном нагружении при помощи модифицированного метода ВП, то для задач с 2-мя КС (и более) он вполне применим и даёт полностью адекватные результаты (МетодСил14b2) и притом вчистую, то есть без применения всё-таки несколько искусственного, согласитесь, шага, а именно определения 1-ой КС при помощи уравнения равновесия по силам.
Результаты решения по этому методу также проходят тесты равновесия по «моментам», поэтому остановимся подробнее на них.

Тестами равновесия по «моментам» я называю следующие уравнения:
-AB*Xb-AC*F = 0 => AB*Xb+AC*F = 0
AB*Xa+CB*F = 0
AC*Xa-CB*Xb = 0
(замечу, что здесь  CB = AB-AC, что есть важно),
где
1-ое уравнение – это сумма продольных моментов относительно точки A
(см. далее: А – это точка суммы),
2-ое – относительно точки B,
3-ье – относительно точки C)
Отличие алгоритма составления этих уравнений от уравнений настоящих моментов состоит в следующем:
1)не важно, в каком направлении сила «вращает», а важно только её направление (вправо (и тогда F>0) или влево (и тогда F<0))
2)моменты сил, расположенных слева от точки суммы, учитываются в сумме как есть, а расположенные справа от точки суммы – умножаются на «-1» (см. уравнение 3 и 1)

Но каков же всё-таки смысл понятия «продольный момент»?
Для ответа на этот вопрос начнём с МетодСил14b2. (продольная задача равновесия с 2-мя КС) Возьмём эпюру деформаций (Dx) и рассмотрим x(A)=xa(A)+xb(A)+xf(A). В этой точке xa(A)=0 (т.к. это – точка приложения РСв Xa), поэтому, чтобы обеспечить требуемое x(A)=0, нужно обеспечить xb(A)+xf(A)=0. Из эпюры также видно, что чем больше расстояние от точки приложения силы до точки КС, тем большую деформацию (при прочих равных) эта сила в точке КС создаёт. (более того, деформация пропорциональная этому расстоянию – продольному плечу силы) Отсюда становится понятно, что для уравновешивания деформаций 2-х сил (в данном случае F и Xb)  в точке А требуется, чтобы:

F*AC+Xb*AB=0,

то есть требуется равновесие продольных моментов.(=произведению амплитуды силы на плечо силы относительно заданной точки) Теперь становится понятна природа продольного момента: деформация, которая создаёт сила в некоторой точке конструкции, пропорциональна расстоянию от точки приложения силы (ядра силы) до данной точки конструкции.
То же самое имеет место и для поперечных деформаций, отсюда возникает и поперечный момент силы.

Но этот момент - не то же самое, что и получаемая в процессе интегрирования уравнения равновесия величина kt*ey(ks)=kt*dy/dks, хотя  интеграл именно от этой величины, делённый на kt, и есть поперечная деформация y(ks), а поэтому она в какой-то степени аналогична тому самому моменту. Но это не то же самое, и хотя бы потому, что [kt*dy/dks]= Н.
Равно как и найденный выше продольный момент – это по тем же причинам не то же самое, что и получаемая в процессе интегрирования уравнения равновесия величина kl*ex(ks)=kl*dx/dks, хотя  интеграл именно от этой величины, делённый на kl, и есть продольная деформация x(ks).

Но почему же тогда понятие момента всё-таки возникло, но только для задач поперечного нагружения? Да потому что, во-первых, задачи поперечного нагружения при минимально возможном количестве КС, в отличие от задач продольного нагружения, еще допускают решение их при помощи метода ВП.
(тогда как для решения задач продольного нагружения требуется только равновесие сил. А всё остальное – это дело наживное.)
Но при минимально возможном количестве КС метод ВП легко трансформируется в метод моментов. Который, однако, содержательно не эквивалентен методу ВП, т.к. РСв в нём находятся из условия невращения конструкции, а вовсе не из условия обеспечения заданных КС, то есть желаемых суммарных деформаций в заданных точках.

Но при увеличении количества КС метод ВП в его грубом, вращательном, толковании, моментально теряет актуальность и для поперечных задач. (тогда как для продольных он никогда и не был актуален) Стало быть, теряет актуальность в этой сфере и понятие «момент вращения».
Но вместе с этим приобретают в этой сфере актуальность понятия «локальный продольный внутренний силовой фактор» kl*dx/dks и «локальный поперечный внутренний силовой фактор» kt*dy/dks.