Что могут рассказать рейтинги?

Совсем недавно на сайте ФИДЕ появилась табличка обозначенная как "Top Fed" Меня эта тема интересует, и я заглянул. Национальные федерации расположены по величине среднего рейтинга Эло десятки лучших шахматистов в "классике" .

1 Russia     2739
2 USA        2714
3 China      2706
4 India      2666
5 Ukraine    2661
6 Armenia    2652
7 Azerbaijan 2651
8 Hungary    2643

Обычный человек увидев такой Ранг-лист естественно подумает, что именно так выглядит и роль, значимость отдельных федераций в определении жизни всего шахматного сообщества. Ну а поскольку роль государства или могущественных корпораций в финансировании различных видов спорта, а шахмат в особенности никто не отменял, то место в таком списке и особенно его динамика имеет определенное значение...

Естественно возникает вопрос об обоснованности такого Ранг-листа. Насколько реально он отражает роль той или иной национальной федерации и у себя в стране и на международной арене.

Первое, что приходит в голову посмотреть, а сколько вообще шахматистов входят в ту или иную федерацию. Дело в том, что ФИДЕ как главную организацию вообще не очень заботит в какой национальной федерации более сильные шахматисты, в в какой менее сильные. Главное все же количество шахматистов вообще. Именно это определяет уже роль ФИДЕ на международной спортивной арене вообще и в олимпийском движении в частности. Итак количество шахматистов.

Первое что приходит в голову это взять рейтинг-лист ФИДЕ и посчитать число представителей от каждой федерации. Безусловно в нем представлена небольшая часть всех играющих. Но с определенной долей достоверности можно предположить, что она составляет несколько процентов. Мы будем считать, что всюду она одинакова. (Хотя конечно это не так)

Восьмерка сильнейших по данным рейтинг-листа на 1.12.2019 дают нам следующие числа

1 India   92497
2 Russia  90736
3 France  63504
4 Spain   53284
5 Iran   43656
5 Turkey  39099
7 Germany 38910
8 Poland  27295

Как мы видим из первого листа здесь присутствуют только India и Russia

Имея два ранг листа с более менее объективной информацией почему то хочется объединить их. Методов объединения множество. Но мы в первом приближении используем самый наглядный - геометрический. Если у вас возникает необходимость сравнить два дачных участка с различными длинной и шириной, то вы будете сравнивать площади. И чтобы определить площади просто перемножите длину и ширину. Вот и мы просто перемножим средний рейтинг и количество шахматистов. Для первого шага в построении рейтинга национальных федераций этого достаточно.

1 Russia  2485
2 India   2466
3 France  1677
4 Spain   1399
5 Iran   1123
6 Germany 1023
7 Turkey   998
8 Poland   720

Как мы видим, новый рейтинг-лист основанный на умножении показатклей практически не отличается от ранжирования просто по количеству шахматистов. Но определенное нами число шахматистов вызывает большое сомнение Слишком мало шахматистов предмтавляют Китай и США по многим соображениям.

Преодолеть это обстоятельство можно используя, например, сумму мест занятых федерациями в ранг-листах по рейтингу Эло (R)и по количеству шахматистов (N).
           N  R  N+R
1 Russia   2  1  3
2 India    1  4  5
3 France   3  9 12
4 USA     12  2 14
5 Spain    4 13 17
6 Germany  7 11 18
7 Poland   8 10 18
8 Ukraine 14  5 19

Этот ранг лист, основанный на суммировании рангов выглядит более сбалансированным. Добавились USA и Ukraine имеющие высокие рейтинги первой десятки. Но все еще не хватает China. Самая населенная страна мира, конечно же имеет больше шахматистов чем это оценивается нами из ранг-листа ФИДЕ (52-е место)

Попробуем таку простую схему ранжирования. Представим интегральный рейтинг федераций как сумму количества шахматистов плюс средний рейтинг лучшей десятки умноженной на константу А. Константу эту будем определять исходя из предположения, что ранжирование по обобщенному показателю
F-rating = N + A*R должно равным образом связано и с ранжированием по N и с ранжированием по R.

Математически это означает
Cor (R, F-rating) = Cor(N, F-rating)

Изменяя величину константы А мы можем изменять коэффиниенты корреляции. Если А=0 то все ранжирование будет определятся только ранжированием по количеству шахматистов. Если А - большое, то все будет определятся только рейтингами первой десятки.

И вот каков результат этого ранжирования. Оно получается если мы возмем A = 50
              N R
1  Russia     2 1
2  India      1 4
3  France     3 9
4  Spain      4 13
5  Iran       5 20
6  Germany    7 11
7  Turkey     6 28
8  Poland     8 10
9  USA       12 2
10 Italy      9 35
11 Greece    10 25
12 Ukraine   14 5
13 Brazil    11 31
14 Czech     15 16
15 Hungary   17 8
16 England   22 12
17 Netherlan 26 14
18 China     52 3
19 Serbia    18 21
20 Argentina 19 22

И конечно же эта информация дает немного для управления, стимулирования и вообще регулирования жизни шахматного сообщества. А ФИДЕ ведь для того и создана, по моему мнению, что бы "рулить", управлять...

Различного рода рейтинги, статистика, и есть едва ди не единственное объективное средство для обоснования тех или иных решений руководящего органа.