О средней скорости

Рассмотрим простую задачку на движение:
Пусть автомобиль проехал первую половину пути со скоростью 40 км/ч, а вторую — со скоростью 60 км/ч. С какой средней скоростью он проехал весь путь?

Многие отвечают примерно так: средняя скорость в данном случае равна (40 + 60)/2 = 50, поскольку полпути автомобиль ехал со скоростью 50 – 10, а полпути — со скоростью 50 + 10, компенсируя медлительность на первом участке; с учётом равенства участков пути можно считать, что средняя скорость на всём пути равна среднему арифметическому скоростей на отдельных участках. Однако это не верно. Средняя скорость равна 48 км/ч.

Средняя скорость определяется как скорость равномерного движения, с которой был бы пройден весь путь за то же время, что и при неравномерном движении. В рассматриваемой задаче

Vcp = S/(t1 + t2),

где S — весь путь; t1, t2 — времена, в течение которых скорость была равна V1 и V2 соответственно.

С учётом того, что  t1 = S/2V1; t2 = S/2V2, получаем
Vcp = 2V1V2/(V1 + V2).          (1)
Для нашей задачи  Vcp = 2x40x60/(40 + 60) = 48.

В частном случае, когда V1 = V – w и V2 = V + w формулу (1) можно привести к виду:
Vcp = V(1 – (w/V)^2)            (2)

Рассмотрим теперь другую задачу: в течение времени t1 скорость равна V1, а в течение t2 — V2; какова средняя скорость?
Ответ:  Vcp = (V1t1 +V2t2)/(t1+t2).
Если интервалы t1 и t2 равны, то средняя скорость оказывается равной среднему арифметическому скоростей V1 и V2.

P.S. Однажды я случайно обнаружил ошибку подсчёта скорости у одного лектора, пытавшегося популярно рассказать об опыте Майкельсона-Морли. Тогда же я предложил описанный здесь упрощённый вариант задачи трём обычным, неискушённым в математике, людям и получил один и тот же ответ — среднее арифметическое. Всё это и послужило поводом написать данную заметку.