Задача многих тел и паттерн-метод

ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ И ПАТТЕРН-МЕТОД

Много задач математического моделирования сводятся к интегрированию функций в виде произведении полинома на экспоненту с показателем степени тоже в виде какого-то полинома. Используя «золотое сечение»   ФхФ=Ф+1 и приравнивая каждый член многочленного полинома новой переменной, линеаризуем каждый полином как аФ+в, где а и в теперь являются линейными формами от нескольких новых переменных. Если полином имеет степень к (к+1 членов), то получаем к+1 новых переменных. Интегрирование в новых переменных не представляет проблемы: достаточно классического интегрирования по частям. В задачах взаимодействия, описываемых системами дифференциальных уравнений, хорошо решаются задачи двух тел или многих однородных тел. Задачи немногих тел, числом превышающих два тела, сталкиваются с серьёзными проблемами.
Напомним общеизвестные аспекты проблемы 3 тел.
Задача трёх тел  — одна из задач небесной механики, состоящая в определении относительного движения трёх тел (материальных точек), взаимодействующих по закону тяготения Ньютона (например, Солнца, Земли и Луны). В отличие от задачи двух тел, в общем случае задача не имеет решения в виде конечных аналитических выражений. Известны лишь отдельные точные решения для специальных начальных скоростей и координат объектов.
Общая задача трёх тел в небесной механике описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.
На данный момент известны только  частные решения:
Первые три решения были найдены Эйлером в 1767 году. Они существуют, когда все три тела находятся на одной прямой. В этом случае имеют место 3 возможных последовательности расположения (третье тело находится между двумя другими, либо слева или справа от обоих). Такое движение называется коллинеарным.
Ещё два решения нашёл в 1772 году Лагранж. В них треугольник, образованный телами, сохраняется равносторонним, вращаясь в пространстве либо по часовой стрелке, либо против часовой стрелки.
В 1892—1899 годах Анри Пуанкаре доказал, что существует бесконечно много частных решений задачи трёх тел.
В 1911 году Уильям Дункан Макмиллан открыл новое частное решение, но без четкого математического обоснования, лишь в 1961 году советский математик Кирилл Александрович Ситников смог найти строгое математическое доказательство для этого случая (Проблема Ситникова).
В середине 1970-х было открыто еще одно семейство орбит Бруке-Хено-Хаджидеметриу.
В 1993 ещё одно решение, имеющее вид стабильных орбит-«восьмерок» нашёл Мур.
В 2013 году сербские учёные Милован Шуваков и Велько Дмитрашинович из Института физики в Белграде нашли 13 новых частных решений для задачи трёх тел, при которых движение системы из трёх одинаковых по массе объектов будет происходить в повторяющемся цикле.
В 2018 году  Liao Shijun и его коллеги из Шанхайского университета транспорта использовали суперкомпьютер, чтобы вычислить 234 новых частных решений для задачи трёх тел без коллизий.
Относительно общего случая Вейерштрасс предложил такую задачу (1885 г., конкурс на премию шведского короля Оскара II):
«Пусть дана система произвольного числа материальных точек, взаимодействующих по закону Ньютона. Требуется, в предположении, что не произойдет соударения каких-либо двух точек, представить координаты каждой точки в виде рядов по каким-либо непрерывным функциям времени, равномерно сходящихся для всех действительных значений этой переменной».
Сам Вейерштрасс опирался на свою знаменитую теорему об аппроксимации произвольной функции полиномами. Поэтому предлагаемый подход имеет отношение к общему случаю.
Обсуждение самой возможности ситуации, описанной в задаче Вейерштрасса, привело к ряду важных выводов, на которых основываются современные исследования.
Брунс и Пуанкаре доказали, что систему дифференциальных уравнений для движения трёх тел невозможно свести к интегрируемой, разложив её на независимые уравнения. Открытие показало, что динамические системы не изоморфны. Простые интегрируемые системы допускают разложение на невзаимодействующие подсистемы, но в общем случае исключить взаимодействия невозможно…
Когда я рассуждал о своём подходе к задаче трёх тел, мой коллега заметил: « Альберт, а задачу трёх тел не следует решать в интегралах». Я очень удивился. Это был юмор. Мы Потом до меня дошло, что он имел в виду и другие виды взаимодействия. Мы долго смеялись.  И тут я понял, что действительно существует ещё более общая проблема не механического, а более сложного взаимодействия трёх  и более тел. Когда встречаются двое, многие вопросы решаются легко, но стоит добавить ещё одного фигуранта, всё усложняется. Возникают своего рода паттерны, образы. Оказалось, что в задачах сложного взаимодействия имеет смысл каждому фигуранту соотнести специфический паттерн, несколько идеализированный образ с предсказуемым в некоторой степени поведением. С паттернами гораздо проще работать. Тогда можно описать возможные сценарии поведения каждого фигуранта. Возникает сильная аналогия  с нашим переходом в полиномах к многим переменным, когда каждая переменная имеет свои специфику и значение. Дальнейший синтез в форме моделей коллективных поведения и эффектов тоже расщепляется на несколько сценариев. Но это становится конструктивным занятием. Оперировать упрощёнными образами и абстракциями гораздо удобнее и продуктивнее. К тому же можно построить вполне вычислимые алгоритмы. Хорошо известно, что просто управлять большими сложными системами, поскольку возникают усредняющие «термодинамические» характеристики и законы, и совсем трудно управлять блуждающими отдельными мелкими частицами. Аналогичны процессы и в социуме, и в окружающей среде. Паттерны особенно эффективны в области психологии и психиатрии, где взаимодействия сильно усложнены. Если фигуранту вы эффективно покажете специфику его паттерна, вы невольно его запрограммируете, повысив вероятность реализации именно этого паттерна. Паттерн становится «соломинкой», за которую психика предпочтёт зацепиться. Если в паттерн включать стимулирующие, одобряющие и вдохновляющие мотивы, вероятность положительного эффекта резко увеличится. Мы провели много экспериментов, работая с идеализированными образами людей и животных. И результаты вполне оправдали наши ожидания.