Парадокс колеса 2

В предыдущей статье был рассмотрен парадокс колеса связанный с развёрткой длины окружности связанных окружностей разных диаметров при движении колеса по прямой линии. Парадокс заключался в том, что развертка длины окружности определяется исключительно длиной окружности контактирующей с прямой линией, по которой прокатывается колесо, и не зависит от радиуса окружности любого меньшего диаметра.

Очень продвинутые в математике читатели обратили внимание на то, что любая фиксированная точка внешнего диаметра окружности описывает в это время кривую под названием циклоида. Но лучше бы они об этом не вспоминали, так как теперь мы вынуждены рассматривать ещё один «парадокс» колеса.

Перед началом движения точки А и М совмещены в начале координат. Точка А, это точка соприкосновения окружности с прямой линией по которой она прокатывается и, соответственно, во время движения двигается по прямой линии от координаты Х со значением 0 до координаты со значением 2пиR т.е. проходит путь равный развёртке длины окружности. Точка М, это фиксированная точка на окружности, которая двигается в направлении координаты Х = 2пиR по дуге циклоиды.

Иными словами мы решаем задачу по определению пути точек А и М за одно и тоже время при одной и той же угловой скорости вращения окружности.

Как видно из рисунка, путь точки А будет строго соответствовать длине окружности и равен 2пиR, а вот точка М за то же самое время, и самое главное двигаясь с той же самой угловой скоростью, так как она принадлежит той же самой окружности, что и точка А, пройдет путь равный длине дуги циклоиды L = 8R, что в 4/пи раза больше чем путь, который пройдёт точка А.

Как это объясняет математика понятно из рисунка, но как это объяснить с точки зрения физики?

Отношение пройденного пути точки принадлежащей окружности к периоду обращения окружности определяется из выражения:

L/T = V

где V линейная скорость точки во время вращения окружности (м/с).

Линейная скорость точки во вращательном движении определяется из выражения:

V = w*R

где w – угловая скорость вращения окружности (рад/с)
R – радиус окружности (м)

w = 2пи/Т

L/T = (2пи/Т)*R

L = 2пи*R

Т.е. иными словами длина пути, пройденная точкой вращающейся окружности всегда равна за один период длине окружности.

«Парадокс» заключается в том, что точка условно принадлежащая циклоиде, назовём её М1 движется фактически быстрее точки М принадлежащей окружности за счёт того что на неё действуют два вектора скорости один в направлении координаты Х, другой У, геометрическое сложение этих векторов и даёт соответствующий прирост скорости в 4/пи раза. За счёт чего путь пройденный точкой М1 по дуге циклоиды несколько больше чем путь пройденный точкой А по прямой линии.

Я полагаю, что и Аристотель и Галилей об этой особенности движения окружности, как минимум догадывались, когда рассматривали парадокс развёртки длины окружности.


ДОПОЛНЕНИЕ.

Не трудно видеть, что любая окружность большего или меньшего радиуса относительно ведомого колеса в точке А пройдёт путь 2пиR, равный траектории движения оси, где R радиус ведомого колеса. При этом весь линейный избыток или недостаток движения точки М будет компенсирован траекторией циклоиды.