ААА

«О математике я думаю постоянно – иду, например,
за хлебом, а в голове вертится задача».




«Напишите алгоритм и программу вычисления по нему коэффициентов разложения индукции электромагнитного поля в простейшие поля», – предложил доцент с инициалами ААБ. Эта задача из первого семестра общего потока – для студента третьего курса профильной кафедры? Вы в смоём уме? («Справка от психиатра есть?» – чуть не подумал я, но псих(иатр) не может быть выше физика.) Явно детсадовское мировоззрение говорившего в части преподавания как такового и «учебы на производстве» в частности означало одно – прочь из этого ареала!
Курс функционального анализа читал Алексей Алексеевич Арсеньев, человек с умными карими глазами, чуть кренившийся вправо. Читал несколько рассеянно – «Тут я не те формулы вам дал. Здесь привел не ту теорему», подкупая при этом явным «бытием в предмете» – не по материалу монографий и статей, а на уровне чутья – т.е. знания нестандартных сторон и граней. Гомологии и когомологии, операторы и функан – что называется, «передний край» – интересовали меня со школы, и я спросил ААА, не согласен ли он поработать надо мной со мной. Согласен. И вот с уровня ААБ я поднялся на уровень ААА – а именно…
В 1977 году «Доклады Академии Наук СССР» (знаменитый отечественный журнал, по сути – сборник авторефератов работ советских и зарубежных учёных) выпустили статью «О существовании инвариантных мер на пространстве решений эволюционного уравнения». Революционная работа тридцативосьмилетнего физика раскрыла природу времени: временем оказалось действие (т.е. деятельность). Алексей Арсеньев объяснил, какое уравнение и с какой точки зрения указывает на причину наличия у явлений длительности, предметно – нужно смотреть, желательно – со стохастической (т.е. не сплошностной), точки зрения на гамильтонову запись движения в виде изменения формы области фазового пространства (т.н. уравнение Лиувилля для распределения плотности фазовых переменных; Жозеф Лиувилль, кстати говоря, личность, интересная сама по себе, – его вклад в естествознание огромен, достаточно упомянуть, что он ввёл в обиход группы (включая сам термин), начав с объяснения, как решаются алгебраические уравнения степени, не ниже пятой, и как просто увидеть, почему для них нет единого выражения корней через коэффициенты, т.е. общей формулы решения). При таком взгляде немедленно видно, что если происходит какое-то действие (уравнение – эволюционное), оно неминуемо занимает время, и так будет всегда  (одинаковые действия изохронны – инвариантность меры на его решении). Более того – вывод справедлив, даже если наблюдать за ходом дела иногда, а не безотрывно (исследование поведения формы фазового объема, т.е. фазовой плотности, означает, что взгляд на ход событий – стохастический). И обратно – уравнение потому и эволюционное (то есть – про время), что изображает действие, а не просто есть (какое-то) соотношение между величинами. Выделенность параметра, показывающего наличие у процесса длительности, вытекает, таким образом, из самого уравнения. Найденное ААА доказательство наличия таких мер несложно: область развития явления (задания уравнения Лиувилля или – всякого вообще мыслимого явления) – всюду связна и выпукла (или, как говорят, компактна), а значит – ход явления на границе определяет («мажорирует») всё в области. Компакт топологически эквивалентен сфере, а на её границе любой одинаковый сдвиг имеет одинаковый «размер» (меру). Некую «неочевидность» в рассуждениях составило то, что события развиваются именно на компакте, что и ускользнуло от внимания остальных (в подобных случаях вынужден взгляд на предмет «со стороны» – с определенной, так сказать – «опорной», точки зрения). Математически говоря, ААА ответил и на обратный вопрос: какое явление следует из того, что одинаковые шаги по сфере имеют одинаковую длину и что сфера и компакт – топологически одно и то же, и установил необходимое условие того, что некая область трансформируема в сферу: координаты её внутренности изменяются по закону Лиувилля, и достаточное условие того, что определенный закон может быть записан как уравнение Лиувилля: область справедливости закона – компакт. В частности, локально эти два свойства – признаки друг друга (как говорят – являются необходимым и достаточным условием друг для друга). В статье как предшественник в исследовании инвариантности решений эволюционных уравнений упомянут другой математик (румын Чиприан Фойаш), который говорил не про уравнение как таковое, а про два множества, между которыми оно (это уравнение) справедливо (области фазового пространства в начале и в конце явления), а от такого взгляда ускользает, в частности, справедливость вывода и в условиях стохастичности. Так что предшественником он был исключительно во времени (ирония судьбы!), а не в авторстве.  Именно Арсеньев установил эквивалентность действия и времени, т.е. природу времени.  Удивительно, что этого не заметили Отто Никодим и Иоганн Радон, изучавшие меры, в частности, как выразителей стохастичности (Радон установил, что способ Анри Лебега посчитать длину-площадь-объем измерением непрерывных их частей с последующим складыванием полученного (мера Лебега) подходит также для вычисления параметров цепи случайных событий, и появилась мера Радона; что само понятие вероятности для описания события, считающегося случайным, равно, как и признание чего-то, от нас не зависящего, случайным, – примитивный способ описания неожиданного, – совсем другой вопрос). Здесь уместно отметить, что подход с точки зрения фазового пространства приводит к удивительному выводу (совпадающему с ощущением времени человеком) – длительность есть впечатление, но для этого нужно обобщить переход между областями разной формы, но одного объема в одном фазовом пространстве (уравнение Лиувилля) на переход между областями в разных фазовых пространствах по определённому правилу соответствия; это, однако, предмет отдельного разговора.


В том же возрасте – под сорок – ААА по рекомендации Самарского (Александр Андреевич Самарский – знаменитый отечественный расчётчик, один из авторов «разностных схем» – искусства решать на вычислительной машине («компьютере») «многоуровневые» задачи, поставленные в виде систем многих дифференциальных и интегральных уравнений, в первую очередь – в механике сплошной среды, которая, в свою очередь, сама – хорошее приближение многих «несплошных» явлений; позднее ААА совсем «вышел на простор», и теснота их с Самарским сотрудничества заметно спала) стал автором нескольких статей по предметам первостепенной важности в выходящей – первой в истории страны – «Математической энциклопедии», например – об уравнении Больцмана. «По нему считают спутники в верхних слоях атмосферы». (Яркий пример необходимости физиков с их математикой в отечественном космической программе; когда ещё ничего не было ясно, решали, например, задачу устойчивости радиосвязи с аппаратом на спуске – кругом него бушует пламя, то есть плазма, а в проводящей среде электромагнитное поле искажается само собой, задача – предсказать искажения, с тем чтобы провести и получить всё-таки радиосигнал, а не «шорохи» от окружающей плазмы; специализированные институты появились позже, так что университетская наука активно работала по космосу, да и теперь работает.)

В то же время (конец 1970-х-начало 1980-х) ААА участвовал в разработке математического аппарата для расчета режимов работы ГАК (гидроакустического комплекса) уникальной АПЛ проекта 985 (она же – К-278 «Комсомолец»), способной двигаться на глубинах до полутора километров. Глубоководность лодки была не самоцелью – мировой океан стратицифирован, то есть вертикально состоит из зон («стратов») более-менее постоянного давления с резкими скачками давления между зонами – на «границах» стратов. Звук отражается от границ стратов, что создаёт возможность подводному аппарату, двигаясь на большой глубине, оставаться незаметным для звукоулавливающего прибора на поверхности или в верхних стратах. При этом, очевидно, возникает задача уменьшить возникающую «глухоту» аппарата, насколько это возможно. Работы ААА способствовали установлению диапазонов чувствительности ГАК (главное – нижней границы принципиально слабого сигнала) в зависимости от располагаемой технологической базы и состояния воды в месте пребывания аппарата. В составе ГАК имеется эхолот или сонар, так что тем самым были выработаны условия на диаграмму рассеяния сонара, которые в свою очередь позволяют точно составить техническое задание для конструкторов, т.е. помочь решить извечную проблему взаимоотношений заказчик-разработчик.


В середине восьмидесятых известный в расчетах многочастичных самодействующих систем (например, тяжелых атомов) метод Хартри-Фока (Владимир Александрович Фок развил также так называемое «вторичное квантование» и был в своё время «шефом» Льва Ландау, а Дуглас Хартри был англичанин, опубликовавший первую статью о самосогласованных полях – будущем «методе Х.-Ф.») решили распространить на переменные системы, сделав на его основе «метод Хартри-Фока со временем»: исходный метод Х.-Ф. рассчитывает системы только в состоянии покоя (откуда в них и берётся самосогласованность), а нужно, конечно, знать и каково переходное поведение – возбуждение, релаксация и т.д. Этот самый «метод Хартри-Фока со временем» в своём первоначальном виде – типичный пример иностранного отношения к месту математики в физике: придуманный метод где-то как-то работает – и хорошо. Конкретный метод противоречит физическому – т.е. естественному – условию гарантированного местонахождения объекта где-то в пространстве (принцип единичной полной вероятности)? Да и ладно. В середине девяностых ААА привёл наивный «метод Хартри-Фока со временем» в нормальное, строгое состояние, найдя подходящую базу построения решения задачи – такую, что вероятность во всем пространстве оставалась единицей в любое время. В 1960-х на заре своей эпохи лазерщиками ввели в обиход состояния, названные когерентными,  попросту – моды лазерного луча (лазерный луч – волна одной частоты, как говорят – когерентен; за это самоочевидное нововведение американскому еврею Рою Глауберу вручили Нобелевскую премию в 2005 году). Однако, состояние всей системы, представляемое суммой таких мод-когерентных состояний, то меньше, то больше единицы. Как показал ААА, верный результат – единица – получается только при расчёте такого почти умозрительного явления, как "гармонический осциллятор", что вначале и приняли за обоснование метода в целом. Правильное же разложение нашел ААА – наложением дополнительного условия равенства единице быстроты перемены производящей функции метода в начале событий (собственной, как говорят математики, первой производной в нуле), – какие-то «умники» просто недопоставили задачу (за границей России такое бывает часто с середины XX века – там не очень понимают, что такое задача и постановка задачи, включая непонимание того, что такое аксиоматика; попутно стоит отметить, что решением задачи (как набором действий) является последовательное уточнение её условия и что решением задачи (как ответом на вопрос) является окончательно уточненное её условие).
«Запишите номера выпусков и страницы в «Успехах теоретической физики» – журнал японский, но по-английски. Там три статьи, это метод Хартри-Фока со временем. Статьи небольшие. Прочтёте. Потом подумайте, как метод сделать физически правильным, – сейчас там большие расхождения с опытом во всех практически важных случаях, полная вероятность не единица. Собственно, работу я уже сделал. Вам надо её или повторить, или вы найдете тот же результат своим путем». По первому указанному адресу «проживала» другая статья,  длинная – обзор теории электрослабых взаимодействий (сидевшие в школе за одной партой американцы Шелдон Глэшоу и Стивен Вайнберг, а также пакистанский Абдус Салам из Кембриджа взяли за него – открытие тождества электромагнетизма и радиоактивного распада при очень больших энергиях – Нобелевскую премию в 1979 году, за три с половиной года до открытия предсказанных теорией тяжелых промежуточных бозонов – удивительное (для наших дней – уже не столь) решение Нобелевского комитета). Знаком я с ней уже был – по отечественным учебникам, однако японский обзор прочел честно и не без интереса. Где же тут  Хартри и Фок с третьего курса да ещё со временем? В очередную встречу с ААА, говоря о своих читательских успехах за прошедший месяц, я вставил, что одна из статей к предмету, видимо, не относится, на что ААА спокойно сообщил – да, я не тот номер вам дал, но это хорошо, что вы выучили теорию электрослабых взаимодействий. Рассеянность (даже не своя) – полезная вещь: сильно расширяет кругозор! (Это второй подход – с исправлениями после первой попытки – к рассказу об ААА через мои с ним взаимоотношения, – давно заметил, что люди с одним и тем же свойством гладкости притягиваются и уживаются.)


В конце 1990-х ААА занялся дуальностью лагранжевой и гамильтоновой форм механики и сообразил, что узлам («нулям») и пучностям («полюсам») стоячей волны в волноводе соответствуют – по двойственности Лежандра (она выражает двойственность механики: движение можно описывать по итальянцу Джузеппе Луиджи Лагранджа (работавшему в Париже под именем Жозефа-Луи Лагранжа) и по ирландцу Роуэну Гамильтону)  – нули  и полюсы матрицы рассеяния двойственной квантовой задачи. Нули с полюсами эти отыскиваются значительно проще, чем сплетения в волноводе напрямую. В голодные, а потому не очень «публикантные», девяностые научную новизну в западную профильную периодику приходилось пробивать – беря западных докторов с профессорами в соавторы, зачастую на пустом, в научном смысле, месте (доходило часто и до откровенного с той стороны плагиата). Одним из таких соавторов, попросту – проталкивателем статьи в журнал, для ААА выступил некий швед, по чьему совету (по факту – приказу) область определения («носитель») [X,Y]=[0,1]x[0,1] ненулевой функции в модельной задаче была названа словом disk. Так квадрат стал кругом. Причиной внесения иностранцем отсебятины была, очевидно, нужда во внедрении хоть чего-то своего в работу «недоразвитого русского», кем русские для Западной Европы и её производных были, есть и будут.


«Восемьдесят процентов современной математики – это Эйлер», сказал как-то ААА. (Действительно – если вдуматься, «задача о кенигсбергских мостах» (и её решение) дала толчок систематическому изучению эквивалентности областей с точки зрения наличия на них сходных маршрутов движения (топология), суммирование близких значений отношений мнимо-значных зависимостей к разностям их текущих значений и тех, в которых они бесконечно велики, привело позднее к понятию вычета и теории аналитичности (работы Коши), звукоизвлечение в струнных инструментах – к пониманию зависимостей как сумм гармоник (ряды Фурье, в том числе в виде мнимо-значных экспонент – формула  Эйлера), решение алгебраических уравнений высоких степеней – к схожести вычисления корней в конкретных случаях («группы» операций с коэффициентами – «теория Галуа», разработанная Лиувиллем), вращение твердого тела вокруг заданной точки внутри него – к теории гироскопа и поведения спутников небесных тел (углы Эйлера, а также переменные Эйлера вдоль линий тока – и к динамике полета) и так далее, и тому подобное, включая соображения о дополнительности пятого постулата Евклида к первым четырем (будущие геометрия Лобачевского и эллиптическая геометрия Римана); всё перечислять нет смысла: заметки – не о Леонарде Эйлере.) И как спился и потом «плохо кончил» аспирант Объединенного института ядерных исследований в Дубне, добавивший кваркам цвета и аромата – квантовых чисел, решивших проблему сосуществования одинаковых в остальном фермионов в одном адроне (открытие, при авторстве которого с тех пор указывается Большой Боголюбов и его подчиненные), – «но имя его я вам не назову – замешаны слишком большие люди». (Таких краж в естествознании и технике XX века – море: можно, например, упомянуть частную (создатель которой, включая знаменитую формулу E=mc2, – Анри Пуанкаре) и общую (которую сделал Давид Гильберт сотоварищи) теории относительности; да и в предыдущих веках – закон,  например, всемирного тяготения, установленный на самом деле Робертом Гуком – человеком, который знаком каждому с ранних лет: когда мы растягиваем пружину, чувствуем (некоторое время), что тянуть тем труднее, чем длиннее мы её уже растянули, независимо от металла пружины (от него зависит лишь, насколько вообще трудно тянуть), – это явление, возможно, потому и осталось «законом Гука», что показалось современникам малозначимым и самоочевидным; кстати, упомянутый гармонический осциллятор «вырос» из закона Гука, а «умозрителен» он потому, что справедливо это наблюдение на некоторую – не всю – длину растяжки.)


«Знаете, Паша (а знакомство наше как шефа и подопечного началось с его «Можно вас так называть?»), единственно важное в жизни – зарабатывать деньги. Всё остальное – хобби», – однажды, будто подытоживая опыт – житейский и раб;тный, сказал он в разговоре, как ни странно, не о применении математики или физики в и на практике – речь, среди прочего, шла о необразованности в быту: продавец линолеума измерял площадь куска его диной. «Представляете, говорю – ну, сделай мне десять «квадратов». Малый подумал-подумал, и отрезал мне десять метров, а ширина полосы была меньше метра!» Строгий интеллигент снова стал живым человек с «обычной» лексикой и фразеологией.


ААА – это суть везде и во всем (это вообще свойственно рассеянным людям). «Решение уравнения в частных производных первого порядка с аналитическими коэффициентами аналитично», – объяснение теоремы Коши-Ковалевской (да-да – нашей, Софьи Васильевны; приверженец необходимости верховного начала в управлении страной роялист Огюстен-Луи Коши первым отметил это почти очевидный факт – а с высшими производными не всё так, как с первой – после того, как «изобрел» аналитические функции и дал им это имя) куда уж как понятное. Открываешь учебник – а там бред какой-то, из которого только ясно, что кто писал – сам не понимал излагаемое.


Раздача учёных степеней «своим людям» – практика последних почти тридцати лет – что-то, с чем ААА сталкивался и не раз. Однажды, например, некто нашел резонансы в системе, динамический аналог которой не имел совпадающих или хотя бы близких частот. Диссертация про степень доктора физико-математических наук с этой находкой попала на отзыв к ААА, который выдал, естественно, отрицательное заключение, в результате чего работа была… успешно защищена, а степень д.ф.-м.н. – присвоена: человек был «от Осипова» (Юрия Сергеевича, математика, Президента РАН).


«Не спорьте с профессионалом – проспорите». (Это, кстати, критерий профессионализма: перестал проигрывать профессионалам – сам стал одним из них.) «Я, например, в юности занимался боксом – ну и что толку стоять в паре с мастером спорта? Он просто набьёт тебе морду.» (Так вот откуда этот фирменный «крен вправо»! Прижитая стойка правши для блоков левой и мощного прямого рукой наготове в нужный момент!)


ААА – тот, от кого черпаешь и кто позволяет черпать из и от себя. Тем, в частности, что ставимые задачи необычны, нестандартны, и просто – неожиданны. Такой, с которого тянет «снять копию», если нет своего «оригинала», и что – если те же мысли подумал или выводы сделал сам – испытываешь настоящий подъём либо кайф (кто что). Их мало. И это хорошо. А хорошего – понемногу. Круг замкнулся.


«Надо бы понять, как поведут себя те люди, но это – увы! – невозможно», – услышал я, и в голове само возникло уравнение Больцмана...