Карнап. 2. Подготовка. Черновик

The Logical Syntax of Language. By Rudolf Carnap. (International Library of Psychology, Philosophy, and Scientific Method.) Translated from the German by  Amethe Smeaton (Countess von Zeppelin). New York, Harcourt, Brace, 1937.  16 +352 pp.  The logical syntax of a symbolic language is a study of the formal properties of  sentences of that language. It includes the formation rules which determine how the  symbols of the language can be combined to form sentences, the transformation rules  which specify when one sentence of the language can be deduced from other sentences,  and the other properties of and relations between sentences which can be defined on  the basis of these rules. Syntax is a combinatory analysis of expressions, that is, of  finite ordered series of symbols. Hence syntax never refers to the meaning of these  symbols. Hilbert showed that a clear, formal presentation of the foundations of  mathematics must use a metamathematics which is really a syntax of mathematics.  The notions of syntax are of central importance for the current growth of mathematical logic.  The present book systematically develops the concepts of syntax, first for two  specific Languages I and II, then for an arbitrary language. The specific Language I  is a definite ("constructivist" or "finitist") language. It contains the usual calculus  of propositions (not, and, implies, • • • ) and a Peano arithmetic, with a symbol for 0  and for successor, and with the customary axioms. Variables representing numbers  are included, but the quantifiers like "there exists an x  n   occur only in a limited form,  such as "( 3x)3(P(x))," meaning "there exists an x with x^S such that P(x)," and  "(Kx)5(Q(x))," denoting the smallest x^5 with the property Q.  Language II is a much richer language, and contains everything usually included  in a symbolic logic: all of Language I, plus variables for sentences (that is, propositions), variables for predicates, and variables for functors. Such "functors" are functions with any number of arguments of any type. Quantifiers "there exists an x" and  "for all x" a,re used with all these variables. The predicates, which serve also as classes,  are classified by the usual (unbranched) type theory, so that a class of numbers is of  lower type than a class of classes of numbers. The language so obtained is of interest  because it strives for a maximum of flexibility and not, as is often the case, for a minimum of primitive ideas.  Such symbolic languages are ordinarily restricted to symbols defined by means of  the primitive symbols of logic and mathematics. Here, in order to make clearer the  nature of language and to prepare for a subsequent discussion of the language of  science, Carnap allows Languages I and II to contain not only predicates defined in  logical terms, but also descriptive predicates and functors. One such descriptive symbol  is the temperature functor "te," which is to be used so that "fe(3)=5" means "the  temperature at the position 3 is 5." Carnap contends that all sentences of physics can  be similarly rendered by a "coordinate" language in which the basic symbols are  numbers and not names. The general contention seems to neglect the necessity of  specifying by name the coordinate system and the scale of measurement to be used.  The syntax of Languages I and II includes the definitions of such important terms  as "directly derivable," "demonstrable," and "refutable." In Language I, the specifications under which one sentence is directly derivable from other sentences include  the usual rule, that M2 " and   ttA% implies A3" give "As", in the following form: If the

Логический синтаксис языка. Рудольф Карнап. (Международная библиотека психологии, философии и научного метода.) Перевод с немецкого Амета Смитона (графиня фон Цеппелин). New York, Harcourt, Brace, 1937. 16 +352 pp. Логический синтаксис символического языка - это изучение формальных свойств предложений этого языка. Он включает в себя правила формирования, которые определяют, как символы языка могут комбинироваться для формирования предложений, правила преобразования, которые определяют, когда одно предложение языка может быть выведено из других предложений, а также другие свойства и отношения между предложениями, которые могут быть определяется на основании этих правил. Синтаксис - это комбинаторный анализ выражений, то есть конечного упорядоченного ряда символов. Следовательно, синтаксис никогда не относится к значению этих символов. Гильберт показал, что для ясного, формального представления основ математики необходимо использовать метаматематику, которая действительно является синтаксисом математики. Понятия синтаксиса имеют центральное значение для современного роста математической логики. В настоящей книге систематически развиваются концепции синтаксиса, сначала для двух конкретных языков I и II, а затем для произвольного языка. Определенный язык I - это определенный («конструктивистский» или «финитистский») язык. Он содержит обычное исчисление высказываний (не, а, значит, • • •) и арифметику Пеано, с символом 0 и для преемника, и с обычными аксиомами. Переменные, представляющие числа, включены, но квантификаторы, такие как «существует xn, встречаются только в ограниченной форме, такой как» (3x) 3 (P (x)), «означая», что существует x с x ^ S, такой что P (x), «и» (Kx) 5 (Q (x)) », обозначая наименьшее x ^ 5 со свойством Q. Язык II является гораздо более богатым языком и содержит все, что обычно входит в символическую логику: все Язык I, плюс переменные для предложений (то есть предложений), переменные для предикатов и переменные для функторов. Такие "функторы" - это функции с любым числом аргументов любого типа. Квантификаторы "существует x и" для всех x «а, используются со всеми этими переменными. Предикаты, которые также служат классами, классифицируются по обычной (неразветвленной) теории типов, так что класс чисел имеет более низкий тип, чем класс классов чисел. Язык полученное таким образом представляет интерес, поскольку оно стремится к максимальной гибкости, а не, как это часто бывает, к минимуму примитивных идей. Мболические языки обычно ограничиваются символами, определяемыми примитивными символами логики и математики. Здесь, чтобы прояснить природу языка и подготовиться к последующему обсуждению языка науки, Carnap позволяет Языкам I и II содержать не только предикаты, определенные в логических терминах, но также и описательные предикаты и функторы. Одним из таких описательных символов является температурный функтор «te», который следует использовать так, чтобы «fe (3) = 5» означало «температура в положении 3 равна 5». Карнап утверждает, что все предложения физики могут быть одинаково воспроизведены "координатным" языком, в котором основными символами являются числа, а не имена. Общее утверждение, по-видимому, пренебрегает необходимостью указания по имени системы координат и используемой шкалы измерений. Синтаксис языков I и II включает определения таких важных терминов, как «непосредственно выводимые», «доказуемые» и «опровержимые». На языке I спецификации, согласно которым одно предложение напрямую выводится из других предложений, включают в себя обычное правило, согласно которому M2 "и ttA% подразумевают A3" дать "как" в следующей форме: Если

sentence Si consists of a partial sentence S2 followed by an implication symbol followed by a partial sentence S3, then S3 is directly derivable from Si and S2. A derivation is a finite series of sentences, such that every sentence of the series is either one  of the primitive sentences, or a definition-sentence, or is directiy derivable from sentences which precede it in the series. A sentence S is demonstrable if there is a derivation in which S is the final sentence. A sentence S is refutable if each free variablesymbol in S can be replaced throughout S by a constant number-symbol in such a  way tha t the negate of the resulting sentence is demonstrable. These definitions of  syntactical terms may indicate how syntax has to do only with the order and arrangement of symbols into expressions, sentences, and groups of sentences.  These syntactical terms all have to do with an enumerable set of objects, the expressions of the language. If a fixed correlation of these expressions to the natural  numbers is chosen, then each syntactical property of expressions becomes a property  of the corresponding natural numbers, and can usually be defined by a recursive  definition. But natural numbers and recursive definitions can be formulated within  the symbolism of Language I (or II). Hence the syntax of either language can be  arithmetically formulated within that language. This arithmetized syntax, due to  G;del, makes possible the construction of an arithmetic sentence which, syntactically  interpreted, asserts its own indemonstrability. If the language is consistent,* this  sentence can be neither demonstrable nor refutable. This discussion in English of  G;del's theorem and its striking consequences should prove valuable to many readers.  Logical positivists formerly distinguished between logic (including mathematics)  and empirical science, on the ground that the sentences of logic are always resoluble  (either demonstrable or refutable), while sentences of science need not be resoluble  (on the basis of logical rules). G;del's construction of a mathematical sentence which  is neither demonstrable nor refutable made this distinction untenable. Apparently  in order to reintroduce the distinction, Carnap defines a class of analytic sentences,  wider than the class of demonstrable sentences. A class of contradictory sentences is  also defined, the fundamental result being the theorem that every sentence built  up out of logical symbols only is either analytic or contradictory. The definition of  "analytic" in Language II is involved, since it includes an (apparently extraneous)  reduction process due to the Hilbert school. The more essential features can be illustrated by the (demonstrable) sentence  (F) (Sx) (F(0)v~F(x)).  By the definition, "this sentence is analytic" can be shown to mean f "for every class  B of number symbols there is at least one number symbol such that either this number symbol does not belong to B, or else the symbol 0 belongs to B." The latter  sentence seems to be practically a translation of the given sentence into the auxiliary  language which is being used for syntax. Similar results hold for other sentences.  Thus, to prove that the principle of mathematical induction in Language II is analytic,  Carnap must assume the same principle in the syntax language. The statement that  a certain sentence is analytic amounts essentially to a careful statement, in the syn-  * G;del's proof requires also that the language be "co-consistent." Carnap's discussion slurs over this point. J. B. Rosser has since shown how the assumption of  co-consistency can be avoided, Extensions of some theorems of G;del and Church, Journal of Symbolic Logic, vol. 1, p. 87.  t The definition itself does not use the "either • • • or" in the syntax language,  but instead the usual truth value table.

предложение Si состоит из частичного предложения S2, за которым следует символ импликации, за которым следует частичное предложение S3, тогда S3 непосредственно выводится из Si и S2. Деривация - это конечный ряд предложений, такой, что каждое предложение ряда является либо одним из примитивных предложений, либо определением-предложением, либо может быть непосредственно получено из предложений, которые предшествуют ему в ряду. Предложение S доказуемо, если есть вывод, в котором S является последним предложением. Предложение S может быть опровергнуто, если каждая свободная переменная-символ в S может быть заменена во всем S постоянным символом числа таким образом, что отрицание полученного предложения является очевидным. Эти определения синтаксических терминов могут указывать, как синтаксис связан только с порядком и расположением символов в выражениях, предложениях и группах предложений. Все эти синтаксические термины имеют отношение к перечисляемому набору объектов, выражений языка. Если выбрана фиксированная корреляция этих выражений с натуральными числами, то каждое синтаксическое свойство выражений становится свойством соответствующих натуральных чисел и обычно может быть определено рекурсивным определением. Но натуральные числа и рекурсивные определения могут быть сформулированы в символике языка I (или II). Следовательно, синтаксис любого языка может быть арифметически сформулирован в этом языке. Этот арифметизированный синтаксис, благодаря Гёделю, делает возможным построение арифметического предложения, которое, синтаксически интерпретируемое, утверждает свою собственную неискажаемость. Если язык соответствует, * это предложение не может быть ни доказуемым, ни опровергаемым. Это обсуждение на английском языке теоремы Геделя и ее поразительных последствий должно оказаться полезным для многих читателей. Логические позитивисты ранее различали логику (включая математику) и эмпирическую науку на том основании, что предложения логики всегда разрешимы (либо доказуемы, либо опровергаемы), в то время как предложения науки не должны быть разрешимыми (на основе логических правил). Построение Геделем математического предложения, которое не является ни доказуемым, ни опровергаемым, сделало это различие несостоятельным. Очевидно, чтобы вновь ввести это различие, Карнап определяет класс аналитических предложений, более широкий, чем класс очевидных предложений. Также определен класс противоречивых предложений, основной результат которого заключается в теореме о том, что каждое предложение, построенное только из логических символов, является либо аналитическим, либо противоречивым. В «Языке II» используется определение «аналитический», поскольку оно включает (очевидно, посторонний) процесс сокращения, обусловленный школой Гильберта. Более существенные особенности могут быть проиллюстрированы (доказуемым) предложением (F) (Sx) (F (0) v ~ F (x)). По определению «это предложение является аналитическим» может означать «f» для каждого класса B числовых символов, по крайней мере, один числовой символ такой, что либо этот числовой символ не принадлежит B, либо символ 0 принадлежит B.» Последнее предложение представляется практически переводом данного предложения на вспомогательный язык, который используется для синтаксиса. Подобные результаты верны и для других предложений. Таким образом, чтобы доказать, что принцип математической индукции в языке II является аналитическим, Карнап должен принять тот же принцип в языке синтаксиса. Утверждение о том, что определенное предложение является аналитическим, по существу сводится к тщательному утверждению, в доказательстве син-Геделя также требуется, чтобы язык был «согласованным». Дискуссия Карнапа омрачает этот момент. Дж. Б. Россер с тех пор показал, как можно избежать предположения о согласованности, Расширения некоторых теорем Геделя и Черча, Journal of Symbolic Logic, vol. 1, стр. 87. t Само определение не использует «или • • • или» в синтаксическом языке, но вместо обычной таблицы значений истинности.


tax language, of the usual "meaning" of the sentence. Furthermore, the definition  of "analytic in language Sn   would seem to require a syntax language at least as strong  as the language 5 being studied. The utility of this notion of "analytic" thus might be  open to doubt, especially as Carnap has adduced no positive evidence of the impossibility of a construction according to G;del of a sentence asserting its own non-analyticity.  Carnap next turns to the difficult and far reaching subject of general syntax. This  is a syntactical investigation of any symbolic language whatever. The methods used  are essentially those of abstract mathematics. Of the language it is assumed only that  there are rules of formation and rules of direct consequence. The latter rules specify  when a sentence S is a direct consequence of a class K of sentences. In the special  case when the class K is finite, we have a rule of inference of the usual sort. On this  narrow basis Carnap succeeds in defining many different general syntactical terms  applying to the language: variable, constant, universal operator, arithmetic in a  language, predicate, functor, translation into another language, the level of a symbol  (as in the theory of types), and the like.  Variables, it has long been recognized, are not variable things of some mysterious  sort; they are rather symbols for which, under certain circumstances, various other  symbols, called "constants," may be substituted. Carnap gives a detailed analysis of  this situation, defining such terms as "variable expression," "open expression," "variable," and "constant" in any language.* Here an expression is "open" if it contains at  least one free variable. Following the definition of variable expression in Language I,  we note that if the symbol "0" in the sentence "0 = 0" be replaced throughout by any  other symbol for a constant number, the result is still a demonstrable sentence. According to the definition given, this fact apparently makes the symbol "0" a variable  expression.f Furthermore, the sentence "0=0 " turns out to be an open sentence, contrary to Carnap's previous usage in Language I.  To determine, by the definition, whether a symbol is a variable, one must know  all the other variables of the language. This is because one cannot substitute an expression for a variable if the expression contains some other variable which would become bound (governed by a quantifier) after the substitution. This would indicate  that Carnap's definition does not define the phrase, "this symbol is a variable in the  given language." It defines rather "this class of symbols can be considered as a class  of variables." There might well be many such classes of variables in a language, and  in this event the term "variable" and other terms defined from it would have no  fixed meaning.  Another fundamental concept of general syntax is that of the "logical" sentences  of a language 5. In Language I and II Carnap classes the usual primitive symbols of  logic and mathematics, plus all symbols defined exclusively in terms of these primitive  symbols, as logical symbols. In general syntax this classification by enumeration is  to be replaced by a criterion based on the theorem that every logical sentence is determinate, that is, is either analytic or contradictory. The following definition is offered.  "Let Ki be the product of all expressional classes Ki of S, which fulfill the following  four conditions. (1) If Ai belongs to Ki, then Ai is not empty and there exists a sentence  which can be subdivided into partial expressions in such a way that all belong to Ki  and one of them is Ai. (2) Every sentence which can be thus subdivided into expres-  * The definitions cannot be significant for every language, for H. B. Curry has  developed a language, "combinatory logic," which contains no ordinary variables,  f The contrary assertion is made without proof on p. 195.

Налоговый язык, обычного «значения» предложения. Кроме того, определение «аналитический в языке Sn», по-видимому, требует синтаксического языка, по меньшей мере, такого же сильного, как и язык 5, который изучается. Полезность этого понятия «аналитический», таким образом, может быть подвергнута сомнению, тем более что Карнап не привел положительное доказательство невозможности построения согласно Геделю предложения, утверждающего свою неаналитичность. Затем Карнап обращается к сложному и далеко идущему предмету общего синтаксиса. Это синтаксическое исследование любого символического языка, независимо от того, какие методы используются. в основном те, которые относятся к абстрактной математике. Из языка предполагается, что существуют только правила формирования и правила прямого следствия. Последние определяют, когда предложение S является прямым следствием предложения класса К. В особом случае, когда предложение класс K конечен, у нас есть правило вывода обычного вида. На этом узком основании Карнапу удается определить много различных общих синтаксических терминов, применимых к язык: переменная, константа, универсальный оператор, арифметика в языке, предикат, функтор, перевод на другой язык, уровень символа (как в теории типов) и тому подобное. Давно признано, что переменные не являются чем-то загадочным; это скорее символы, которые при определенных обстоятельствах могут заменять различные другие символы, называемые «константами». Карнап дает подробный анализ этой ситуации, определяя такие термины, как «выражение переменной», «открытое выражение», «переменная» и «константа» на любом языке. * Здесь выражение является «открытым», если оно содержит хотя бы одно свободное переменная. Следуя определению выражения переменной в языке I, отметим, что если символ «0» в предложении «0 = 0» заменить во всем другом символе на постоянное число, то результат все еще является очевидным предложением. Согласно приведенному определению, этот факт, очевидно, делает символ «0» переменным выражением. Кроме того, предложение «0 = 0» оказывается открытым предложением, что противоречит предыдущему использованию Карнапа в языке I. Чтобы определить, является ли символ переменной, нужно знать все остальные переменные языка. Это потому, что нельзя заменить выражение на переменную, если выражение содержит некоторую другую переменную, которая станет связанной (управляемой квантификатором) после замены. Это указывает на то, что определение Карнапа не определяет фразу «этот символ является переменной в данном языке». Он скорее определяет «этот класс символов можно рассматривать как класс переменных». В языке может быть много таких классов переменных, и в этом случае термин «переменная» и другие определяемые из него термины не будут иметь фиксированного значения. Другая фундаментальная концепция общего синтаксиса - это «логические» предложения языка 5. В классах языка I и II Карнапа обычные примитивные символы логики и математики, а также все символы, определенные исключительно в терминах этих примитивных символов, как логические символы , В общем синтаксисе эта классификация по перечислению должна быть заменена критерием, основанным на теореме, что каждое логическое предложение является детерминированным, то есть аналитическим или противоречивым. Предлагается следующее определение. «Пусть Ki - произведение всех экспрессивных классов Ki в S, которые удовлетворяют следующим четырем условиям. (1) Если Ai принадлежит Ki, ;;то Ai не является пустым и существует предложение, которое можно подразделить на частичные выражения в таком все они принадлежат Ki, ;;и одним из них является Ai. (2) Каждое предложение, которое может быть таким образом подразделено на expres- * Определения не могут быть значимыми для каждого языка, поскольку HB Curry разработал язык "комбинаторной логики", который не содержит обычных переменных, f Противоположное утверждение сделано без доказательства на стр. 195.

sions of Ki is determinate. (3) The expressions of Ki are as small as possible, that is to  say, no expression belongs to Ki which can be subdivided into several expressions of  Ki. (4) Ki is as comprehensive as possible, that is to say, it is not a proper sub-class of  a class which fulfills both (1) and (2). An expression is called logical if it is capable of  being subdivided into expressions of Ki ; otherwise it is called descriptive. "  The reviewer fails to understand the r;le of condition (4). For suppose that a class  Ki contains some expression A\ which is not a sentence. By the first condition, A\ is  then contained in a sentence S\. According to condition (4), S\ must be added to  the class Ki, although by condition (3), Si cannot be added to Ki. This conflict  between conditions (3) and (4) could be avoided by requiring in (4) that Ki is not a  proper subclass of a class satisfying (1), (2), and (3) (not merely (1) and (2)). The so  modified definition still would not seem to agree with previous usage. For in Language  I let Ki be the class of all logical symbols in the usual sense, while Kz is the class consisting of all expressions of the form "( 3x) " and all logical symbols, except the existence-operator "3. " These classes satisfy conditions (1) to (3). If necessary, they can  be extended to larger classes K2' and Kz', respectively, which also satisfy (4). Then  Kz' cannot contain the symbol "3, " while K2' cannot contain the symbol "( 3#), "  so that Kit   which is part of the intersection of K2' and Kz', can contain neither " 3 "  nor "( Sx)." It follows that sentences containing " 3" , and logical in the usual sense  could not be logical according to this general definition.  This difficulty arises because condition (3) fails to have its intended effect upon the  compound expression "( 3x). " The definition of "logical" might be naturally modified  as follows: Consider those classes Ki which satisfy (1) and (2) and are maximal with  respect to these conditions. For each class Ki denote by Li the class of those expressions of Ki which cannot be subdivided into several expressions of Ki, and let K\ be  the intersection of all Li. This avoids the previous difficulty, only to meet another.  For in Language I, consider a descriptive functor ; (in ordinary usage, ; is an empirically defined function y=f(x), where y and x represent integers). Let the class Ki  contain the expressions "/(O)," " = ," and "^, " and all sentences constructed from  these expressions. The only such sentences are  /(0) = /(O), ~ [/(O) = /(O)], [/(O) = /(O)], • • -,  As   tt  ~  n   is the symbol for negation, all these sentences are either demonstrable or  refutable, and hence are determinate. Thus Ki satisfies (1) and (2), and so can be  embedded in a maximal class satisfying (1) and (2). No numeral, such as 3, can be  contained in this class, for "/(O) =3 " is not a determinate sentence. Hence numerals  are not logical symbols under the modified definition, contrary to the usage in Language I. Could the definition of "logical" symbols be further modified to avoid such  difficulties?  Such technical points might raise doubts as to the philosophical thesis Carnap  wishes to establish here: that in any language whatsoever one can find a uniquely  defined "logical" part of the language, and that "logic" and "science" can be clearly  distinguished.  Many of the other ingeniously defined concepts of Carnap's general syntax are  free from objection. However, the points discussed above show how difficult is the  task of defining so many relatively specific concepts in an absolutely arbitrary language. The notion of "any language" may be just as treacherous as was the notion  of "any curve" before the critique of analysis situs. Might it not be possible to develop the concepts of general syntax in a more postulational manner? Thus, one might  postulate that in the language there are certain symbols, designated as "logical" (or

Ки является определенным. (3) Выражения Ki настолько малы, насколько это возможно, то есть ни одно выражение не принадлежит Ki, ;;которое можно подразделить на несколько выражений Ki. (4) Ki настолько всеобъемлющий, насколько это возможно, то есть он не является надлежащим подклассом класса, который удовлетворяет как (1), так и (2). Выражение называется логическим, если оно может быть подразделено на выражения Ki; в противном случае это называется описательным. «Рецензент не понимает роль условия (4). Предположим, что класс Ki содержит некоторое выражение A \, которое не является предложением. По первому условию A \ содержится в предложении S \. Согласно условию (4), S \ должен быть добавлен к классу Ki, хотя по условию (3) Si не может быть добавлен к Ki. Этого противоречия между условиями (3) и (4) можно избежать, потребовав в (4), чтобы Ki не является надлежащим подклассом класса, удовлетворяющего (1), (2) и (3) (а не просто (1) и (2)). Таким образом, измененное определение все равно не согласуется с предыдущим использованием. Ведь в языке Я позволил Ki быть классом всех логических символов в обычном смысле, а Kz - классом, состоящим из всех выражений вида "(3x)" и всех логических символов, кроме оператора существования "3. «Эти классы удовлетворяют условиям (1) - (3). При необходимости их можно распространить на более крупные классы K2 'и Kz' соответственно, которые также удовлетворяют (4). Тогда Kz 'не может содержать символ« 3 », в то время как K2 'не может содержать символ "(3 #)", так что Kit, являющийся частью пересечения K2' и Kz ', не может содержать ни "3", ни "(Sx)". Из этого следует, что предложения, содержащие "3" и логическое в обычном смысле не может быть логичным в соответствии с этим общим определением. Эта трудность возникает из-за того, что условие (3) не оказывает ожидаемого воздействия на составное выражение "(3x). «Определение« логического »может быть естественно изменено следующим образом: рассмотрим те классы Ki, которые удовлетворяют (1) и (2) и являются максимальными по отношению к этим условиям. Для каждого класса Ki обозначим через Li класс этих выражений Ki который не может быть разделен на несколько выражений Ki, и пусть K \ является пересечением всех Li. Это позволяет избежать предыдущей трудности, только встретить другую. Для языка I рассмотрим описательный функтор ; (в обычном использовании ; - это эмпирически определенная функция y = f (x), где y и x представляют целые числа.) Пусть класс Ki содержит выражения "/ (O)," "=," и "^" и все предложения, построенные из этих выражений. только такие предложения / (0) = / (O), ~ [/ (O) = / (O)], [/ (O) = / (O)], • • -, поскольку tt ~ n является символом для отрицания все эти предложения являются либо доказуемыми, либо опровержимыми и, следовательно, являются детерминированными. Таким образом, Ki удовлетворяет (1) и (2) и поэтому может быть встроено в максимальный класс, удовлетворяющий (1) и (2). No num В этом классе может содержаться, например, 3, поскольку "/ (O) = 3" не является определенным предложением. Следовательно, цифры в соответствии с измененным определением не являются логическими символами, в отличие от использования в языке I. Может ли определение «логических» символов быть дополнительно изменено, чтобы избежать таких трудностей? Такие технические моменты могут вызвать сомнения относительно философского тезиса, который Карнап хотел бы установить здесь: что на любом языке можно найти уникально определенную «логическую» часть языка, и что «логика» и «наука» могут быть четко различены. Многие другие гениально определенные концепции общего синтаксиса Карнапа свободны от возражений. Тем не менее, рассмотренные выше вопросы показывают, насколько трудной является задача определения такого количества относительно специфических понятий на абсолютно произвольном языке. Понятие «любой язык» может быть столь же коварным, как и понятие «любой кривой» до критики анализа анализа. Может ли быть невозможно развить концепции общего синтаксиса более постулирующим образом? Таким образом, можно постулировать, что в языке существуют определенные символы, обозначенные как «логические» (или

as "variables"), satisfying certain conditions analogous to those used in the definitions  discussed above. Such an approach would recognize the obvious fact that such general  syntax, though formulated for any language, is relevant chiefly for languages of the  same general type as the Whitehead-Russell calculus, and it would make possible  rigorous proofs that the terms defined do in fact agree with corresponding terms as  applied to special languages. If such a postulational approach were possible, it would  follow the general lines indicated by Carnap's far-reaching and pioneering investigations.  Many confusions and misunderstandings in logic, mathematics, and philosophy  can be cleared up, as Carnap shows, by an understanding of the nature and possibilities of syntax. The notion of strict implication, as used in the Lewis logic of modalities,  yields one such instance. Usually "strict implication" must be defined in terms of  "necessity," so that the postulates must be chosen as the natural properties, if any,  of this abstruse and perhaps fuzzy notion. But   UA strictly implies Bn   can be translated into the clean-cut syntactical statement, "The sentence '# ' is a logical consequence of the sentence 'A,1   according to the rules of such and such a language."  With this reformulation we can now unambiguously determine the properties of  strict implication. We also recognize that these properties depend on the language  concerned. In the same fashion, any special "logic of modalities" could be replaced  by a syntactical translation. Carnap does not assert that it must be so replaced; he  follows here and elsewhere a principle of tolerance in syntax: "It is not our business  to set up prohibitions, but to arrive at conventions."  Throughout the book, Carnap makes a meticulous and clear-cut distinction between symbols and designations of symbols. The sentences "co is an ordinal type" and  "co is a letter of the alphabet" appear to have the same subject. Actually, the first  sentence is about the object denoted by "co," the second about the symbol "co,"  which is thus to be written in quotations. In this case the distinction is not essential,  but in studying syntax it is requisite, for the sentences of syntax are precisely those  which speak about symbols. For instance, to say that a sequence is calculable is to  make a syntactical assertion about the sequence. Hence it must always be calculable  with reference to a certain language.  In philosophical discussion it is important to recognize pseudo-syntactical sentences which do not appear to belong to syntax, but which can be translated into  syntax. Carnap, in the last section of this book, shows how many fake problems and  misunderstandings can be cleared up by such an analysis of sentences. For instance,  "time is continuous" can be translated as "the real number expressions are used as  time coordinates." "The world is a totality of facts, not of things" becomes "Science  is a system of sentences, not of names." Some of his philosophical distinctions, such  as that (p. 289) between the meaning of an expression and the object designated by  an expression, are essentially dependent on the definition of "logical" sentences analyzed above. Such philosophical distinctions may therefore be untenable. The book  ends with an eloquent discussion of two related theses: Any philosophy is either meaningless or is simply the logic of science; the logic of science is the syntax of the language of science.  The book contains many other illuminating discussions of various aspects of symbolic logic. In particular, we find an extraordinarily general statement of G;del's  theorem for an arbitrary language (unfortunately no proof and no reference to any  printed proof is given); a discussion of various famous antinomies, syntactical and  otherwise; a discussion of a paradox in certain axiomatic set-theories, according to  which all sets are —syntactically denumerable, but not denumerable  176 SAUNDERS


как «переменные»), удовлетворяющие определенным условиям, аналогичным тем, которые используются в определениях, обсужденных выше. Такой подход признал бы очевидный факт, что такой общий синтаксис, хотя и сформулированный для любого языка, имеет отношение главным образом к языкам того же общего типа, что и исчисление Уайтхеда-Рассела, и это сделало бы возможным строгие доказательства того, что определенные термины действительно делают согласиться с соответствующими условиями применительно к специальным языкам. Если бы такой постулатический подход был возможен, он следовал бы общим линиям, указанным в далеко идущих и новаторских исследованиях Карнапа. Как показывает Карнап, многие путаницы и недоразумения в логике, математике и философии могут быть устранены путем понимания природы и возможностей синтаксиса. Понятие строгой импликации, используемое в льюисовой логике модальностей, дает один такой случай. Обычно «строгая импликация» должна определяться в терминах «необходимости», чтобы постулаты выбирались как естественные свойства, если таковые имеются, этого заумного и, возможно, нечеткого понятия. Но UA строго подразумевает, что Bn можно перевести в четкое синтаксическое утверждение: «Предложение« # »является логическим следствием предложения« A, 1 согласно правилам такого и такого языка ». С помощью этой переформулировки мы теперь можем однозначно определить свойства строгой импликации. Мы также признаем, что эти свойства зависят от соответствующего языка. Таким же образом любая особая «логика модальностей» может быть заменена синтаксическим переводом. Карнап не утверждает, что он должен быть заменен; здесь и в других местах он придерживается принципа толерантности в синтаксисе: «Задача не в том, чтобы устанавливать запреты, а заключать соглашения». На протяжении всей книги Карнап проводит тщательное и четкое различие между символами и обозначениями символов. Предложения «co - порядковый тип» и «co - буква алфавита», похоже, имеют одну и ту же тему. На самом деле, первое предложение относится к объекту, обозначаемому «co», второе - к символу «co», который, таким образом, должен быть записан в кавычках. В этом случае различие не является существенным, но при изучении синтаксиса оно является необходимым, поскольку предложения синтаксиса являются именно теми, которые говорят о символах. Например, сказать, что последовательность вычислима, значит сделать синтаксическое утверждение о последовательности. Следовательно, он всегда должен быть рассчитан применительно к определенному языку. В философской дискуссии важно распознавать псевдосинтаксические предложения, которые, по-видимому, не относятся к синтаксису, но которые могут быть переведены в синтаксис. Карнап в последнем разделе этой книги показывает, сколько фальшивых проблем и недоразумений можно устранить с помощью такого анализа предложений. Например, «время непрерывно» можно перевести как «выражения действительных чисел используются как координаты времени». «Мир - это совокупность фактов, а не вещей», становится «Наука - это система предложений, а не имен». Некоторые из его философских различий, например (стр. 289) между значением выражения и объектом, обозначаемым выражением, по существу зависят от определения «логических» предложений, проанализированных выше. Поэтому такие философские различия могут быть несостоятельными. Книга заканчивается красноречивым обсуждением двух взаимосвязанных тезисов: любая философия либо бессмысленна, либо является просто логикой науки; логика науки - это синтаксис языка науки. Книга содержит много других интересных обсуждений различных аспектов символической логики. В частности, мы находим необычайно общее утверждение теоремы Гёделя для произвольного языка (к сожалению, никаких доказательств и ссылок на печатные доказательства не приводится); обсуждение различных известных антиномий, синтаксических и других; обсуждение парадокса в некоторых аксиоматических теориях множеств, согласно которым все множества являются синтаксически счетными, но не счетными 176 SAUNDERS

within the language of the set-theory itself. These three questions, and some of the  other topics, were not included in the German edition of the book. As a whole, the  book is a stimulating and fruitful discussion of syntax, a subject not yet in a definitive form but even now having a wide range of application in mathematics, science,  and philosophy.  The following minor corrections might be noted. On page 40, Theorem 14.3 cannot be directly proven by induction. One must rather prove by induction that every  logical sentence with n distinct free variables either is contradictory or is analytic  with not more than n uses of the non-finite rule DC 2. On page 104, RR 9, read "unlimited operators" for "unlimited sentential operators." On page 21 replace the definition of an open expression by "If a variable which is free at some position in A\  occurs in Ai at that position, then A\ is called open."


на языке самой теории множеств. Эти три вопроса и некоторые другие темы не были включены в немецкое издание книги. В целом, книга является стимулирующим и плодотворным обсуждением синтаксиса, предмета еще не в окончательной форме, но даже сейчас имеющего широкий спектр применения в математике, науке и философии. Следующие незначительные исправления могут быть отмечены. На странице 40 теорема 14.3 не может быть непосредственно доказана индукцией. Скорее, нужно по индукции доказать, что каждое логическое предложение с n различными свободными переменными либо противоречиво, либо аналитично с использованием не более чем n применений неконечного правила DC 2. На стр. 104, RR 9, читать «неограниченные операторы» для « неограниченные операторы предложения. " На стр. 21 замените определение открытого выражения следующим: «Если переменная, свободная в некоторой позиции в A \, встречается в Ai в этой позиции, то A \ называется открытой».