Математический идеализм

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИДЕАЛИЗМ

Борис Ихлов

Математическая бесконечность заимствована из действительности… и поэтому она может быть объяснена только из действительности, а не из самой себя, не из математической абстракции.
Фридрих Энгельс, «Диалектика природы»
Философский идеализм есть одностороннее, преувеличенное… развитие (раздувание, распухание) одной из черточек, сторон, граней познания в абсолют, оторванный от материи от природы, обожествленный»
Ленин, «Философские тетради»

Рассмотрим отношение философии и науки в духе П. П. Гайденко, но на частном примере.
Начнем с того, что законы физики неприменимы в истории, законы биологии – в химии.
С другой стороны, физические законы в области квантовой химии объясняют некоторые химические процессы, если используются экспериментальные данные, другие физические законы используются в биологии (биофизика, бионика). Но в целом высшие формы движения материи не сводимы к низшим.
Однако в последнее столетие обнаружили, что одни и те же дифференциальные уравнения (Белоусова – Жаботинского, Андронова) описывают и гидродинамические процессы, и химические реакции и даже биологические системы. Синергетика охватывает всю природу, теория катастроф способна прогнозировать ситуацию на  товарных и финансовых биржах.
Аналогично теория вероятности, возникшая в XVII – XVIII веках, описывает и физические, и химические, и биологические, и социальные процессы.
Таким образом, математика есть отражение всей природы, ее законов, общих необходимых связей.

Единственное, что не в состоянии описать математика – индивидуальность человека. По той причине, что физика, химия, биология имеют дело лишь с повторяемыми феноменами. В виду этого Аристотель не видел (в теории) существенной разницы между Каллием и Сократом [1]. Врач лечит не Каллия и не Сократа, он лечит то общее, что есть в их органах, борется не с конкретной болезнью, а с ее чем-то усредненным.
Число не содержится в субстанции. В то же время оно есть общее для различных субстанций, проявляется через них, не существует отдельно от них. Субстанции не тождественны друг другу, одинаковых два металлических  шара будто бы нельзя суммировать в виду их не тождественности, даже дин и тот же шар нельзя «сложить» с самим собой, т.к. один и тот же шар, в противоречие формально логической аксиоме Аристотеля в виду «внутреннего беспокойства» (Гегель) не тождественен сам себе. Математические абстрагирование отвлекается от несущественных различий, выделяя именно общее.
Аристотель, один из основоположников диалектики, не понимал еще диалектики единичного и общего, того что сущность не отдельна от вещей, потому считал, что единичное не может быть предметом познания.
Именно по этой причине основные общественные законы не могут быть описаны математически в принципе. Например, стоимость товара материальна (см. [2]), т.е. существует объективно, независимо от сознания индивида.  Однако стоимость не имманентна товару, как масса или заряд, она существует только в головах людей. Поэтому общественные законы проявлены лишь как тенденции, потенциальные возможности, которые могут и не реализоваться [3].
Например, существует тенденция централизации капитала, выраженная в глобализации, однако она наталкивается на противоположную центробежную тенденцию, выраженную в росте национализма. Другой пример – война бедного Юга с богатым Севером, предсказанная Лениным [4], выразилась не в столкновении армий, не столько в ряде малых войн за нефтяные и газовые ресурсы, не столько в виде противостояния Израиля и арабского мира и даже не в виде возведения стены между США и Мексикой, но в уродливой форме исламского фундаментализма.
В то же время типичность, тождественность «уникальностей» выражается не только в этнической, национальной, государственной формах или в формах, соответствующих манипуляциям массовым сознанием, но даже в одинаковых фрагментах стихотворений или музыкальных произведений, не являющихся цитированием. Если первое выражено в привязанной к существующему способу производства формулировке Маркса, что личность – это конкретная совокупность общественных отношений, второе является самостоятельным феноменом.

Различение идеалистического и материалистического в отношении математики не сводится к мировоззрению, главным образом, оно касается методологии мышления. Одним из обоснований материалистического метода в математике является история ее зарождения.
Числа, различные системы счисления были известны еще древним племенам. История цифр начинается 5 тыс. лет назад в Египте и Месопотамии, когда развиваются животноводство и земледелие.  Числа обозначали кучками камней, зарубками на палке, узлами на веревке. Произошло абстрагирование: число не содержится в предмете, в то же время отражает необходимую связь.
 Существовали записи цифр палочками, буквами (иероглифами), цифры майя, римские, индийские, с которыми Европа познакомилась благодаря арабам. Родоначальниками специальных обозначений чисел  считают шумеров, I - II тыс. до н.э. Индийская позиционная система исчисления позволила записывать числа, используя десять знаков. В персидскую эпоху, начавшуюся с правления Кира, появляется специальный символ для нуля, до этого времени самым маленьким числом была единица. В III в. до н.э. Архимед и Пифагор обосновали понятие бесконечности натурального числа, хотя и для Пифагора наименьшим была единица.

Пифагор был одним из первых, кто придал числу самостоятельное, отдельное от материи существование. Он создал целую философию числа, перевернул историю возникновения чисел. Пифагорейцы «признали математические начала за начала всего существующего», - отмечал Аристотель [5].
Пифагор считал, что «все вещи суть числа», числа – первичны, первооснова мира, потому что присутствуют и в живом, и в неживом, и в земном, и в морском, и в небесном. Стоит запомнить этот типичный ход мыслей, поскольку он дошел в неизменном виде до наших дней, что видно, например, из реферата студентки 1 курса факультета связей с общественностью и Рекламы о системе Пифагора:
«Число неизменно и присутствует в совершенно разных вещах, являясь единой основой. Поэтому число можно считать первоначалом мира… единице соответствует точка, двойке – две точки, но через две точки уже можно провести прямую, получается, что числу два соответствует прямая; тройке – три точки, но если их соединить, то получается уже плоскость; через четыре точки строится пространство, которое, соответствует четверке. Оно делится на четыре стихии: воду, землю, воздух и огонь, а затем каждая из них делится на разные предметы, взаимодействующий между собой. Это взаимодействие и приводит к бесконечному разнообразию вещей. Отсюда наглядно видна обратная цепочка, по которой все возвращается к единице: как понятно из выше написанного, многообразие сводится к четырем стихиям, четыре стихии сводятся к пространству, которое сводится к плоскости, не трудно догадаться, что плоскость сводиться к прямой, а она к точке, которая, и является единицей. Отсюда и получается, что весь естественный мир построен из чисел. Возникает соответствие между пространственным миром и числами: линия - “2”, плоскость - “3”, тело - “4”. К числу сводится и мир духа: любовь и дружба отождествляются с восьмеркой, справедливость - с кратными числами. Таким образом, весь мир представляет собой последовательное развертывание идеальной сущности – числа… » [6].

Таким образом, различные конкретные числа наделяют сверхъестественными, магическими свойствами по сей день: 5 – число счастливого брака, в иудаизме 7 – число удачи, достатка, 666 – число дьявола и т.п., сумма цифр даты рождения якобы определяет судьбу.
Закономерным следствием обозначенного типа мышления является следующий фрагмент из указанного реферата: «У положительного ядра атома есть внутри отрицательное ядро, как ядро в ядре, в виде дополнения до целого, до единицы, где полное дополнение будет с учетом еще и внешней компенсации… Числовая ось по сумме и по произведению всех членов равна единице, так как рождена как мир из единицы». То есть, речь идет уже не о науке, не о научных заблуждениях, а об анамнезе.
И, наконец: «Учение Пифагора о числе как о первоначале мира постепенно набирает все большие обороты и с каждым днем актуализируется, - убеждена автор реферата. - Пифагорейцы были на верном пути».

Причем философия Пифагора не была чем-то отвлеченным, некой игрой ума свободного художника. Его учение о гармонии имело четкую политическую цель – поставить демос в полное подчинение власти аристократии. Мировоззрение, мораль Пифагора – это мировоззрение и мораль аристократа. От каждого члена пифагорейского союза требовалось следование добродетели, а среди добродетелей – добродетель повиновения. В одном из своих «Золотых стихов» Пифагор пишет: «Прежде всего почитай и люби богов, героев, существ, средних между богами и героями, но не проси у них ничего в своих молитвах, ты сам не знаешь, что хорошо для тебя, это же известно лишь им».

Для Пифагора число 7 соединяет человека с божеством, поскольку 3 – это божество, а 4 – человек.
Учению Пифагора мы обязаны теоремой о связи суммы квадратов катетов с квадратом гипотенузы в прямоугольно треугольнике, теоремой о сумме углов треугольника, различением четных, нечетных и четно-нечетных чисел, изучением движения небесных тел. Но, как видим, значение школы Пифагора этим далеко не исчерпывается. Количественная абстракция была противопоставлена природе, возникла как система мистика чисел. Вместо движущейся, многообразной, развивающейся природы у пифагорейцев – пустые, лишенные движения абстракции. Согласно Пифагору тело для души является чем-то случайным [7].

Учение Пифагора, Архита, Евдокса, Филолая, как попытка идеалистически осмыслить количественную сторону природы, стало основой системы Платона.
Бертран Рассел пишет, что «математика в смысле доказательного индуктивного обоснования начинается именно с Пифагора. У Пифагора она оказалась тесно связанной с особой формой мистицизма. Влияние математики на философию, связанное отчасти с именем этого философа, было с тех пор как благодетельным, так и бедственным явлением. … Пифагор основал религию, основные положения которой состояли в учении о переселении душ и о греховности употребления в пищу бобов. Религия Пифагора нашла свое воплощение в особом религиозном ордене, который о тут, то там приобретал контроль а государством и устанавливал правление свих святых». Рассел указывает предписания ордена, в частности: «Не прикасайся к белому петуху. … Не ходи по большой дороге» и т.д. [8].
Именно Аристотель радикально перевернул пифагорейское соотношение математики и физики.

Не нужно думать, что «пифагорейский» тип мышления присущ только первокурсникам или работникам рекламных агентств. Физики ангажированы не менее журналистов, наряду с материалистическими трактовками в рамках различных изложений Копенгагенской концепции существует и субъективно-идеалистическая версия квантовой механики фон Неймана. В современной теории гравитации целое направление, представленное, например, Дж. Уиндемом, связано с попыткой положить в основу мира геометрические символы, динамику заменить геометродинамикой.

Аналогично мистическим смыслом наделяются физические характеристики движения: масса, энергия, энергия отделяется от носителя, в обиход входят не существующие в природе «энергетические частицы», «энергетические поля», «чистая энергия», равно как от носителя отделяется информация, возникают «информационное поле вселенной», на картонные или восковые носители записывают информацию о чем угодно, вплоть до состояния здорового организма.

Мировые константы

В число мировых констант, имеющих размерность, входят заряд электрона, постоянная Планка,
постоянная Больцмана, скорость света в вакууме, константы электрического (определяет значение вершины процесса испускания виртуального фотона) и гравитационного взаимодействий
В калибровочной теории параметр связи g имеет размерность (hc)1/2.
Константа сильного взаимодействия имеет ту же размерность. Наконец, константа слабого взаимодействия (постоянная Ферми) определяет значение вершины процесса распада мюона.
К мировым константам относят также космологическую постоянную и постоянную Хаббла, хотя последние меняются в ходе эволюции Вселенной. Нет никаких ограничений, чтобы считать и другие размерные мировые постоянные меняющимися со временем. Впервые эту гипотезу выдвинул Анри Пуанкаре в начале ХХ века.
Например, австралийские физики под руководством теоретика Пола Дэвиса из университета Маккваре в Сиднее предположили, что при прохождении миллиардов световых лет скорость света в вакууме снижается. Астрономические наблюдения  показали: чтобы свет от выбранного квазара достиг Земли, ему потребуется около 10 млрд. лет. При этом ключевая константа, характеризующая отношение световых фотонов и электронов на квазаре, изменилась, т.е. характеристики света, идущего от квазара до Земли, после 12 млрд. лет пути не соответствуют тем, что предсказывает СТО. Это расхождение можно объяснить либо изменением заряда электрона, либо изменением скорости света. Может оказаться, что 6-10 млрд. лет назад скорость света могла быть выше, чем сейчас.

Из размерных мировых констант можно получить такие соотношения, как, например, планковские радиус или планковское время.
К мировым константам, не имеющим размерности, относится    - число Архимеда, основание натурального логарифма e (число Эйлера или Непера), число Фидия (золотое сечение) и константы Фейгенбаума. Размерности не имеет и еще одна мировая константа, постоянная тонкой структуры, но она представима в виде соотношения других мировых постоянных, имеющих размерность.
Числа Фейгенбаума явно связаны с процессами, протекающими в природе. Это универсальные постоянные, характеризующие бесконечный каскад бифуркаций удвоения периода при переходе к детерминированному хаосу.
Первая постоянная d = 4,669…, характеризующая хаос, задаёт форму фракталов, связанных с хаосом.
Вторая константа Фейгенбаума a = 2,5029… определяется как предел отношения между шириной ветвей на диаграмме бифуркаций. Эта константа тоже возникает в описании многих динамических систем.
Число Непера выделяется из других оснований логарифмов тем, что (ex)’ = ex.
Первым обратил внимание на «гармоническое»« деление отрезков Пифагор. Через два тысячелетия, в 1509 г., итальянец Фра Лука Пачиоли опубликовал книгу «О божественной пропорции», в которой назвал такое деление «золотым сечением». Рисунки к этой книге сделал Леонардо да Винчи, друг Пачиоли.
Число Фидия соотносится с однородностью пространства, число Архимеда - с изотропией пространства в пространстве с неевклидовой геометрией они преформируются. Например, по теорема Гаусса-Бонне интеграл от гауссовой кривизны на компактном 2-мерном римановом многообразии равен   , где  - эйлерова характеристика многообразия. Как писал Энгельс, «единица, как бы она ни казалась тожественной самой себе, заключает в себе бесконечное многообразие» [9].

Теория чисел занята различными числовыми последовательностями, например, числами Фибоначчи, фигурными числами, простыми числами Ферма или Мерсенна и т.д. Эксперименты С. Э. Шноля с радиоактивными ядрами показали, что есть любопытные математические законы и для четных, четно-нечетных и четно-четных чисел.
Расширением поля вещественных чисел являются комплексные, гиперкомплексные числа (кватернионы, числа Кэли или октавы), векторные пространства.
Широкие возможности для введения дополнительных мировых безразмерных констант открывает р-адическая теория (расширение поля рациональных чисел Q с отказом от аксиомы Архимеда), используемая в квантовой механике, а также фрактальная геометрия,  с дробными размерностями и соответствующими дифференцированием и интегрированием. Дробные размерности находят свое выражение в теории вероятности.
Число Эйлера соотносится с такими содержащими в себе противоречие понятиями, как бесконечность и непрерывность и, что не удивительно, эти самые понятия связывают его с числом Архимеда через интеграл Гаусса - поскольку и число Архимеда может быть представлено как сумма членов числовой последовательности.
Первая константа Фейгенбаума элементарно выражается через число Фидия

d = Ф3/2(1 + Ф1/2)

Таким образом, первая константа Фейгенбаума не является фундаментальной, а число Фидия участвует также в теории фракталов и динамике хаоса.

Различие методологий

К сожалению, в современную эпоху приходится уделять внимание не столько критике научных заблуждений, сколько обозначенному тотально явлению – социальной психопатологии, которая не имеет отношения к  науке и проявляется порой в самой тяжелой кататонической форме.
Например, в литературе, посвященной золотому сечению, широко используется статья
Бутусова К. П. 1978 года «Золотое сечение в солнечной системе» [10].
Ссылки на нее самые разнообразные, по большей части, неверные, причем самого текста этой статьи нет. Трактовки текстов Бутусова – самые разнообразные.
«По мнению К.П. Бутусова изучение золотого сечения и чисел Фибоначчи пока ведется в масштабах явно недостаточных. Имеет смысл создать систему исчисления, в основу которой следует положить не число 10, а число Ф… Расположение перигелиев и афелиев планет по логарифмическим спиралям, как доказал К.П. Бутусов, также связано с «гармоническими» числами Ф» [11].
Что же пишет сам Бутусов?
«Можно условно говорить, что тела ряда Юпитера являются детьми Раджа – Солнца… А тела ряда Сатурна детьми Солнца… Дискретность масс планет, состоящую в том, что массы Юпитера и Сатурна в целое. Число раз больше суммы масс Нептуна и Урана массы которых в полуцелое число раз больше их разности. Точно также массы Земли и Венеры в целое число раз больше суммы масс Марса и Меркурия, массы которых в целое число раз больше их разности [12].

Бутусов закончил физико-механический факультет Ленинградского политехнического института (1954), радиофизик. Работал в отделе радиоастрономии Главной астрономической обсерватории в Пулкове (1954-61). Преподавал физику в ряде ВУЗов Ленинграда (1961-88).
То есть, ни в теоретической физике, ни в астрономии, ни в астрофизике специалистом не является. Тем не менее, он был членом комиссии планетологии СССР (1972), действительным членом географического общества России (1980). В перестроечный 1987 год Бутусов уже кандидат физико-математических наук. Занялся уфологией, на этой волне в 1993-м стал профессором. Работал в научно-исследовательских фирмах «Алькор», «Мицар»(1988-96), в научно-исследовательском институте вычислительной математики и процессов управления СПбГУ (1996-2000). Лауреат премии Русского Физического Общества (2011). Почетный член Русского физического общества.
Его научную биографию представляют следующим образом: «Открыл структурные закономерности и квантовые (! Б. И.) эффекты в строении Солнечной системы под общим названием «Свойства симметрии и дискретности Солнечной системы» (1959-67), на основе чего дал параметры трёх предполагаемых планет за Плутоном (1973).
Кроме того: «… на основе выявленных закономерностей подобия планет Солнечной системы, а также подобия спутниковых систем Солнца и Сатурна предположил: Солнечная система – бинарна, т.е. имеет еще вторую погасшую звезду «Раджа-Солнце» с массой около 2% массы Солнца и периодом обращения 36 000 лет (1983)».
Магическое слово «дублет» оказало влияние на психику радиофизика: по Бутусову у каждой планеты есть дублет, с рядом расположенной орбитой:  «В 1973 г. мы опубликовали работу «Свойства симметрии Солнечной системы», где описали ряд обнаруженных нами свойств симметрии Солнечной системы, в том числе и «свойство дублетности». Это свойство состоит в том, что почти каждое тело Солнечной системы продублировано, т.е. ему соответствует другое тело, близкое по массе и диаметру, причём тела, входящие в дубль, как правило, находятся на соседних орбитах. Например, Юпитер – Сатурн, Нептун – Уран, Земля – Венера, Марс – Меркурий. Это правило распространяется также и на спутники планет» [13].
На основе своих теорий Бутусов открыл, что на орбите Земли в либрационной точке за Солнцем есть ещё одна планета, подобная Земле, – «Глория» (1990) [14].
Однако запущенные в 2007 году спутники STEREO, позволявшие напрямую наблюдать область точки Лагранжа L3, не обнаружили там никаких объектов.

Кроме того, опять же на основе выявленных им закономерностей, Бутусов якобы предсказал наличие 10 неизвестных спутников Урана: «В 1985 году был дан прогноз 12 спутников Урана, 10 из которых были подтверждены в 1986 году американской межпланетной станцией (средняя ошибка 2%). А один (XVII спутник) был открыт в 1997 году (ошибка 1%). По выведенным им закономерностям в 1973 году предсказал 3 неизвестные планеты. По его словам, на месте одной из рассчитанных им гипотетических планет, через несколько лет был обнаружен планетоид Седна, погрешность положения с расчётным составила лишь 1%».

На самом деле предсказание шести новых спутников Урана сделали двое советских ученых, среди которых нет Бутусова, ученые были удостоены государственной премии. Орбиты спутников вычислены по предложенной учеными модели резонансов.
Московские (Бутусов – ленинградец) ученые открыли, что каждая пара колец Урана имеет два резонанса с внешней пустой орбитой между кольцами и спутником Мирандой.
Что касается Седны, никто в 1973 году ее существование не предсказывал [15].

Дадим пример научной методологии.
В задаче с двумя одинаковыми грузиками, подвешенными на пружинах и колеблющимися синхронно, через «парциальную» частоту отдельных грузиков

w02 = k/m

определяются их частоты.
Частное решение задачи с тремя грузиками разной массы приведено в [16].
Общее решение со многими одинаковыми грузиками, соединенными пружинами, дано в [17]. Частное решение со многими разными грузиками (олигосомами в ДНК) для частоты синхронного колебания, дано в [18]:

W = (G/NM)1/2

где масса олигосомы mi = NiM, M – масса мономера в олигосоме, Ni – число мономеров в олигосоме, N – среднее гармоническое. То есть, роль массы в формуле для пружинного маятника в виде спирали ДНК играет среднее гармоническое масс всех олигосом.

Теперь приведем пример обратной, перевернутой с ног на голову, идеалистической, мистической методологии. Например, рассматривается система двух уравнений, соответствующая колебаниям системы двух грузиков с разной массой на пружинах.
Вместо ее общего решения ищется такое решение, которое бы приводило  к числу Фидия. С тем же успехом можно было бы искать решение, приводящее к числу Архимеда или к числу Эйлера.

Аналогично в многочисленных публикациях делаются попытки обнаружить некие резонансы в небесной механике. Причем речь идет не просто о попытке вывести формулу, аналогичную эмпирическому правилу Тициуса-Боде, по которому радиусы орбит всех планет Солнечной системы, кроме Нептуна,  планет ложатся на последовательность

Rn = 0,4 + 0,3 x 2n

где R – радиус планеты,  n – ее номер, начиная с Меркурия. Исследователи, не понимая сущности модели резонансов, пытаются притянуть конструируемую эмпирическую формулу именно к числу Фидия. Больше того, их не смущает, что некоторые планеты выпадают из полученных конструкций, в таком случае утверждается, что они «приближаются» к резонансу. Приближенные не целые числа отождествляются с числами Фибоначчи лишь по совпадению их целых частей, сама модель резонансов извращается, утверждается, что для резонанса достаточно, чтобы периоды обращения планет относились друг к другу как целые числа, пусть даже с десятичными добавками.
«Орбитальный резонанс в небесной механике - ситуация, при которой периоды обращения двух (или более) небесных тел» соотносятся как небольшие натуральные числа. В результате эти тела периодически сближаются, находясь в определённых точках своих орбит. Возникающие вследствие этого регулярные изменения силы гравитационного взаимодействия этих тел могут стабилизировать их орбиты. В некоторых случаях резонансные явления вызывают неустойчивость некоторых орбит», - отмечается в Википедии.
То есть, резонансы не то стабилизируют обиты, не то вызывают их неустойчивость.

На самом деле смысл модели резонансов состоит в следующем.
Если частица вращается вокруг планеты за 10 часов, а спутник – за 20 часов, это соотношение называют резонансом 1 : 2. Каждый свой второй пролет частица встречается со спутником, влияние резонанса накапливается,  под влиянием резонансного спутника орбита частицы вытягивается, увеличивая эллиптичность. Например, если период обращения одного кольца Урана 6 часов, а другого 8 часов, у этих двух колец есть общая резонансная орбита с периодом в 12 часов, которая с одним кольцом имеет резонанс 6:12 = 1:2, а со вторым 8:12 = 2:3. Число Фидия, как видим, здесь нипричем.

Заключение

По теореме Нётер каждой непрерывной симметрии соответствует закон сохранения. Однородности пространства соответствует закон сохранения импульса, сохранению момента импульса соответствует изотропия пространства. Из однородности времени следует закон сохранения энергии, из изотропии времени – сохранение четности. Из Лоренц-ковариантности вытекает инвариантность  свертки 4-импульса, калибровочной инвариантности соответствует сохранение заряда.
Возможно, что каждой симметрии соответствует мировая константа, не имеющая размерности.
Группе сдвигов по времени соответствуют матрицы Паули, при этом ни у времени, ни у калибровочных преобразований или сильного взаимодействия нет безразмерного фундаментального числа. Для времени даже с некоторой натяжной размерную константу нельзя принять равной H-1 , т.к. другие константы привязаны к классическому миру и в неевклидовой геометрии они не фундаментальны.
Что говорит о том, что эти константы, возможно, еще ждут своего открытия.

Литература

1. Аристотель. Метафизика. М.-Л.: 1934, Т. 1. С. 204, 214.
2. Ильенков Э. В. Диалектика абстрактного и конкретного в «Капитале» Маркса. М.: АН СССР, 1960.
3. Ихлов Б. Л. Что такое история? С точки зрения физика. КЛИО. СПб.: 1998. №1(4). С. 16.24.
4. Ленин В. И. Империализм как высшая стадия развития капитализма. ПСС, изд. 5, Т.27.
5. Аристотель. Метафизика. М.-Л.: 1934. Т. 5. С. 985.
6. Иванова А., «Учение Пифагора о числе как о первоначале мира: современное понимание» 7. Энгельс Ф. Диалектика природы. ПСС, Т. 20. C. 148.
8. Бертран Р. История западной философии. Ростов-на-Дону, 2002, С. 47, 50.
9. Энгельс Ф. Диалектика природы. ПСС, Т. 20, С. 30.
10. Бутусов К. П. Золотое сечение в Солнечной системе. Астрономия и небесная механика. Серия «Проблемы исследования Вселенной». М.: Наука, 1978. Вып. 7. С. 475-500.
11. https://perm.work5.ru/gotovye-raboty/123879.
12. http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/013a/2114-bt.pdf.
http://www.astronos.ru/1-1_1.html.
13. http://n-t.ru/tp/ns/bs.htm.
14. http://www.shaping.ru/mku/butusov.asp.
15. http://www.shaping.ru/mku/butart03.asp.
16. Ландау Л. Д., Лившиц Е. М. Краткий курс теоретической физики. Т. I, «Механика», М.: «Наука», 1988, С. 101.
17. Крауфорд Ф. Волны. М.: Наука. 1974. С. 90.
18. Ихлов Б. Л. Спектры ДНК. Вестник новых медицинских технологий. 2018. Т. 25, №2. С. 121–134.