Коротенькая лекция по геометрии для школьников

Так или иначе, начиная с мелких лет и заканчивая подготовкой к ЕГЭ, все школьники решают плоские геометрические задачи. То есть – решение плоских фигур.  А все «угловатые фигуры» в конечном счёте всегда можно разбить на треугольники. 
И в результате всё сводится к банальному решения треугольников.

А есть ли какое ни будь правило, или несколько, по которым мы бы могли решить …. ЛЮБОЙ  треугольник? То есть найти все недостающие «запчасти».
- Да конечно есть! И их совсем не много.

1. Треугольник имеет, как известно 6 элементов: 3 стороны и 3 угла.

2. Предположим -  что в исходных нам даны несколько элементов.  А достаточно ли их?
Отвечаем: все элементы треугольника могут быть вычеслены по исходным данным если этих данных достаточно чтобы треугольник был «определён».
И наоборот- если данных не достаточно треугольник не решается. Ищите другой. Не тратьте на него время.  Он не «определён».

Вопрос а что же это за условия?
Ответ:

Правило №1:
Треугольник «определён» если в нём известны (заданы):
1. Две стороны и угол между ними;
2. Два угла и сторона между ними;
3. Три стороны.

Ничего не напоминает ?
Да! Конечно! Это три признака равенства треугольников. Истина для третьего класса.

Т. е. в произвольном треугольнике, для того чтобы он был определён необходимо чтобы были известны минимум три элемента в определённом порядке, что и перечислено выше.

Особый вид треугольников – это прямоугольные треугольники. Решение прямоугольных треугольников, вообще сводится к единственной теореме – теореме Пифогора и определениям тригонометроческих функций.

А между тем любой треугольник всегда можно разбить на 2 прямоугольных и решай себе на здоровье. Ибо  Пифагоровы штаны, всегда и во все стороны, как известно равны.
А вообще, всегда ли решается тот же прямоугольный треугольник.
Конечно - нет.
Он же хотя и прямоугольный, но всё же треугольник.  И он тоже должен быть определён. А каковы тогда достаточные условия для прямоугольного треугольника чтобы он был определён?

Они несколько проще:

Правило №2:
Прямоугольный треугольник «определён» если в нём известны (заданы) минимум:
1. Один из острых углов и одна сторона.
2. Две стороны.

Понятно что при первом  условии всё сводится ко второму условию  в обычных треугольниках. Один угол известен, второй 90 (раз уж это прямоугольный треугольник) а третий это то что не хватает до 180.

Ну а во втором всё сводится к третьему условию  в обычных треугольниках.
Известны две стороны, третья по теореме Пифагора.

И здесь подметим, что для прямоугольного треугольника, чтобы он был определён,  достаточно любых двух элементов не считая прямого угла. Но… , всё же но, хотя бы один из них должен быть стороной.

Вот собственно и всё.
Остальное дело техники. А дело техники - это добротный инструмент.
Попробуем обойтись минимумом.

И так :

Правило №3
Для нахождения углов треугольника у которого известны ТОЛЬКО ТРИ СТОРОНЫ  можно воспользоваться теоремой косинусов.

Напомним: если в треугольнике АВС известны все стороны то справедливо равенство
  (для простоты обозначим стороны малыми буквами  a. b.. c  одноимёнными с вершиной угла напротив которого они лежат .  Ну а углы большими буквами     А, В, С  по их вершине)

a2 =b2 + c2  -2* b * c * cos A

Правило №4
Для решения любого «определённого» треугольника достаточно его разбить на 2 прямоугольных и решить их.
Любой «определённый» прямоугольный треугольник решается с помощью теоремы Пифагора (с – сторона напротив прямого угла)
с2 = b2 + а2

и тригонометрических функций
  sinA = a/c;    cosA=b/c ;     и   tangA=a/b .

Для других углов аналогично.
Напомним -  значение функций  для определённого угла является константой.

Вот собственно и всё.

Отмечу,  что самое сложное при решении задач найти «определённый» треугольник, а решить его труда не составит.