Прямоугольник и точка М внутри

 Моя любовь к математике безгранична. Сколько прекрасных уравнений, тождеств, соотношений и общих решений можно находить! Даже в обычном прямоугольнике проявляются удивительные открытия. Об одном из них, найденных совсем недавно, я расскажу.

От точки М внутри прямоугольника идут линии ко всем четырем вершинам. Длины линий заданы и равны буквенным выражениям, что на рисунке. Например a равно 25 метров, b равно 39 метров, с равно 52 метра и d - аж 60 метров. Все линии (допустим это металлические стержни) в точке М соединены общим шарниром и могут перемещаться, как радиусы окружностей. Но обязательно концы стержней должны быть вершинами именно прямоугольника. С этим, наверное, ясно. Ясно и то, что можно образовать бесконечно много прямоугольников в пределах некоторых границ. Пунктирными линиями как  раз и показаны предельные границы. Оказывается, между красным и зеленым прямоугольниками находится некий черный, площадь которого самая большая. Вот габариты такой наибольшей фигуры и следует найти.

 Задача относится к классу оптимизационных. Если удается найти математическую функцию, применяют дифференциальное исчисление. Просто берут производную этой функции, приравнивают ее нулю и получают значение аргумента, при котором исходная функция может иметь экстремум. Говорю "может", потому что не всегда график зависимости имеет форму холма или ямки. Иногда это точка перегиба или что-то совсем фантастическое. Во всяком случае данный вопрос требует дополнительного исследования. Я такое исследование произвел и убедился, что всегда экстремум существует и он - суть максимум. Все формулы, которые я получил и привел выше, не требуют знаний выше школьных. Теперь вроде старшеклассники проходят даже элементы "вышки". Не то, что полвека назад, когда учился ваш покорный слуга.

 Проблема решена полностью, изящно и верно. Наибольшая площадь прямоугольника вычисляется по формуле:

      S(max) = Ad + Bc

Чтобы ее запомнить, с моим внуком Андреем (учится в седьмом классе) мы придумали простое мнемоническое правило:

        "Ад Всем!"

 Понятно, что тут "Ад" - это площадь Ad, "Всем" - по первым двум буквам площадь Bc. Андрею  правило понравилось и запомнилось (по его утверждению) на всю оставшуюся жизнь.

 В качестве вишенки на торте я привел таблицу, в которой показаны несколько целочисленных решений. Их, естественно, бесконечное количество, но показал лишь варианты, когда целые числа - самые малые по величине.

 И последнее. Все сказанное получил благодаря обязательной самоизоляции из-за опаснейшего коронавируса. Из всего надо извлекать пользу. Но при этом не попадать в беду.

24 апреля 2020 г.