V. Хищники и жертвы

Математики Альфред Лотка и Вито Вольтерра, наблюдая за живой природой, вывели математическую модель взаимодействия двух взаимозависимых видов, объяснив изменения численности их членов. Общий вид формулы: dn/dt = a * n + b * n * n_2 + y * n^2, где n – количество особей исходного вида, n_2 – количество особей другого вида, с которым исходный вид сосуществует; a – коэффициент рождаемости исходного вида; b – коэффициент изменения его численности при встречах представителей двух видов, частота которых прямо пропорциональна величине n * n_2 (то есть межвидовая конкуренция); соответственно y – коэффициент внутривидовой конкуренции, где частота встреч равна n * n. Напомню, что dn/dt – если проще, новое значение n по истечении времени t. Однако исключим «маловажное» последнее слагаемое и вдобавок приведём формулу к частному случаю «хищник-жертва», где для хищников n_2, не способных существовать без жертв n, значение a_2 будет отрицательным, а b_2 – положительным. То есть dn/dt = a * n - b * n * n_2 и dn_2/dt = -a_2 * n_2 + b_2 * n * n_2 (модель Лотки-Вольтерры). Это объясняет, что никакая популяция не может быть описана без учёта какой-либо пищи (то есть другого вида в области живой или неживой природы), которую также необходимо вписать в уравнение. Отсюда, проинтегрировав, получаем созависимость n^(-a_2) * e^(b_2 * n) = c * n_2^a * e^(-b * n_2) (c – константа). Стоит заметить, что поскольку речь идёт о темпах роста, то фигурирует и божественная константа Эйлера. А выбор пищи «хищником» по «классической теории оптимального фуражирования» зависит от количества полученной им энергии и времени, затраченном на поиски «жертвы» и её обработку (поимку, разделку, усвоение и т.д.), то есть скорость потребления «жертвы», она же вероятность её выбора v = E / (t_1 + t_2) [и стремится к бесконечности] (формула Макартура и Пианки). Если статистическое t_1 > t_2, то животное всеядно, иначе узкоспециализированное.

Если воспроизвести модель хищников и жертв, то на графике изменение популяции выглядит как две волны, где кривая жертв немного опережает кривую хищников. Это происходит так. Хищников мало, тогда жертвы быстро плодятся. Но, имея изобилие в пище, также быстро начинают плодиться хищники. В какой-то момент хищников становится так много, что число жертв начинает идти на спад, а число хищников всё пребывает, и вот происходит «обвал» популяции жертв. Тогда хищники умирают с голоду, при этом, не имея возможности отловить всех жертв до последнего. И когда хищников уже совсем мало, тогда жертвы быстро восстанавливают популяцию. И этот цикл повторяется снова и снова с периодом T = 2п / [корень из](a * a_2) подобно гармоническому осциллятору трансформатора. Кстати, в вопросе, почему хищники не могут отловить всех жертв, «математическая экология» находит ответ с такой междисциплиной как «ландшафтная экология» Роберта Макартура, которая объясняет тесную связь обитателя и среды обитания. Где для каждого вида в окружающей среде продумана зона безопасности: мелкое животное может спрятаться глубже в корнях, крупное – сбиться в кучу сильнейших представителей своего (или другого) вида прямо на открытом поле, не говоря о мимикрии, эффективность которой в уединении лишь повышается. В то время как скопление животных ведёт к быстрому распространению болезней и прочее, что выражается в слагаемом y * n^2.

Львы гонят стадо буйволов. И вот самый слабый буйвол отстал. Львы окружают его и нападают. Тогда самые сильные, альфа самцы, первыми приступают к трапезе и выедают самые мясистые части буйвола, затем бета особи доедают остатки. Это – естественный отбор. Львы гонят стадо буйволов. И вот самый слабый буйвол отстал, неспособный бежать быстро, поскольку болен внутримышечным паразитом. Львы окружают его и нападают. Тогда самые сильные, альфа самцы, первыми приступают к трапезе и выедают самые мясистые части буйвола, после чего бета особи доедают остатки. Вскоре все альфа самцы погибают, а их место занимают бета особи. Это – естественный отбор.

Мы имеем дело с упрощением, идеальной моделью, поскольку в действительности абсолютно каждый вид (существо живой или неживой природы) является хищником по отношению к какому-то второму виду (или сразу многим) и одновременно жертвой по отношению к третьему виду (или сразу многим). Судя по всему, по этой причине наблюдение за зайцами и рысями в Гудзоновом заливе, а также животными в других регионах хотя и демонстрирует исправность модели, помимо её предельной логичности, однако содержит погрешность, как минимум, в роли сезонного хищника – охотника. И всё же наибольший интерес представляют уловимые математические образы. Ведь модель применима не только к области экологии, но и к психологии, где каждый человек может принимать роль то хищника, то жертвы. А также в философии, ведь важно отметить, что в фазовом пространстве (то есть на графике, где каждая точка кривой в своей координате X содержит численность жертв, а в Y – хищников на тот или иной момент времени) кривая изображает круг или приближение круга. И мы снова возвращаемся к кругу жизни, где с одного его боку – одно, с другого – другое, и одно существует по причине другого. И видим демонстрацию того, как в обществе (или в пределах одной головы) кочуют идеи ввиду неизбежной реакции: интерес и пресыщение.