Непревзойденный метод решения технических задач

           Каждый век приносил человечеству новые крупные достижения. Кто-то где-то и когда-то придумал колесо, Кто-то порох, кто-то бумагу, кто-то стекло.  Но это были изобретения эмпирического характера, в значительной степени случайные. Прогресс цивилизации, выразившийся в бурном строительстве все более крупных зданий и кораблей, потребовал развития научного подхода.  Я не считаю, что пирамиды строили инопланетяне. Пирамиды- строения примитивные. Там почти нет сводов и камеры крохотные. По знаниям и конструкции. Римляне возводили четырехэтажные и даже шестиэтажные дома и большие храмы. Там были большие своды. Тут уже надо было рассчитывать габариты и толщины. Зодчие копили эмпирические зависимости и не горели желанием особо ими делиться с остальными непосвященными. Делалось всё через опыт методом проб и ошибок. Неудачные сооружения разваливались. Куполы падали на прихожан. Не дело, когда отдельные умники колдовали над своими им только известными формулами и давали указания остальным что и как делать. Очень часто рекомендации не оправдывались, здания рушились, и суда тонули.
            В Средние века соборы строили столетиями. Серьезная проблема возникла в 15 веке при строительстве Флорентийского собора. Дело в том. что разметка собора была выполнена за два века до этого и ход строительства подошёл к сооружению грамадного купола, какого до этого еще не делали нигде. Устроили конкурс архитекторов, в котором участвовали два давних соперника - Бунелесски и Гиберти. Брунеллески представил модель, убедил жюри и тендер выиграл. Когда сейчас рассмотриваешь чертеж купола, состоящего из двух коаксиальных оболочек, соединенных друг с другом межслойными связями, то удивляешься потрясающей конструкторской интуиции зодчего. Интересно, что Брунелесски чертежей и схем после себя не оставил. Он давал указания, что куда и как, и даже обеспечил доставку строительных материалов и питания строителям на высоту, чтобы те не спускались и не поднимались. И как организатор, он бы дал фору современным менеджерам. Интересно, что Гиберти, намеренно оставленный при строительстве в роли то ли консультанта, то ли осведомителя остальных о том, что делается с собором, при таком вызывающем поведении главного архитектора запутался в его действиях и покинул стройку. Усилия строителей были затрачены не зря. Купол был завершен при жизни Бруннелески. Такое в те времена нечасто случалось. Все это замечательно, но процесс возведения храма упирался в одного, пусть и великого человека. А такое недопустимо. Это понимали даже тогда.
           Такая строительная алхимия изживала себя. Поэтому в механике сооружений и кораблей стал развиваться научный подход. То есть на всё своя обоснованная методология. Потребности жизни привлекли внимание математиков и механиков и, начиная с семнадцатого века и по настоящее время, происходил бурный рост достижений  в перечисленных мною областях. Галилей впервые научился рассчитывать защемленную балку математически. А в конце 18 века Эйлер и Лагранж создали целую науку - аналитическую механику, которая позволила решить массу практических задач. Перечислять достижения этих великих ученых и их выдающихся последователей можно, но не здесь. Для этого есть отдельные курсы и издания.
         Предшественники могли очень многое. Они вывели дифференциальные уравнения в общих и частных производных почти для всех случаев жизни и научились их решать для некоторых частных случаев, особенно, когда уравнения в частных производных разделялись и области были регулярными. Тут зачастую использовались представления в рядах. Но число членов было небольшим. Алгебраические уравнения степени до 6 с трудом поддавались решению на механических калькуляторах. И точность представления рядами с ограниченным числом членов не всегда удавалось установить. Иногда удавалось скомбинировать удачные и проверенные решения как кирпичики для весьма сложных моделей. И по этому комбинированию выделялись настоящие виртуозы. Одного из них назову, хотя мог бы многих. Это в моей отрасли Петр Федорович Папкович, автор толстенных технических многостраничных талмудов с отдельными блестяще решенными задачами, которые сыграли в свое время большую роль и за которые он стал членом- корреспондентом АН СССР в сороковые годы, то есть во времена, когда в академии было мало администраторов, а  было много великих ученых.
         В те и в последующие года были написаны, например, тысячи или десятки тысяч работ по расчетам характеристик разного рода оболочек идеализированных форм: цилиндрических, сферических, конических, по разному закрепленным и нагруженным, но если жизнь сталкивала с конкретным сегментом вычурной формы, да переменной толщины, да участками загруженным, да теряющим устойчивость при тех или иных  условиях, полученные аналитические решения не всегда удавалось использовать. А, если рассматриваемый предмет полностью или частично композиционный, или заметно меняет форму под нагрузкой? А если он резиновый, которого после деформирования не узнать? Техника усложнялась и задачи, которые ставила жизнь, усложнялись вместе с ней. Попробуйте рассчитать искривленную судовую лопасть, которая сужается от основания к кромкам, даже в статической постановке. Еще труднее оценить формы и частоты колебаний, которые имеют весьма необычный  вид. Рассуждать на эту тему можно очень долго.
          Так какая же у автора цель? А, вот, какая. Интересно показать, чем двадцатый век смог выделиться по сравнению с блестящими восемнадцатым и девятнадцатым в делах, связанных с механикой сооружений. А, ведь, смог. Берусь доказать, что такое яркое отличие есть. Не сомневаюсь, что корифеи прошлых столетий были бы впечатлены результатами работ современных специалистов и почти не сомневаюсь, что зауважали бы современную научную публику.
          Теперь немного отойдем в сторону. Все мы раз в год проходим флюрографию. Кто видел рентгеновские пленки, тот представляет, что все наши внутренние органы и скелет на них как на ладони и квалифицированные врачи обычно легко находят нарушения, когда они есть. Хорошо бы так же просвечивать любую конструкцию. Но не тогда, когда она в свободном ненагруженном состоянии, а когда она под эксплуатационной нагрузкой, либо постоянной, либо экстремальной.
             Был такой случай. В начале 20 века в Англии делали дирижабль. Так, схему подкрепления оболочки выбрали не самую оптимальную, которая просилась в дело, а менее эффективную , потяжелее но более простую, какую было по силам надежно рассчитать на том уровне развития строительной механики летательных аппаратов. Не сомневаюсь, что очень тяжелые проблемы возникали перед конструкторами боевых самолетов времен последней войны. А это были случаи, когда ошибаться с весом было нельзя. Особенно доставалось прочнистам. То есть задачи сложные, а методы были неточные, если не сказать примитивные. Конечно, помогал эксперимент. Но эксперимент дорог и небыстр.
           Назревала ситуация, когда требовался мощный прорыв в методах решения задач механики и не только чистой механики, а и связанной с ней акустики, и прочих дисциплин, связанных с решением так называемых полевых проблем.   
Для этого прорыва в 20 веке постепенно набиралась основа. 
• Развитие средств, с помощью которых выполняются вычисления. Примитивные механические калькуляторы существовали чуть ли не с времен античности. Когда я начинал учиться в институте, а это был 1965 год и далее, курсовые мы считали, крутив рукоятку на механических калькуляторах "Феликс". Когда заканчивал в 1969 году, уже тарахтели каретки тяжеленных электрических калькуляторов, для которых выделялась отдельная комната. На работе стояла ЭВМ «Проминь» на 100 команд. Если сильно поднатужиться, то можно было и больше команд на ней использовать. Это слабее программируемого калькулятора, который сейчас помещается  в кармане пиджака. Не буду утомлять. Возможности современных компьютеров представляют почти все читатели.
• Развитие методов вычислений. Тут только обзорно. Иначе будет том.  Решение систем уравнений - тут постарались Гаусс, Халецкий, Ланцош, Зайдель и многие другие специалисты по высшей алгебре.  Матричные преобразования - оказалось, что можно успешно работать не только с числами а с их группами. Удобнейшее средство. Короткая запись заменяет простыни, исписанные уравнениями. Разностные методы – любую производную можно представить разностной формулой, а область вычислений покрыть сеткой. Очень часто неплохо получается. Но не всегда. А если область нерегулярная и сетка неравномерная? Отдельно стоят интегральные преобразования. Можно снижать порядок дифференциальных уравнений. Часто помогает. Но для сложных моделей все же не всегда применимо.
            Толковых специалистов много. Смогли наладить, особенно в строительстве посекционное решение  ферменных конструкций. Каждая балка моста – секция. Неплохо рассчитывали регулярные перекрытия и мосты. Тут виртуозом у нас был А.П. Филин. Тут матричная алгебра вовсю пошла в ход. Его книга так и называлась "Матрицы в статике стержневых систем". За границей были свои виртуозы. И все же это было совокупностью частных методов, а общий подход еще не был нащупан.  Во всех перечисленных методах и схемах решения было легко ошибиться, а найти ошибку было очень трудно. Но решение витало в воздухе, и, в итоге, было найдено.
            В шестидесятых годах прошлого века  возник универсальный метод решения  практически любых задач. Идеальное средство, которое во всем мире называют методом конечных элементов.
           Метод конечных элементов является результатом развития выдвинутого учеными 18 столетия  принципа возможных перемещений. Этот принцип формулируется следующим образом. Для тела находящегося в положении равновесия, сумма работ всех действующих на него внешних и внутренних сил на любой системе возможных перемещений равна нулю. При этом возможными считаются перемещения, не нарушающие внутренние и внешние связи. Другими словами возможными перемещениями являются кинематически допустимые вариации перемещений. На базе принципа возможных перемещений  и на основе энергетических подходов разработаны различные типы функционалов, которые в случае дискретиного представления конструкций приводят к алгебраическим соотношениям отмеченного мною выше метода конечных элементов.  Напомню что функционал это функция от функций различных переменных. Отметим, что к уравнениям метода можно придти и на основании других подходов, в частности метода взвешенных остатков (нестыковок). Таким образом, метод весьма эффективен, гибок и имеет надежное теоретическое обоснование. Любую область, любое сооружение можно покрыть сеткой почти любой густоты и наложить граничные условия отражающие реальность. А далее система алгебраических кравнений передается на решатель который для современных ЭВМ может справляться с уравнениями содержащими миллионы неизвестных.  Еще одно важное обстоятельство было придумано, чтобы метод успешно работал. Коль любое тело условно разбивается на множество частей, то решения могут быть получены только для конечного количества узлов разбиения. А в любом теле точек бесконечно много. Надо было определить связи между точками, для который определяются все их смещения и остальными точками, заполняющими тело. Такие функции были разработаны. Они очень непростые, у них свои специфические свойства. Они должны обеспечивать непрерывность деформаций в рассматриваемой конструкции. Их называют функциями формы или интерполирующими полиномами. Для каждого типа элемента они разные. Только после достаточно кропотливой работы метод конечных элементов заработал в полную силу. Это метод, у которого много авторов. Когда я разбирал соотношения, я вышел на двух специалистов, которые в шестидесятые годы в своих работах обозначили основные подходы и решили множество вопросов, необходимых для практического применения метода. Это К. Бейт и Г. Пржеминицкий. У Бейта одна из первых работ 1967 года, у Пржеминицкого работа, ссылку на которую привожу, 1968 года. Они, конечно, тоже не самые первые, но явно систематизировали предыдущие исследования, и их работы были конкретно использованы при создании коммерческих программ, которые сейчас используются по всему Земному Шару. Так вот, своеобразным рентгеном для конструкций любой сложности является метод конечных элементов. Не все нюансы можно показать в краткой обзорной статье, но метод мощный, революционный. Множество проблем в нём с правильным созданием расчетных моделей и с анализом получаемых результатов. Зато возможности в умелых руках практически безграничны. Надо изучить взаимодействие различных сред - пожалуйста, только правильно сформулируйте задачу. Фазовые превращения в материалах - пожалуйста. Столкновение автомобиля с преградой - пожалуйста. Можете сесть в авто и проверить. Точно так и получится.  Есть во всём этом деле одно серьезное условие. Дилетанту он не по зубам. Чтобы с этим методом успешно работать, надо хорошо знать разработанные ранее аналитические подходы и проверять себя на каждом шагу. Внешне правдоподобные результаты могут быть ошибочными, и тогда серьезнейшие ошибки неизбежны. Численный метод - это не аналитическая формула, которую можно дать двоим для расчета, запереть их в разных комнатах и сравнить полученные ими результаты. Без квалификации в делах, которыми занимаешься, можно наломать таких дров, что и говорить не хочется. На иллюстрации обложка основополагающей книги  Клауса-Юргена Бейта, которую используют многие специалисты.
            Метод распространился по миру как огонь по сухой траве. Он быстро достиг и нашей страны. Здесь его высоко оценили и внесли в него существенный вклад профессор из Ленинграда Валерий Александрович Постнов и талантливый математик из Эстонии Илья Яковлевич Хархурим, а после них и многие другие исследователи. Замечу, что у вас, даже, если вы этим методом овладеете, ничего серьезного на получится, если в руках не будет удобного средства для моделироания желаемых геометрических образов и разделения их после генерации на отдельные элементы. А еще для получения результатов нужны мощные решатели для систем алгебраических уравнений миллионных порядков и еще много чего другого. Всё это достижения сильнейших научных коллективов, предоставленные для широкого практического применения за последние десятилетия. 
             Таким образом, мы с вами показали, уважаемые читатели, что современный период тоже является грандиозным достижением, чем, вполне, можно гордиться, и я почти отчетливо представляю себе группу лиц в париках, сюртуках и расшитых камзолах, среди которых, приглядевшись, можно угадать фигуры И.Ньютона, Ж.Л.Лагранжа, П.С.Лапласа, Д'Аламбера, К.Ф.Гаусса, О.Коши и других великих ученых, с изумлением  расматривающих то, что натворили после них их научные потомки.
Литература.
1. K-J. Bathe. Finite Tlement Procudure. Second edition. Prentice Hall, Pearson Educatin Inc. USA. pp. 143-45, 187-188. 
2. J.S. Przemieniecki. Theory of Matrix Structural Analisis. Dover publication. Inc. New Jork. 1968.


Рецензии
Хорошо написано!

Григорий Аванесов   18.09.2020 08:31     Заявить о нарушении
На это произведение написано 5 рецензий, здесь отображается последняя, остальные - в полном списке.