Музыка и арифметика

     Еще с древних времен человечество занялось музицированием и 
экспериментальным, а иногда и теоретическим путем понаходило
приятные соотношения звуковых частот и постепенно произвело то, что
называется ныне музыкой и музыкальным наследием. И вот, т.к. в
основе звучания любого музыкального инструмента лежат те или иные
физические законы -возникновение колебаний, то физические
параметры, в первую очередь, такой, как частота звука, зависят от
физических параметров деталей инструмента и могут выражаться теми
или иными математическими формулами, иногда упрощенными или
эмпирическими, в которые входят числовые величины физических
параметров.
      Из музыкальных частотных соотношений следует в первую очередь
упомянуть октаву. Это такое частотное соотношение, когда частота
одного звука в два раза больше другого. В этом случае говорят, что
первый звук выше второго на октаву. А если у первого частота в 4
раза выше, чем у второго, то он выше на 2октавы. Такое соотношение
связано с логарифмическим восприятием частот человеческого
слухового аппарата. Благодаря этому, если кто-то пропоет знакомую
мелодию, а потом повторит ее на немного большей частоте - ну,
например, повысит частоту первой ноты в 1,27 раз, то вы ее все
равно узнаете - все остальные ноты также придется повысить в 1,27
раз, а вот соотношения частот между всеми нотами останутся
абсолютно такими же, как и до повышения. Т.е., для музыкального
восприятия существенна не абсолютная высота между звуками, а
соотношение между ними.
       Октав в музыке используется всего около 7 с половиной - примерно от
Ля субконтроктавы до До 5 октавы на пианино.
Если вы посмотрите на клавиатуру пианино, увидите, что в одной
октаве 7 белых и 5 черных клавиш. Белые называются До,Ре,Ми,Фа,
Соль,Ля,Си, а черные - это бемоли и диезы. Но ноты, могут
называться еще и по интервалам, и если возьмем До-мажорную гамму
первой октавы в случае первой ноты До-это будут Прима (До),
Секунда (Ре), Терция (Ми), Кварта (Фа), Квинта (Соль), Секста (Ля),
Септима (Си), Октава (До 2-й октавы - отсюда и слово Октава), Нона
(Ре 2-й октавы) - дальше идут децима и т.д.
    Т.е., при повышении частоты в два раза высота музыкального тона
повышается на октаву. И если мы сыграем мелодию одинаковыми нотами
в двух октавах, она прозвучит слитно, как будто это один голос, но
более "жирный" тембр. И если Ля 1-й октавы имеет частоту 440 Гц, то
Ля 2-й - 880 Гц, Ля 3-й - 1760Гц и т. д. Это правило касается и
соотношений любых двух звуков из разных октав, имеющих одинаковое
название. Кроме этого соотношения - октавы, также приятно на слух
звучат сочетания нот с частотами, которые соотносятся как простые
числовые соотношения, например 2:3. Такому соотношению
соответствует, например, сочетание звуков До и Соль -квинта. Или
соотношение частот 3:4 - кварта До и Фа. Если кварту построим от
Соль, то в ней будут ноты Соль и До следующей октавы. Т.е., в
чем-то кварта - это "перевернутая" квинта, т.к. если частоту ноты,
соответствующую коэффициенту 2 повысить в 2 раза - получится 4, то
это будет та же нота, но следующей октавы и соотношение частот 4:3.
      Также достаточно приятно - тоже консонанс- звучат ноты с частотным
соотношением 4:5 - большая терция (напр., До, Ми) и 5:6 -малая
терция (напр., Ми, Соль) , а также их модифицированные варианты -
сексты 5:8 и 3:5. Возможен и вариант 2:5 - тоже консонанс.
      И вот, еще в древние времена музыканты научились строить аккорды -
в первую очередь трезвучия. Самое совершенное из трезвучий - это
мажорный аккорд. Сочетание частот нот в нем 4:5:6 (напр., До, Ми,
Соль) - первую ноту можно взять в следующей октаве - получим
соотношение частот 5:6:8 - и даже вторую ноту можем тоже взять в
следующей октаве - получим соотношение 6:8:10 или 3:4:5 - оба
варианта являются обращениями аккорда, немного меняют его высотное
звучание (регистр), но не меняют сути. Бывают также аккорды с
частотным соотношением 4:5:6:7 - такому соотношению нот
соответствует созвучие, называемое доминантсептаккорд. В
диатонической До-мажорной гамме его можно построить только от
ноты Соль и в нем будут звуки Соль, Си, Ре, Фа. Считается, что
звуки с соотношением 5:7 образуют дисгармоничный интервал - тритон -
такой интервал нужно применять аккуратно и уместно, чтобы не
вызвать в произведении лишних диссонансов. Такой аккорд имеет
резковатое, но интересное, "светлое" звучание. И это не
удивительно. Вы наверное знаете, из курса физики, что, например,
натянутая струна, колеблясь, колеблется не только целиком, но и
половинками, третями, четвертями, пятыми, шестыми седьмыми и т.д.
частями. Звук от половинок в 2 раза выше основного тона, от третей
- в 3 раза выше основного, от четвертей - в 4 раза выше основного -
на 2 октавы и т.д. И если кто-то из вас знаком с таким приемом игры
на гитаре, как натуральные флажолеты, тот знает, что из струны,
настроенной на ноту Соль, можно извлечь флажолетные звуки Соль, Си,
Ре и Фа более высоких октав. Флажолет с нотой Фа извлекается
довольно трудно и его частота как раз в 7 раз выше основного тона.
Т.,е., доминантсептаккорд в неявном виде как бы уже содержится в
звучании самой струны или другого колеблющегося музыкального тела.
Особенные свойства 7-й гармоники в чем-то связаны с математическими
природными свойствами семерки, т.к.  7 х 7 приблизительно равно 50,
а 0,7 х 0,7 приблизительно равно 0,5, а 0,5 х 2 =1 - т.е., частота
того же звука, но на октаву выше.
     Из интересных и гармоничных созвучий следует выделить также
минорное трезвучие - в нем соотношение частот нот 10:12:15, или,
что то же самое, 1/6:1/5:1/4 - т.е., некий перевертыш мажорного
трезвучия в смысле частот - например, Ля, До, Ми, а также минорный
септаккорд - соотношение 10:12:15:18- напр., Ля, До, Ми, Соль.
Сравним частоты доминантсептаккорда с частотами минорного
септаккорда. В первом соотношение 4:5:6:7, или, умножив на 5,
20:25:30:35. А во втором 10:12:15:18. Умножив на 2, получим
20:24:30:36. Возьмем на пианино доминантсептаккорд, например, от
ноты Ля. В нем будут звуки Ля, До-диез, Ми, Соль. А если минорный
септаккорд от Ля, то будут звуки Ля, До, Ми, Соль, Т.е., и в первом
и во втором случае последняя нота Соль. А в числовых соотношениях
коэффициенты частот разные - в первом случае 35, а во втором 36 - а
на пианино одна и та же нота. Ответ в том, что ноты на пианино по
частотам данным коэффициентам соответствуют лишь приближенно, но в
допустимых пределах музыкальных интонаций и связано это с
применением равномерно темперированного строя - он применяется
сейчас почти повсеместно. И на реальном пианино этот коэффициент
примерно равен 35,6 - т.е., нечто среднее. Природные соотношения
частот всё же звучат чище, но доступно это в основном на
инструментах с нефиксированным строем или на инструментах,
предназначенных для игры в какой-нибудь одной тональности.
     Следует также отметить, что доминантсептаккорд и минорный
септаккорд имеют по своей сути разную природу, поэтому и разные
коэффициенты - 35 и 36 соответственно. Доминантсептаккорд получился
из более простого соотношения частот  4:5:6:7, а минорный
септаккорд по своей сути содержит в себе минорное и мажорное
трезвучие,содержащие общую терцию, т.е., он более искусственный по
соей сути и имеет более сложное соотношение частот. Да и вообще
минор - образование хотя и устойчивое, но где-то также более
искусственное, чем мажор. Хотя бы потому, что часто требует для
своей гармонизации мажорный аккорд в качестве доминанты - для
смягчения интонаций. В диатонической гамме такой аккорд не
возьмёшь. Он требует введения дополнительной ступени (повышенная 7
ступень минора). Да и в минорных мелодиях эта "плавающая" 7-я
ступень используется нередко. В До-мажорной (Ля-минорной) гамме это
будет нота Соль-диез. А доминантсептаккорд для Ля-минора E7
содержит ноты Ми, Соль-диез, Си, Ре.
      Но откуда это вообще взялось - звукоряд, почему нот семь, а в
октаве на пианино 12, и т.д.?
      Ну, очевидно, что приятные сочетания звуков - это ноты с какими-то
простыми числовыми соотношениями. Человеческому сознанию вообще
свойственно фиксировать и запоминать не очень много предметов. Еще
подсознательное стремление к законченной форме. А законченную форму
дают из небольших чисел, например, число 4. И вот, представим себе
для начала гамму из трех нот - с простыми числовыми соотношениями.
Очевидно, это будет 4:5:6 - мажорное трезвучие или его подобие.
Тоникой в нем считается нота с коэффициентом 4. Дополним его нотой
с коэффициентом 8 - это тоже тоника, но на октаву выше основной. И
вот, звукоряд с частотным соотношением 4:5:6:8. Т.е,, арпеджио по
мажорному аккорду. Да это же использует исполнитель на фанфаре!
Или, иными словами, горнист в пионерлагере или воинской части (см.
в Большой Советской Энциклопедии статью "Заря")
     А если гамма из четырех нот? Очевидно, за основу следует взять
доминантсептаккорд как обладающий простым числовым соотношением
4:5:6:7. Если дополнить его завершающим звуком на октаву выше
исходного, получим 4:5:6:7:8. Если поиграем на инструменте,
используя только эти ноты Соль, Си, Ре, Фа - можно бегать по разным
октавам, почувствуем что-то рок-н-рольное - и грусти в таком как-то
нет. Некая исходная природа без печали. Правда, лучше играть на
электрогитаре, слегка подтягивая в нужных местах струны, чтобы
соотношение частот было более чистым.
     Проект гаммы из 5 нот. Возьмем ноты с частотными коэффициентами
5:6:7:8:9. Это приблизительно соответствует нотам Си, Ре, Фа, Соль,
Ля. Т.е, это пентатоника, но не традиционная китайская, а некая
рок-н-рольно-доминантсептаккордная. В традиционно-китайской ноты
были бы Си, Ре, Ми, Соль, Ля и тоника на Соль или Ми - т.е. Ми
вместо Фа. А в этой тоника примерно на Соль, хотя может быть и на
других нотах. Попробуйте поиграть на ней импровизацию, используя
бас Соль. А потом возьмите бас До и поиграйте гамму с такой
пентатоникой, построенной по доминансептаккорду До - т.е. по нотам
Ми,Соль, Си-бемоль, До, Ре. А потом возьмите бас Ре и поиграйте по
соответствующей ей гамме - Фа-диез, Ля, До, Ре, Ми. Вы
почувствовали рок-н-рольные возможности, дунуло ветром из 1960-х?
На басах Соль, До, Ре как бы построена тоника, субдоминанта и
доминанта, но каждая обыгрывается своим звукорядом.
Кстати, в "нормальной китайской" пентатонике соотношение частот
примерно 15:18:20:24:27 - Ми, Соль, Ля, До, Ре. Подобную
пентатонику без труда можно получить, играя на пианино только по
черным клавишам - только ноты будут другими. С подобным
соотношением сопротивлений серийно выпускаются резисторы и
конденсаторы.
       Гамма из 6 нот. Рассмотрим звукоряд с частотами 6:7:8:9:10:11. Это
примерно Ре,Фа,Соль,Ля,Си,До. Причем Си здесь чуть ниже
нормального, но выше, чем Си-бемоль. Все-таки ближе, по-моему, к
нормальному Си. Напоминает дорийский лад (тоника Ре). Данная гамма включает в себя нормальную "китайскую" пентатонику, если не играть ноту Си.
       Гаммапроект из 7 нот. А теперь сдвинемся на шаг и рассмотрим
звукоряд с частотами 7:8:9:10:11:12:13 Фа,Соль,Ля,Си,До,Ре,
Ми-бемоль. Да, последняя нота ближе к Ми-бемоль, чем к Ми.
Попробуйте поиграть на инструменте используя только эти ноты. Что
вы ощущаете? Во первых, много ли вы где видали в нотах у
скрипичного ключа, чтобы единственный ключевой знак альтерации был
Ми-бемоль? Во вторых, при игре ощущается, что лад несет в себе
признаки как минора на тонике Ля - с блюзовым характером, с
пониженной 5-й ступенью (Ми-бемоль), так и минора на тонике До.
При этом в чистом виде доступны трезвучия До-минор, Ре-минор,
Фа-мажор, Соль-мажор, а также трезвучия с надстройками Cm6, Dm7,
F7,G7, а также Dm6 и F6. При игре секвенциями по доступным
благозвучным аккордам можно добиться музыки, весьма схожей по
характеру с некоторыми композициями Земфиры Рамазановой - "Луна
убывает - такое бывает" - вот откуда оно пошло! Попробуйте поиграть
на инструменте по аналогии, как в абзаце с "дикой" пентатоникой
(соотношение частот 5:6:7:8:9). Вначале возьмите бас Ля и поиграйте
в гамме Фа,Соль,Ля,Си,До,Ре, Ми-бемоль.
Потом возьмите бас Ре и поиграйте в соответствующей гамме
Си-бемоль, До, Ре, Ми, Фа, Соль, Ля-бемоль. Потом возьмите бас Ми и
поиграйте в соответствующей ему гамме До, Ре,Ми, Фа-диез, Соль, Ля,
Си-бемоль. Вы, наверное, уловите в исполняемой вами музыке
тревожный оттенок, как в каком нибудь фильме 1960-70-х годов, где
милиционеры на мотоциклах ранним туманным утром выехали ловить
преступников - во многом из-за признаков минорного блюза.
      Про следующий шаг и как получилась нормальная диатоника можно
прочесть в книге С.Газарян "В мире музыкальных инструментов"
М.Просвещение, 1989, глава "Арифметика музыки", с.84...96 - главы
из этой книги также публиковались в журнале "Юный техник" в 1980-е
годы.
      Если соотношение нот диатонической гаммы представить соотношением
возможно более простых чисел, получим примерно следующее
30:32:36:40:45:48:53. Ми,Фа,Соль,Ля,Си,До,Ре.
      
      Соотношение частот некоторых употребительных аккордов.
Большой мажорный септаккорд. Состоит из наслоения мажорного
трезвучия и минорного трезвучия, содержащих общую малую терцию.
Соотношение частот 8:10:12:15. В диатонической До-мажорной гамме
доступны 2 вида: C+7 (До,Ми,Соль,Си) и F+7 (Фа,Ля,До,Ми).
      Минорное трезвучие с секстой. Соотношение частот 5:6:7:9. В
диатонической До-мажорной гамме доступен только один вид Dm6
(Си,Ре,Фа,Ля). Из известных советских композиторов-песенников
водить мелодию по уменьшенному трезвучию, содержащемуся в этом
аккорде, любил Марк Фрадкин - это было его "фишкой" ("Вернулся я на
родину" и достаточно много других, менее известных его песен).
      Звуки с частотным соотношением 4:5:6:7:9 либо 5:6:7:8:9 образуют нонаккорд. В диатонической гамме доступен вида G9 (Соль,Си,Ре,Фа,Ля). Похожий аккорд можно слышать, например, под конец композиции "Because" группы Beatles.
      Увеличенное трезвучие. Состоит из двух больших терций, использующих
общую среднюю ноту. В диатонической гамме этот аккорд взять
невозможно, равно как и в пентатонической  - при взятии необходимо
задействовать не менее одной черной либо не менее одной белой
клавиши. По существу, их во всей музыке только 4 вида, каждый имеет
по 3 обращения. Является "симметричным" аккордом, т.е, если от
самого верхнего звука построить еще одну большую терцию, придем к
начальному звуку, но на октаву выше. Используется в аранжировках
главным образом как проходящий, кратковременно звучащий  аккорд в
силу невысокой устойчивости - для разукрашивания и повышения
эффектности композиции - пользоваться нужно умело.
Соотношение частот 16:20:25. Пример C+5 - или по-другому Caug (До,
Ми, Соль-диез).
В тягучих мажорных произведениях может вызывать ощущение этакого
ягодного сладкого карамельно-мажорного сиропа.

     Малый вводный септаккорд (7dim), в западных нотациях также может обозначаться цифрой 0.
Состоит из трех малых терций, имеющих между собой два общих
звука. В диатонической, тем более в пентатонической гамме взять
также невозможно - обязательно будет не менее 1 черной клавиши и не
менее 2 белых. Во всей музыке существует только 3 вида - остальные
- обращения самих себя. Соотношение частот (приблизительное)
25:30:36:42. Ну, или 30:36:42:49 (49 - это приблизительно 50=25 х 2). Обладает напряженным, несколько печальным звучанием.
Искусственность чувствуется на слух. Но если использовать умело, в т.ч. в арпеджио, может звучать интересно - там где нужны
мрачноватые краски. Такие аккорды в силу нейтральности могут
использоваться для перехода из тональности в тональность.
Пользоваться нужно аккуратно, как приправой, т.к. если вы
перегрузите композицию подобными нейтральными аккордами, из нее
может пропасть смак и она не будет производить цельного
впечатления. Пример F7dim (Фа, Соль-диез, Си, Ре). Данный аккорд
может являться частью более сложного аккорда - доминантсептаккорда
с пониженной ноной - вида7-9 (7минус9). Такой аккорд иногда
используется в качестве доминантсептаккорда в минорных
произведениях. Пример E7-9 или по-другому E7Ь9 (ноты Ми, Соль-диез,
Си, Ре, Фа) - что-то вроде 24:30:36:42:49. Или 24:25:30:36:42.
Лично мне не всегда нравится, как звучит малый вводный септаккорд в
некоторых популярных песнях - уж больно он зудит - и тогда я его стараюсь
заменить при адаптации песни чем-то другим подобным, но менее
зудящим - чаще, аккордом вида m6 либо доминантсептаккордом- в
зависимости от контекста. Однако в инструментальной музыке и некоторых
песнях Оззи Озборна ("Killer Of Giants") такой аккорд уместен.
Аккорд вида 7Ь9 таких нареканий у меня не вызывает.   

      И так, подводя итог, вы увидели, что натуральные лады с простыми
соотношениями частот звуков не совсем  похожи на
повсеместно внедряемые понятия "мажор" и "минор", а зачастую
представляют собой нечто среднее между мажором и минором - типа
миксолидийского мажора (звукоряд До-мажор с нотой Си-бемоль вместо
Си), или дорийского минора (звукоряд Ля-минор с Фа-диезом вместо
Фа) или блюзованный лад (Ля минор с Ми-бемолем вместо ми). И всё
это активно всплыло в электрическом роке, особенно рубежа 1960-70
годов. И, кажется, это не воспринимал тогдашний союз советских
композиторов, несмотря на близость ладов к природе. Хотя такие лады
использовались в русских народных песнях ("Комаринская"), и звукоряд
ливенских гармошек 19 века звучал по-рок-н-рольному. Однако
попсовыми такие лады не стали - их свежесть мешала людям спать. А
спать некоторым очень хотелось, особенно их совести или разуму. А
тональностей, всё же, пожалуй, 12, а не 24 - потому что всего 12
способов расположения знаков при ключе. Но я в данной публикации
предложил еще один (см.выше). Может, такие музыкальные лады не
столь привычны массам и на них не напишешь "Вдоль Чегабана", и
рок-н-рольщики того периода- кто выдохся, а кто физически постарел,
и всё же, тем не менее, звуки, дарованные природой продолжают
действовать.
     А число 7 - издавна считалось число гармонии- 7 цветов радуги и
всевозможные упоминания в сказках и пословицах, да и в жизни - 7
дней недели,семья и пр. К тому же 7+1=8 дают законченную форму.
Например, начали гамму с ноты До, и двигаясь вверх, закончили
верхней нотой До уже следующей октавы. Получилось нечто
подсознательно законченное - квадрат.

P.S.Вот, кто-то на форуме сказал. "Не было ни одного известного музыканта-математика". А Пифагор? А Борис Гребенщиков? Можно сюда как бы Эйнштейна с Максом Планком добавить, но они скорее физики. Но физиков среди музыкантов не так уж и мало, тем более с электро- или радиотехническим образованием.

А статья написана, чтобы читающие ощутили, что мирозданием правит гармония и что красота музыки касается красоты человека тоже, особенно внутренней.