Школьникам на заметку. Христиан Гюйгенс

Перевод статьи на английский язык, упоминание о статье и любое использование опубликованного в статье материала в англоязычных публикациях без разрешения автора запрещается!


1. От автора.

В среде учёных вполне допускается, что одни учёные поправляют других или указывают на их ошибки. Но считается, что на ошибки «великих» должны указывать не менее известные учёные. Например, Альберт Эйнштейн, вроде бы как своей общей теорией (ОТО) показал неполноту теории тяготения Ньютона. А Исаак Ньютон, в свою очередь, своим «законом инерции» отметил ошибочность и неполноту воззрений Аристотеля на движение тел, будто бы возможное лишь при использовании силы. Также считается, что Христиан Гюйгенс в своё время отметил ошибки Галилео Галилея в кинематике, в том числе то, что равномерное движение по окружности невозможно без постоянного ускорения (Галилей это отрицал).
Но часто всё это при близком рассмотрении выглядит ерундой, высосанной из пальца. Теория Эйнштейна на поверку оказывается абстракцией, не отражающей объективную реальность. Недалеко, впрочем, от неё ушла и несостоятельная теория «всемирного тяготения» Ньютона. А воззрения Аристотеля имели под собой реальное основания, так что во многом даже ошибочными не являлись. Гюйгенс, будучи действительно великим учёным, много сделавшим для развития разных наук, тем не менее выступил «злым гением» для механики, ошибочно «отменив» совершенно правильное мнение Галилея о равномерном (без ускорения) вращении по окружности и заставив на четыре с лишним столетия всех учёных неверно интерпретировать реальность!


2. Некоторые ошибки Гюйгенса.

Википедия предлагает основательную статью о Гюйгенсе, его биографии и научном вкладе в фундаментальные знания человечества. Приведём лишь пару сокращённых отрывков из этой статьи, имеющих отношение к данной публикации.

«В 1673 году Христиан Гюйгенс опубликовал классический труд по механике – «Маятниковые часы» («Horologium oscillatorium, sive de motu pendulorum an horologia aptato demonstrationes geometrica»). … Кроме теории часов, сочинение содержало множество первоклассных открытий в области анализа и теоретической механики. …Это и другие его сочинения имели огромное влияние на молодого Ньютона. …Гюйгенс выводит законы равноускоренного движения свободно падающих тел, основываясь на предположении, что действие, сообщаемое телу постоянной силой, не зависит от величины и направления начальной скорости. Выводя зависимость между высотой падения и квадратом времени, Гюйгенс делает замечание, что высоты падений относятся как квадраты приобретённых скоростей».

И ещё один отрывок из этой же статьи:
«В последней, пятой части своего сочинения Гюйгенс дает тринадцать теорем о центробежной силе. Эта глава даёт впервые точное количественное выражение для центробежной силы, которое впоследствии сыграло важную роль для исследования движения планет и открытия закона всемирного тяготения. Гюйгенс приводит в ней (словесно) несколько фундаментальных формул:
для периода колебаний: T = 2п(L/g)^(1/2);
для центростремительного ускорения: a = v^2/R».


Теперь проанализируем эти сведения с позиций сегодняшних знаний.
1) «…Гюйгенс дает тринадцать теорем о центробежной силе».
Современная наука отрицает наличие центробежной силы, то есть все эти теоремы либо неверны, либо относятся к другим силам.

2) «…точное количественное выражение для центробежной силы… впоследствии сыграло важную роль для исследования движения планет и открытия закона всемирного тяготения».
Так как центробежной силы нет, то движение планет обусловлено другими силами. Поэтому ошибочным является «количественное выражение», выведенное Гюйгенсом, и потому оно «сыграло важную роль» для открытия несуществующего, то есть ошибочного «закона тяготения» (вспомним, что сочинения Гюйгенса «имели огромное влияние на молодого Ньютона»). Проще сказать, что данная ошибка Гюйгенса предопределила путь теоретической физики (не путать с физикой экспериментальной) как кривую извилистую дорожку безосновательных допущений и абстрактных теорий, заставив физику свернуть с прямолинейной траектории, по которой она до того шла вместе с наукой экспериментальной, ведомая Кеплером и Галилеем.

3) «Выводя зависимость между высотой падения и квадратом времени, Гюйгенс делает замечание, что высоты падений относятся как квадраты приобретённых скоростей».
То есть по Гюйгенсу, квадрат скорости «v1» предмета, упавшего с высоты «r1», относится к квадрату скорости «v2» предмета, упавшего с высоты «r2», так же, как относятся высоты падений этих предметов
r1/r2 = v1^2/v2^2.
Такое соотношение можно вывести, только если допустить, что ускорения «а1» и «а2» предметов, падающих с разных высот «r1» и «r2», одинаковы
а1 = v1^2/2r1 = v2^2/2r2 = а2.

Но в этом случае «высоты падений относятся» не только «как квадраты приобретённых скоростей» движения предметов
r1/r2 = а2v1^2/а1v2^2,
а ещё их отношение обратно пропорционально коэффициенту, равному отношению их ускорений (а1/а2). И этот коэффициент у Гюйгенса равен 1, то есть он посчитал, что ускорения падающих предметов равны.

Ускорение падения предмета зависит от высоты «r» падения и от времени «t» падения и легко рассчитывается из наблюдений
а = v/t = 2r/t^2.
Но в те времена замерить точное время падения предметов было невозможно. Поэтому, даже если замечалась мизерная, при небольших высотах, разница в ускорениях падения тел, то она просто «списывалась» на неточность замеров. Секундомеров тогда не было. Гюйгенс сам изобретал достаточно точные для того времени маятниковые часы, и Галилей рассчитывал скорости падающих тел с помощью счётчиков, действие которых было основано на колебаниях маятника, а до того даже считал пульс у себя на руке. Поэтому нет ничего удивительного в том, что ускорение свободного падения при расчётах получалось примерно одинаковым, с какой бы высоты ни кидал предметы экспериментатор.

Интересно то, что это допущение Гюйгенса о равенстве ускорений при разных высотах падения не согласуется даже с «открытым» Ньютоном через 14 лет на его же основе мнимым «законом всемирного тяготения», так как, согласно Ньютону, Земля «притягивает» предмет не поверхностью, а центром масс. Значит, расстояния движения предметов должны быть записаны в виде «r1=R1-R» и «r2=R2-R», где R – это радиус Земли, и каждое «R1» или «R2» – это расстояние от центра Земли до поднятого на высоту «r1» или «r2» предмета. А ускорение падения каждого предмета, согласно тому же «закону тяготения», обратно пропорционально квадрату расстояния от центра планеты до предмета и прямо пропорционально массе М планеты и гравитационной постоянной G
а1 = МG/(r1+R)^2,
а2 = МG/(r2+R)^2.
Если бы ускорения были равны, то их отношение сводилось бы к выражению
(r2+R)^2/(r1+R)^2 =1,
а такое отношение никак не может являться верным при различной высоте падения предметов.
Итак, согласно «закону о всемирном тяготении тел», значение «ускорения свободного падения» зависит от расстояния до центра Земли, поэтому ускорения предметов «а1» и «а2», падающих с разной высоты, никогда не равны между собой, и Гюйгенс ошибался даже с позиции открытого позднее «закона тяготения». А Ньютон, со своей стороны, не то, чтобы специально этого не замечал, но считал этот факт мелочью, недостойной внимания. Такое отношение к данному факту сохранилось в науке и поныне.

4) «В последней, пятой части своего сочинения …Гюйгенс приводит … несколько фундаментальных формул:
для периода колебаний: T = 2п(L/g)^(1/2);
для центростремительного ускорения: a = v^2/R».

Уравнение периода колебаний маятника ошибочным не является, это доказано постоянной практикой, но уточнить его вполне допустимо. Ко времени жизни и деятельности Гюйгенса уже больше полвека как были известны выведенные Кеплером эмпирические законы, достаточно хорошо описывающие движение планет в Солнечной системе. Но Гюйгенсу почему-то (да и потом тоже никому) не пришло в голову распространить третий закон Кеплера также на движение предметов в пространстве, окружающем планету Земля. Тогда настоящие скорости перемещения в пространстве предметов, поднятых над земной поверхностью, в том числе маятника – его основания и его груза, – можно найти из соотношения Кеплера
v1^2/v2^2 = (R+r2)/(R+r1),
где R – это расстояние от центра Земли до поверхности в точке проведения эксперимента, r – расстояния предметов над земной поверхностью.
Ведь причина изохронности раскачивания груза маятника в том, что точка, к которой крепится нить, расположена дальше, чем груз, от центра Земли, и эта точка вращается вокруг Земли чуть-чуть с другой угловой скоростью, нежели груз, который вынужден колебаться, догоняя основание маятника.

Кроме того, можно рассчитать период колебаний маятника строго математически – для этого достаточно взглянуть на рисунок 2, перевернув его, и представить, что отрезок ОВ является нитью маятника длиной R, который раскачивается относительно оси ОA на угол «2ф» в каждую из сторон от оси. Исходя из того, что груз маятника, перемещаясь по дуге из точки В в точку A, приобретает свою максимальную скорость, равную той, которую бы груз приобрёл, падая на оси ОА с небольшой высоты «h» в точку А (то есть, упав по вертикали в точку А из проекции точки В на оси ОА), и предполагая колебания маятника равномерными, без учёта трения, мы получим время Т одного полного колебания
T = 8*(L/g)^(1/2).
Это уравнение полного «математического» периода колебаний наглядно показывает, что число «2п» у Гюйгенса, вместо строгого числа «8», подобрано с практической стороны, чтобы учесть вещество подвеса (материал нити) маятника, сопротивление воздуха, трение подвеса (нити) и, возможно, некоторые другие условия.


Теперь перейдём к выводу формулы центробежного (или центростремительного) ускорения и на этом задержимся более основательно и подробно, поскольку эта тема очень важна для всей механики, в том числе небесной. Наличие центростремительной силы в своё время Ньютон, ещё при жизни Гюйгенса, постулировал как противодействие центробежной силе, равной ей по значению и противоположной по направлению. А предположение о центробежных силах Христиан Гюйгенс сделал ещё в 1659 году. Основываясь на исторических данных, можно показать, как рассуждал Гюйгенс в своём трактате «О центробежной силе», сравнивая предполагаемую им центробежную силу и силу тяготения предмета к земле. Он рассматривал равномерно вращающееся большое колесо, к которому на короткой нити был прикреплён груз в виде шарика (см. рис.1, взят из книги: Г.М.Голин, С.Р.Филонович «Классики физической науки», М., 1989).

«Пусть колесо BG движется в горизонтальной плоскости около центра А. Прикреплённый к ободу шарик, пришедший в точку В, стремится продолжать своё движение по прямой ВH, касательной к колесу. В этом направлении шарик начал бы двигаться, если бы освободился от колеса. Шарик будет продолжать это движение неизменно, если только не будет отклонён вниз своей тяжестью или же если его движению не воспрепятствует столкновение с другим телом. На первый взгляд, трудно понять, почему тогда существует натяжение нити АВ, если тело В стремится двигаться по прямой ВH, перпендикулярной вытянутой нити. Но всё объясняется следующим образом».

Тут Гюйгенс предлагает представить человека, кружащегося на большом колесе (типа карусели) и держащего в руках свинцовый груз, который он может в какой-то момент выпустить из рук, например в точке В.
«Возьмём равные дуги ВЕ и ЕF, малые по сравнению с длиной окружности, например, в сотую долю окружности или ещё меньше. Эти дуги человек на колесе пройдёт за одинаковое время. А свинец, если его освободить, за те же промежутки времени прошёл бы по касательной равные этим дугам длины ВС и СD. Правда, точки С и D придутся не на продолжение АЕ и АF, а немного правее, ближе к В. Теперь ясно, что свинец, будучи свободен, находился бы в С, когда человек придёт в Е, и в D, когда человек придёт в F. (…)
Если бы точки С и D лежали на продолжении прямых АЕ и АF, то свинец стремился бы удалиться от человека по линии, идущей от центра через человека, причём в первом промежутке времени он удалился бы на ЕС, а во втором – на FD, и т.д. Эти расстояния растут как ряд квадратов, начиная с единицы: 1, 4, 9, 16 и т.д.
Поэтому можно считать, что в самом начале движения этих отступлений от ряда не будет. Следовательно, это стремление совершенно подобно тому, что мы чувствуем, когда держим (свинцовый) шарик за нить, так как шарик тоже стремится удалиться в направлении нити таким же ускоренным движением, так что в конце первого промежутка времени тело пройдёт малое расстояние 1, в конце второго промежутка 4 таких малых расстояния, в конце третьего – 9 малых расстояний и т.д. (…)
Достаточно, чтобы эта прогрессия осуществлялась в самом начале движения по кривой. Потом шар может двигаться по какому угодно другому закону, что уже не имеет отношения к стремлению, существующему до начала движения. Указанное стремление совершенно сходно с тем стремлением, с каким подвешенные тела стремятся двигаться вниз.
Отсюда мы заключаем, что центробежные силы разных тел, движущихся по одинаковым кругам с одинаковой скоростью, относятся друг к другу как веса тел или как количества материи. Как все весомые тела стремятся падать вниз с одинаковой скоростью и одинаковым ускоренным движением, и притом это стремление обладает тем большей силой, чем они больше, так должно быть и с теми телами, которые стремятся удалиться от центра, так как их стремление подобно тому, которое происходит от тяготения. Но, в то время как стремление падать у одного и того же шара всегда одно и то же всякий раз, когда он подвешен на нити, центробежное стремление разное в зависимости от скорости вращения. Остается еще исследовать величину стремления, в зависимости от скорости. (…)»

Далее Гюйгенс рассматривает с доказательствами два Предложения (I и II), из которых во втором «геометрически» и с допускаемыми приближениями доказывается, что «Если два равных тела вращаются на одинаковых дугах или колесах с разными скоростями, но оба с равномерным движением, то сила удаления от центра у более быстрого тела относится к силе более медленного, как квадраты их скоростей». Таким образом, вывод формулы центробежного ускорения Гюйгенс в своём трактате даёт только в словесной форме.
По прикидкам Гюйгенса, центробежная сила всегда, при вращении тела с постоянной линейной скоростью «v» вокруг центра, «тащит» тело из круга с ускорением «a = v^2/R» по радиусу от центра (R – длина радиуса). Сегодня, используя рисунок 2 в начале статьи, «центробежное» ускорение на отрезке АК предполагаемого «убегания» тела из круга я могу легко вывести следующим образом:
a = 2h/t^2 = (v^2/R)*(2/ф^2)*(1-cos ф)/cos ф,
где «t = ф*R/v» – это время поворота радиуса ОВ на угол «фи» от точки В к точке А,
h = (R/cos ф - R) – это длина отрезка АК, так как треугольник ОВК прямоугольный с гипотенузой ОК и катетом ВК, лежащим на касательной к окружности.
В приведённой формуле ускорения «а» при малых значениях угла «ф» значение выражения [(2/ф^2)*(1-cos ф)/cos ф] очень близко к 1. А именно, чуть-чуть больше единицы (я сам проверял, вычисляя) для значений угла в 2 градуса и 1 градус, а при меньших значениях – от 0,5 до 0,02 градуса – уже не дотягивает до единицы тысячные и затем сотые доли. Таким образом, ускорение у Гюйгенса получалось действительно примерно равным «v^2/R».
Всё тут понятно, но при некотором размышлении возникает сразу несколько замечаний.

Во-первых, Христиан Гюйгенс полагал, что шар, оторвавшись от верёвки (от связи с центром), движется дальше по касательной к окружности, а это верно лишь при обрыве связи в точке поворота, поскольку в этих точках к шару по касательной каждый раз приложена тангенциальная сила. Суть в том, что на каждом участке окружности шар движется по сторонам правильного многоугольника, вписанного в окружность. Поэтому между поворотами, двигаясь по какой-то из сторон, шар при обрыве связи будет продолжать равномерное движение по линии этой стороны. На схеме (тот же рис.2), двигаясь по стороне СВ и оторвавшись, не достигая точки В, шар продолжит движение к точке Р. Поэтому изменится не только формула ускорения, но и арифметическое значение ускорения увеличится примерно в два раза. Уравнение нетрудно вывести из соотношений в прямоугольном треугольнике ОNР:
a = 2(АР)/t^2 = (v^2/R)*(2/ф^2)*(cos ф/2 - cos 3ф/2)/cos 3ф/2,
где «t = ф*R/v» – это время поворота радиуса ОВ на угол «фи» от точки В к точке А,
(АР) = (ОР) – (ОА) = (ОN)/cos 3ф/2 - R = (R*cos ф/2)/cos 3ф/2 - R) – это длина отрезка АР, так как треугольник ОNР прямоугольный с гипотенузой ОР и катетами ОN и NР.
В приведённой формуле ускорения «а» при малых значениях угла «ф» значение выражения [(2/ф^2)* (cos ф/2 - cos 3ф/2)/cos 3ф/2] всегда очень близко к 2. А именно, чуть-чуть больше двойки на миллионные или тысячные доли для разных значений угла от 2 градусов до 0,02 градуса. Таким образом, в этом случае ускорение шара при предполагаемом действии «центробежной» силы получилось бы примерно равным «2v^2/R», то есть вдвое больше, чем рассчитанное Гюйгенсом.

Во-вторых, по умолчанию обращение шара вокруг центра рассматривается в горизонтальной плоскости, в которой земное притяжение одинаково для него в каждой точке плоскости и, соответственно, не учитывается ускорение свободного падения. Если же рассматривать вращение в вертикальной плоскости, то ускорение при движении вниз от верхней точки окружности будет существенно отличаться от ускорения при движении вверх от нижней точки.

В-третьих, – и это самое главное «недоразумение» в процессе вращения, который исследовал великий голландский учёный, – предполагаемая сила, направленная от центра по радиусу, должна быть приложена к шару каким-то конкретным телом, а не возникать из «ниоткуда» и «безымянно» действовать на предмет, который никем и ничем не подталкивается из центра по радиусу, а, наоборот, удерживается верёвкой на радиусе. Что получается? Что вращаемые предметы давят сами на себя, пытаясь двигаться с ускорением к точке К или Р, то есть они сами отталкиваются от поверхности круга в противоположную от центра сторону?
Гюйгенс, конечно, этот парадокс понимал и потому отметил, что ситуация подобна ситуации, когда предмет висит на нити, притягиваемый к земле неизвестной силой* (Ньютон в то время был молод и ещё не придумал «всемирное тяготение»), как будто сам себя тащит вниз, а удерживает его только нить. Это сравнение, конечно, является несостоятельным, ведь висящий на нити предмет находится в покое, так как силы, приложенные к нему, компенсируют друг друга. А вращающийся на нити предмет находится в движении, и движется он именно потому, что к нему в каждой точке окружности приложена ничем не компенсированная сила, являющаяся равнодействующей двух сил – силы натяжения верёвки и силы тангенциальной. Из-за приложения именно этой силы предмет стремится «выйти» из круга по инерции в каждой поворотной точке окружности. Направленность этого стремления двигаться по инерции – строго по продолжению стороны вписанного многоугольника, в сторону от окружности и пересекая линию, касательную к окружности, а не по самой касательной, как предполагал учёный. Именно это направление «в сторону, пересекая касательную» создаёт иллюзию воздействия с направлением от центра вращения к окружности. Так что нет в процессах вращения никакой загадочной «центробежной» силы.
(*    Под неизвестной силой – силой тяготения к Земле – в то время многие ещё привычно подразумевали стремление всех тел к покою, идею которого выдвинул ещё Аристотель в 4 веке до н.э.)

5) «…Гюйгенс выводит законы равноускоренного движения свободно падающих тел, основываясь на предположении, что действие, сообщаемое телу постоянной силой, не зависит от величины и направления начальной скорости» тела.
Обращают на себя внимание три словосочетания: «равноускоренное движение», «постоянная сила» и «сообщаемое силой действие».

Гюйгенс «основывался на предположении», то есть предполагал (и это ничем не доказывалось, просто он лично так думал), что существует «постоянная сила», что как будто воздействие Земли на предметы постоянно – оно не прерывается во времени и одинаково по всей длине воздействия на предмет. Поэтому, как следствие, существует и «равноускоренное движение» – ускорения всех падающих предметов в поле этого воздействия непрерывны и равны, то есть изменения скорости падения («сообщаемые предметам действия») у всех предметов одинаковы по значению и «не зависят от величины и направления начальной скорости» предметов. Он так предполагал только потому, и выше по тексту это было показано, что падение тел изучалось на небольших высотах, не больше двух-трёх десятков метров, и экспериментально определить разницу в ускорениях падения тел с помощью приборов измерения того времени было просто невозможно. А вот с позиции позднее «открытого» Ньютоном «закона всемирного тяготения», ускорение стало зависеть от высоты над земной поверхностью, и чем выше находится предмет, тем меньше должно быть его ускорение, потому что больше квадрат расстояния до центра Земли.
Но, если с высотой ускорение падающих тел изменяется, то о каком «равноускоренном» движении и  о какой «постоянной» силе может идти речь?


3. То, чего Гюйгенс не предполагал.

Если физическое тело перемещается с постоянной скоростью, то эта неизменная величина является его средней скоростью – физической величиной процесса перемещения. Если при перемещении тела его скорость на разных участках неодинакова, то есть изменяется от участка к участку, это свидетельствует о приложении разных сил на каждом участке перемещения. Так как воздействие характеризуется величиной (силой), направлением и точкой приложения силы, то можно сделать вывод, что подобное перемещение тела на разных участках вызывается одной из следующих возможных причин
1) сила прикладывается к телу в направлении, отличном от направления на предыдущем участке, в том числе, в противоположном направлении (тормозящая),
2) сила прикладывается к телу в том же направлении, что и на предыдущем участке, но большая или меньшая по значению (ускоряющая),
3) сила к телу уже не прикладывается, и тело движется равномерно и прямолинейно с постоянной скоростью до границы следующего участка (до следующего приложения силы).

Понятно, что разговор ведётся о результирующей силе на одном линейном участке – сумме всех одновременно приложенных к телу сил. Но суть не в этом, а в том, что сила как величина воздействия на тело определяется только для одного воздействия в одном направлении на одном прямолинейном участке пространства. Поэтому так называемые сила тяжести, сила трения, сила упругости, центростремительная или центробежная сила и тому подобные «постоянные силы» не являются «силой» по определению – это не одномоментная равнодействующая сила, а последовательность сил, прикладываемых в разных точках (на разных участках) в разные моменты времени. Их можно назвать весом, усилием, давлением, «средней силой» или как-нибудь ещё, потому что они являются величиной не одного воздействия, а «средневзвешенной» величиной множества последовательных воздействий, совершаемых с определённой частотой на разных участках пространства.

Что можно добавить к тому, чего не мог знать и предполагать Христиан Гюйгенс, а если бы знал и предполагал, то никогда бы не вывел никаких «центробежных» ускорений, и тогда Ньютоном не было бы «изобретено» «Всемирное тяготение»:
- предмет может перемещаться с постоянно сохраняемой средней скоростью прямолинейно, при этом к предмету на каждом участке перемещения попеременно прикладываются противоположные, но равные по значению силы, так что предмет за малые промежутки времени то ускоряется, то тормозится (именно о таком движении, которое возможно лишь с применением силы, толковал в своё время Аристотель),
- предмет может перемещаться с постоянно сохраняемой средней скоростью по криволинейной траектории, которая складывается из коротких прямолинейных участков, при этом к предмету на каждом участке перемещения попеременно прикладываются две противоположные равные по значению силы, так что предмет на участке то ускоряется, то тормозится, а направление сил изменяется между участками перемещения по кривой.

Центр Земли вращает все принадлежащие ему физические тела вокруг себя. И в то же время Центр постоянно давит на любое своё тело поверхностью Земли. Если физическое тело поднять над земной поверхностью, то есть удалить от центра – например, подкинуть тело вверх, – то центр начинает догонять его, он движется к поднятому над земной поверхностью телу и одновременно вращает это тело вокруг себя, заставляя тело относительно центра двигаться по спирали, вращаться, уменьшая радиус вращения. При этом скорость вращения увеличивается в каждой точке радиуса с приближением к центру. Именно этот процесс мы наблюдаем как падение предмета.

Сила тяжести, которую мы привыкли отождествлять с весом физического тела у земной поверхности, является, в действительности, величиной воздействия, обусловленного давлением планеты Земля на физическое тело, и направлено это воздействие от центра тяжести планеты к центру тяжести физического тела, то есть противоположно направлению силы земного «тяготения», придуманной Ньютоном и его предшественниками.