Пустая забава

               
Пустая забава
                «Бросая в воду камешки, смотри на круги, ими образуемые;
                иначе такое бросание будет пустою забавою.»
                (Козьма Прутков, Афоризмы)


Висят у меня на кухне электронные часы.
Однажды они показали мне такую картинку: 000000, означающую 00 часов, 00 минут, 00 секунд.
Структура картинки своеобразная. Каждый разряд имеет свой смысл и свои допустимые значения.
Разряд Смысл Значения
1 Десятки часов 0-:-2
2 Часы 0-:-24
3 Десятки минут 0-:-6
4 Минуты 0-:-60
5 Десятки секунд 0-:-6
6 Секунды 0-:-60

В этот раз для показа этого времени потребовалось 6 раз повторить цифру 0.
Назовём такое исключительное событие «Счастье 6».
Легко понять, что следующее «Счастье 6» будет через 11 часов,11 минут,11 секунд.
И будет оно выглядеть так: 111111.  Потом 222222. А уже следующая картинка 333333 невозможна, ибо в сутках всего 24 часа.
Значит, случаев «Счастье 6» есть только 3 и вероятность встречи с ними равна
         3:86400= 0.003%.
Картинка меняется каждую секунду, значит всего их будут столько, сколько секунд в сутках.
А секунд в сутках вот сколько: 24 часа*60 минут*60секунд = 86400.
Хотелось бы узнать, сколько ещё интересных событий там встретится.
Но анализировать такое количество цифр затруднительно.
Здесь самое время вспомнить одно высказывание американского математика Пойа:
     «Когда математика просят проанализировать устойчивость стола,
       он быстро решает проблему устойчивости стола
      с одной ножкой, а остаток жизни посвящает устойчивости столов
      с количеством ножек от 2 до бесконечности.»
Следуя примеру этого математика, займёмся для начала более постой задачей.
В качестве стола с одной ножкой возьмём последние 4 разряда исходной картинки: 0000, означающую 00 часов, 00 минут.
Структура картинки своеобразная. Каждый разряд имеет свой смысл и свои допустимые значения.
1.В разряде «Десятки часов» могут показаться только цифры 0, 1 и 2. Больше 2 десятков часов в сутках не бывает.
2.В разряде «часы» - только числа от 00 до 24. Число 25 – это уже следующий час.
3.В разряде «Десятки минут» могут показаться только цифры от 0 до 6. Больше 6 десятков минут в часе не бывает.
4.В разряде «Минуты» - только числа от 00 до 60.Число 61 – это уже следующий час.

Разряд Смысл Значения
1 Десятки часов 0-:-2
2 Часы 0-:-24
3 Десятки минут 0-:-6
4 Минуты 0-:-60
Картинка меняется каждую минуту, значит всего их будут столько, сколько минут в сутках.
А минут в сутках вот сколько: 24 часа*60 минут= 1440.
В этот раз для показа этого времени потребовалось 4 раза повторить цифру ноль (0000).
Назовём такое исключительное событие «Счастье четырёх одинаковых цифр» или «Счастье 4 цифр».
Легко понять, что следующее «Счастье 4 цифр» произойдёт через 11 часов, 11 минут.
И будет оно выглядеть так: 1111.  Потом 2222. А уже следующая картинка 3333 невозможна, ибо в сутках всего 24 часа.
Значит, случаев «Счастье 4 цифр» есть только 3 и вероятность встречи с ними равна 3:1440=0.002= 0.2%.

Возникает вопрос: а что насчёт другого количества одинаковых цифр?
Технари и математики могут здесь возмутиться: Зачем изобретать велосипед? Эта задача уже 200 лет, как решена.
В общем случае: имеется n различных объектов. Будем выбирать из них m объектов и переставлять всеми возможными способами между собой (то есть меняется и состав выбранных объектов, и их порядок). Получившиеся комбинации называются размещениями из n объектов по m, а их число равно 
 Anm,=n!(n;m)!=n;(n;1);...;(n;m+1).
По определению, считают, что 0!=1,1!=1.
Символ n! называется факториалом и обозначает произведение всех целых чисел от 1 до n.
Пример всех размещений из n=3 объектов в группы по m=2. Согласно формуле, их должно быть A23=3;(3;2+1)=3;2=6.
И, в самом деле, мы видим:

А АБ ВА
 
Б АВ БВ
 
В БА ВБ

То-есть, формула не врёт, именно так и происходит.
Казалось бы, чего мудрить? Нужно использовать формулу числа размещений и праздновать победу.
Но, не тут-то было! Формула не учитывает наши специфические требования 1-:-4
и даёт очень завышенный результат.

Например, для случая 3-х одинаковых цифр, или «Счастье 3 цифр».
 В структуру из 4 «правильных» цифр 0000 нужно вставить 2 «посторонние» цифры, чтобы оказалось 3 разные цифры.
В 1 разряде имеют право показаться только 3 цифры: 0, 1 и 2. Трех десятков часов в сутках не бывает.
Во 2 разряде могут быть 25 цифр от 0 до 24. Больше 24 часов в сутках не бывает.
В 3 разряде имеют право показаться только 7 цифр: от 0 до 6. Семи десятков часов в часе не бывает.
В 4 разряде могут быть все 61 цифр от 0 до 60.
Это даёт 3+25+7+61=96 комбинаций.
На самом деле меньше, ибо ни одна «посторонняя» цифра не может быть равной «правильному» 0, иначе не будет 3 разных цифр.
Значит, возникнет 2+24+6+60=92 комбинации.
***************************
А в действительности мы имеем дело не только с минутами, но ещё и с секундами,
и с часами.
И картинка 000000 меняется каждую секунду, всего 24 часа*60 минут*60секунд = 86400 раз в сутки.
Значит, как и предупреждал Дьердь Пойя, придётся остаток жизни посвятить изучению того,сколько случаев из этих 86400 являются счастливыми.
***************************
Прав был незабвенный Козьма Прутков, предупреждавший:
             «Бросая в воду камешки, смотри на круги, ими образуемые;
              иначе такое бросание будет пустою забавою.»
***************************
  Feci quod potui faciant meliora potentes.
  = «Я сделал всё, что смог, пусть кто сможет, сделает лучше».               
                ==В.Давидович, Израиль, 28.09.2020 = =