Идеальный магический квадрат. Метод для школьников

На одной из конференций по открытиям в математике я сделал доклад об идеальных магических квадратах. Сокращенно ИМК. После отвечал на вопросы большой аудитории. Их писали на бумажках, передаваемых по рядам кресел. Я зачитывал и, по мере своих знаний, отвечал. После уже, отдыхая в номере гостиницы, снова перечитывал листочки. Одна из записок, которую почему-то не удалось зачитать в зале, оказалась чрезвычайно для меня интересной. Полностью приведу ее текст:

"Скажите пожалуйста, а существует ли самый простой способ построения ИМК, который мог бы осилить школьник младших классов? Например, путём написания натуральных чисел 1,2,3,... по определенному несложному правилу. Для простых МК такие способы есть. А для идеальных что-то не встречал."

Тут было над чем подумать! Не секрет, что школьники с большим удовольствием делают презентации (показом слайдов или видео) по магическим квадратам. Этих презентаций тысячи в инете, но все они однообразные, их материал крайне скуден. Магический квадрат Ло Шу, МК Дюрера, индийский метод для магических квадратов нечетного порядка, шахматный метод для МК двойной четности, МК шестого порядка Ян Хуэя (Китай, 13 век). Хотелось бы выдавать нечто новое, оригинальное, полученное в последние годы. Наука ведь развивается, решаются даже задачи тысячелетия.

Мне лет десять назад удалось создать общий метод построения идеальных магических квадратов при помощи так называемых числовых цепей Александрова. Однако он довольно сложный и не всякий даже старшеклассник его освоит. Хотя я дал в ютубе подробные лекции для студентов, но между студентом и школьником младших классов разница значительная. Как же помочь школьникам? Об этом я постоянно думал на протяжении нескольких месяцев.

Известно, когда всё время занимаешься интересной проблемой и пробуешь множество ходов для её решения, то это решение выявляется как бы случайно. С данной задачей произошло именно так. Мне бы надо было вести дневник всех умственных действий! Получилась бы настоящая детективная история. Такой шанс я к сожалению упустил и остается просто огласить результаты изысканий.

Я пришел к выводу, что самые простые идеальные магические квадраты - это ИМК(р),
где р - порядок квадратной матрицы, выраженный простым числом больше 3. Следовательно разговор пойдет об ИМК(5), ИМК(7), ИМК(11), ИМК(13) и так далее. Но не только. Если возьмем два простых числа р1 и р2 (но каждое больше 3), то можно успешно строить и ИМК(р1*р2), причем р1 может быть равным р2. Например, возможны ИМК(25), ИМК(49), ИМК(35), ИМК(55) и т.д. Это - уже составные идеальные магические квадраты.

Смотрим на рисунки, что над заголовком данной статьи. Показываю последовательность построения ИМК(5).
1) Единичку ставим в середине верхней строки (Рис.1).
2) Выделяем рамками две угловые пары ячеек (Рис.2).
3) Эти "доминушки" продолжаем диагонально но не доходя до центрального столбца (Рис.3). Очевидно, что всего таких доминушек должно быть р-1.
4) Начиная с цифры 1, числа проставляются следующими ходами удлинённого шахматного коня: три хода вниз и потом - ход вправо (Рис.4).
5) Как только натуральное число попадает в верхнюю половину доминушки, нужно следующее число писать в нижней половине этой же доминушки (Рис.5).
6) Такие циклы повторяются до заполнения всех ячеек (Рис.6).
7) Точно так же строим и ИМК(7) - см. Рис.7

Сочинил детский мнемоничческий стишок, выучив который можно не забыть вышеприведенный способ построения:

 ЧАРОДЕЙКИ

Чародейки Маша, Лиза
На квадрат наводят ушки:
Слева-сверху, справа-снизу
Расставляют доминушки.
Посредине верхней строчки
Единичку пишут срочно
И затем - три клетки вниз,
Шаг направо. И они
Уже двоечку рисуют.
Натуральный ряд ликует!
Повторяют циклы. Но
После цифры в домино,
Вниз прыжок необходим
Ровно на этаж один.
Так подружки-чародейки
Заполняют все ячейки.

Этот метод настолько прост, что его с лёгкостью освоил десятилетний сосед по даче.

Перейдем теперь к построению составных ИМК.
Если мы хотим построить, скажем, ИМК(25), то достаточно продолжить расстановку чисел. Например, на Рис.8 показан второй лист-продолжение. В итоге таких листов должно быть 25 штук. Каждый такой лист обязательно последовательно нумеровать. И уже пронумерованные листы разложить по схеме Рис.6. Получим нужный результат!

Удачи вам, подрастающие математики!

19 октября 2020 г.