О порочности введения действительных чисел

Разумеется, речь не о большой математике, а об учебниках.
Математический анализ. В.А.Ильин и др. - Москва. Наука. 1079, 720с для 1 курса университета специальность "математика". Стр. 40.
"Рассмотрим множество всевозможных бесконечных десятичных дробей... Числа представимые такими дробями, договоримся называть вещественными."

1. Любая десятичная дробь представимая конечной суммой членов есть рациональное число M/N.
2. При любом наращивании десятичной дроби ситуация не меняется, качественного скачка не просматривается. Всегда можно найти пару М/N соответствующую десятичной записи числа. Любая сумма дробей с самым большим количеством членов всегда приводится к дроби M/N.
3. Т.о. множество всевозможных бесконечных десятичных дробей является множеством рациональных чисел, а вещественные - тавтология.
Если только нет другого определения.

Стр. 42. "Рациональные числа допускают два представления.........1/2= 0,5000000..., и 1/2= 0,499999...."
А, никому не кажется, что при подобной вольности, доказательства существования вещественных чисел, основанные на соображениях четности смотрятся очень бледно? Что то мне говорит, что одно представление - четное, а другое нечётное! Достаточно поточнее определиться с четностью. Таки, цитируем общее место.

"Тем не менее, оказывается, что множество рациональных чисел имеет счётную мощность (то есть все его элементы можно перенумеровать)."

И так. Вышеприведённый учебник Ильина.
"Рациональные числа допускают два представления.... 1/2= 0,500000..... , 1/2 = 0,4999999.... ."
" Естественно мы должны отождествить указанные две бесконечные дроби"
Нет в этом ничего естественного.
1. Натуральный ряд и его свойства однозначно отображается на свойства отрезков на прямой.
2. Следовательно четность свойство отрезков.
3. Рациональные числа и их свойства однозначно отображаются на свойства отрезков.
4. Множество натурального ряда однозначно отображается на рациональные числа.
5. Следовательно и свойство четности имеет образ на множестве рациональных чисел, как соотношение длин отрезков.
6. Следовательно дробь 0,500000.... является четным отрезком, если 0,4999999.... - нечетный отрезок. Так как их разделяет самая маленькая разница, которая есть, ибо величины отрезков отображаются на натуральный ряд, а там есть -1.
7. Следовательно эти дроби не могут быть представлением одного числа.

Более подробно доказательство может выглядеть так.

"Рациональные числа допускают два представления.... 1/2= 0,500000..... , 1/2 = 0,499999.... ."

На любом этапе конечного представления , например приведённом, в одном случае мы имеем 500000 отрезков, в другом 499999 отрезков. Очевидно, что одно представление является чётным, другое нечётным. Т.о. представления не инвариантны и являются разными числами.

Т.о. утверждение солидного учебника,"естественно, мы должны отождествить указанные две бесконечные дроби", не верно. Вместе с целом рядом доказательств, в которых использовано это свойство.

 Ахилл не догонит. И все доказательства свойств вещественных чисел, основанные на двойном представлении рационального числа, ничтожны.

Вообще по факту введение вещественных чисел основано на пренебрежении минимальным расстоянием между числами, связанным с понятием четности. Дважды два – сэм, восэм. Можно сказать и иначе. Вещественное число по факту доказательств на двойном представлении характеризуется двумя рациональными. На числовой прямой это - оперирование отрезками между четными и нечетными рациональными числами.  Оперирование отрезками на плоскости неизбежно порождает квадрат как элемент множества. Маленький. Вот в этих случаях можно вещать об элементе, который входит в множество с окрестностью. Квадратной. А, вообще очень не хочется считать вещественные числа числами.
Хотелось бы отметить, что четность и нечетность обладает свойством разделения элементов подобно пустому множеству, выделяя единичное из общего. В записи элементы разделяет запятая, которая и выполняет роль пустого множества. Если же для синтезирования не полной единичности использовать не четность, а кратность, то возникает понятие «вхождения в множество со своей окрестностью», счетной или несчетной.

О логике и методологии познания множеств.

Проблема Ильина в том, что его рассуждения изменяют объект рассуждения. Это как измерение изменяет измеряемую величину. Звери являются несчетным множеством до того, как козленок их сосчитал. Например, отрезок [А, Б] является объединением счетного множества двух точек и несчетного множества интервала. Стоит вам открыть рот, и что-то промямлить о точке С, принадлежащей к отрезку, как вы начинаете представлять отрезок в виде счетного множества из трех точек и двух несчетных множеств. Т.е. вы в лоб подменяете предмет доказательства. По факту вы спекулируете на двух разных моделях бытия – «объект- связь» и «процесс». Пытаетесь бинарной логикой описать машину Тьюринга. ВСЕ доказательства Ильина основаны на «изреченных» точках, которые в момент изречения становятся ложью для свойств множества.
Далее. Точка, входящая в интервал только со своей окрестностью, согласно заявленных свойств, понятию точки не соответствует. Ибо такая точка не обладает базовыми свойствами точки, ради которых создавали это понятие – единичностью и уникальностью. Так в классе из 30 учеников, каждый ученик обладает свойством единичности. Обратите внимание – свойство общего определяют свойство элемента. В этом высказывании общее порождает единичное. Но Петю от Васи можно отличить, только если у каждого элемента есть имя. А, если есть номер, то уже можно составить список. Ибо вы ФИЗИЧЕСКИ не можете РЕАЛИЗОВАТЬ, даже озвучить, список имен в беспорядке. Вы вначале дадите упорядоченный список через запятую, и только потом заявите, что это можно читать в любом порядке. Поэтому, на Хаосе задается порядок или Хаос вводится на упорядоченном множестве – вопрос аксиоматический. Это как яйцо с курицей. Т.о. элемент множества обладает массой не афишируемых свойств, которыми спекулируют.
Точка с окрестностью, как элемент не обладает свойством единичности. Ибо счетность – синоним единичности. Все что можно сосчитать – единично. В точку с окрестностью пальцем не ткнёшь. Более того, о ней и говорить нельзя. Правильнее называть «окрестность имени точки А», и то, как ОБЕЩАНИЕ того, что она там найдётся. САМ ЯЗЫК ПРОТИВ построений Ильина. Можно только обозначить ПОТЕНЦИАЛ единичности и индивидуальности. Главное – не выдавать напряжение за ток. Разные это вещи.

Посмотрим, к чему это приводит.

Отрезок [A,B] является объединением счетного множества из двух точек и несчетного интервала, в который точки, как элемент множества, входят вместе со своими окрестностями.

Пусть в процессе доказательства cвойства такого множества введена точка С. Объект доказывания изменился и необходимо доказать эквивалентность множества из двух счетных точек {А,В} и интервала, и трех счетных точек {А,В,С} и двух интервалов. Ибо предмет доказывание не может быть подменен неинвариантным. При этом точке С из второго множества (или А, или В) при биекции неизбежно будет поставлена в соответствие точка интервала С ОКРЕСТНОСТЬЮ как элемент множества (ибо нет для неё других элементов) и таким образом одной точке С будет соответствовать множество точек окрестности, что недопустимо при биекции. Т.о. первоначальное множество обладает иными свойствами, нежели множество, обсуждаемое в конце доказательства. Т.о. ни одно свойство подобных множеств не может доказываться с изменением количества  счетных точек. Точка же становится счетной, как только есть возможность её сосчитать.Как только рот откроете о её персональном существовании.


Т.о. отрезок Ильина не является множеством точек согласно базовым свойствам точки, которая не только единична (счетна, множество из одной точки всегда счетно) , но и отличима (имеет имя). Не согласны? Тогда меняйте понятие точки, груши, яблока.
Строго говоря, множества Ильина основаны на том, что ОБЩЕЕ порождает единичное, а не единичное – общее. Множество порождает точки, а не точки образуют множество. Можно считать, что яйцо порождает курицу, а можно наоборот. Можно строить здание из кирпичей, можно из скалы рубить блоки. И аналогий с физикой слишком много. Тут тебе и точка, которая со 100% вероятностью находится в заданной окрестности и вакуум, порождающий частицы (процесс в общем вместо единичности объекта). В любом случае в логике Ильина точка не может быть базовым понятием. И отрезок из точек не состоит. Что писал Кантор не знаю. Может просто Ильин его не так понял.
И еще раз повторюсь все это - спекуляции на смешение бинарной логики и машины Тьюринга.


Рецензии