Часть 1. Логика арифметики

Арифметика – наука о числах, изучающая их простейшие свойства и правила вычисления. Самая простая часть арифметики – натуральные числа. Казалось бы, что может быть проще арифметических задач в натуральных числах? Сложил, вычел, умножил. Однако здесь скрыто многое, полезное для развития логики. Посмотрим на практических примерах.

Рассмотрим совсем простую задачу. У каждого из трех медведей есть несколько монет. У первого медведя монет меньше всех. Если забрать у второго медведя две монеты, то у него их станет меньше, чем у первого. А если забрать у третьего медведя две монеты, то у него их станет меньше, чем у второго. Сколько монет у каждого медведя?

Для математика решение задачи очевидно. У первого медведя на одну монету меньше, чем у второго, а у второго медведя на одну монету меньше, чем у третьего. Таким образом, любое решение из трех последовательных натуральных чисел является правильным, причем таких решений бесконечно много.

Другое дело дети. Дети не мыслят как математики. По крайней мере, многие дети. Поэтому они могут решать задачу двумя путями. Первый путь – подбор – практически сразу дает решение «одна, две и три монеты», но при этом логику не развивают. Второй путь – осознание ребенком что у второго медведя ровно на одну монету больше, чем у первого, а у третьего медведя ровно на одну монету больше, чем у второго.

Как научить ребенка не подбирать решение, а мыслить логически? Это вопрос методики. У меня своя. У кого-то из специалистов есть другая. Возможно, более эффективная, чем моя. В любом случае нужен метод. Проще других использовать логику первого порядка на основе рассуждений.

Есть большая группа математических задач, связанных с так называемыми диофантовыми (в честь древнегреческого математика Диофанта) уравнениями первого порядка. Это уравнения типа ах+by=c, где х и у это неизвестные натуральные числа, а, b, c – известные натуральные числа. Рассмотрим пару таких задач.

Пусть у Миши есть 170 рублей. Он хочет купить какое-то количество фанты по 30 рублей за стакан и какое-то количество пирожков по 40 рублей за пирожок. При этом Миша должен потратить все свои деньги. Что он может купить?

Для математика очевидно уравнение 30х+40у=170 или, если сократить на 10, 3х+4у=17. Это и есть диофантово уравнение первого порядка. Решается оно довольно просто. Так как 3х=17-4у, то 17-4у должно нацело делиться на 3. У числа 17 остаток от деления на 3 равен 2, поэтому подойдут все числа у, которые при умножении на 4 дадут число, меньшее 17, и при этом остаток при делении этого числа на 3 будет 2. В примере это 2. Ответ – 3 фанты и два пирожка.

Для ребенка в таком примере все-таки проще подобрать. Он может рассуждать с помощью более примитивной логики. Например, на 170 рублей нельзя купить больше шести стаканов фанты. Дальше перебирая варианты с числом стаканов фанты от 1 до 5, ребенок получит верное решение. Но при этом не научится использовать логику в полном объеме.

Приведем для наглядности вторую задачу. У Миши 1000 рублей. Он хочет угостить друзей мороженым. В киоске есть мороженое по 51 рублю и по 57 рублей, но нет сдачи. Может ли Миша при этом купить какое-то количество мороженого ровно на 1000 рублей? Очевидно, что перебор здесь несколько более затруднен. Хотя при наличии большого количества времени можно рассмотреть все варианты с количеством мороженого по 51 рублю от 1 до 19.

Вполне очевидно, что методы логического анализа задач ребенку нужно объяснять. Здесь тоже существует много методик. В заключение этой темы остановлюсь на еще одной задаче. Это классическая задача. Она встречается довольно часто. Нужно найти четырехзначное число, сумма и произведение цифр которого одинаково.

С помощью логики задача решается за несколько минут. Или быстрее. Сначала понимаем, что в числе должны быть единицы. Действительно, нулей быть не может, иначе произведение цифр 0, а самое «маленькое» число без единиц 2222 не дает равенства суммы и произведения цифр. Второй вопрос – сколько единиц в числе? Одной единицы мало: 1222 дает в сумме 7, а в произведении 8. Трех единиц много: 111х дает в сумме х+3, а в произведении только х (х – любая цифра). Значит, единиц в числе 2, а дальше элементарно подбирается число. Например, 1124.

Подведем итог. На простых арифметических примерах я показал наличие логических проблем при решении задач с числами. Подборы и полные переборы ничему практически не учат. Нужно развивать логику. Всего доброго.