Самый сложный ИМК в моей практике

Магические квадраты! Сколько поколений любителей и профессионалов к ним тянулись, изучали, пытались их совершенствовать, старались открыть универсальный способ построения! Математики Индии и Китая несколько веков назад догадались так расставлять числа в ячейках матрицы, что нынешнее поколение не верит отсутствию тогда мощнейших  вычислительных машин.

Не обошла судьба и меня. Когда учился в школе, мама впервые показала квадрат Ло-Шу, рассказала байку про черепаху и, - надо же!, - я в это поверил. Сам же попытался пробовать строить магические квадраты (или короче МК) где-то в классе восьмом. Долго колдовал над  матрицей десятого порядке и все же сумел получить верно все магические суммы, равные 505. Орудовал же допоздна арифмометром "Феликс". После построил самостоятельно квадраты порядков 5,6 и так далее до 9. Все мои записи чудом сохранились, а спустя уже десятки лет эти решения я включил в свое большое художественное полотно. Его, к сожалению, так и не закончил. Причина банальная. Мой первый внук Андрюша, будучи пятилетним, взял напильник и сделал на практически настоящем шедевре несколько внушительных дыр. К счастью, они оказались на пустых участках грунтовки. Как-нибудь непременно напишу статью про данную картину и покажу всё математическое, что сделано было до моего сорокалетия. Сфоткаю конечно, чтобы никто не посмел подумать, будто я великий выдумщик и фантазер.

После того, как мне исполнилось 55 годков, пришла пора разобраться с идеальными магическими квадратами или ИМК. Это название я придумал вместе с Натальей Макаровой из Саратова. Есть, правда, официальное название, но знать мы его не знали. Я и сейчас не помню. На букву "У" кажется. Несколько лет я с Макаровой сотрудничал в части именно данной математической забавы. Она писала огромную электронную книгу, а я - отдельные статьи в интернете. В Википедию тоже внесли весомый вклад. Потом наши пути разошлись, но иногда встречаемся на форуме, машем друг другу ручками.

Но ближе к делу. В свое время я отдал половину или три четверти жизни на то, чтобы открыть так называемые цепи Александрова. Любой может погуглить и найти много ссылок на мои статьи. Цепи эти - универсальный инструмент для построения идеальных магических квадратов. Даже для матриц одинарной четности. Правда, в последнем случае ИМК(4k+2) возможны только нетрадиционные. То есть ячейки включают в себе не весь натуральный ряд чисел от 1 до (4k+2)^2, а значительно более широкий набор с пропуском достаточно многих членов ряда. Но тем не менее, решение получено все же впервые в истории математики. Еще есть один камень преткновения: если для матриц ИМК(p) и ИМК(4k) (где р - простое число больше трех) идеальные магические квадраты можно строить буквально школьными приемами, то, например ИМК(9) оказался очень твердым орешком. Он колется только цепью Александрова. Недостаток последнего - в сложности метода. Не всякий даже студент его поймет. Так вот - совсем недавно, в начале ноября сего года, коллега из Испании прислал на мыло письмо с просьбой все же обнаружить удобоваримый метод построения "девятки". Он преподает математику в мадридской школе и хотел бы для своей отличницы, которая будет в конце года делать видеопрезентацию, добавить относительно простое и доступное каждому старшекласснику построение ИМК(9). Я обещал попробовать, но не поклялся, что справлюсь. В те минуты, - как сейчас помню,- все же решил про себя: а вот смогу! И вспомнил свой же афоризм, получивший довольно широкую известность не только в русскоязычных странах: "Любая сложная деталь на части делится простые".

Да, нужно было найти простые части сложной задачи. В такие моменты часто выручает логика. Вот ход ее развития в моем исполнении 23 ноября. Как раз в день рождения смышленых двух внуков-двойняшек! Им исполнилось уже 3 года! Речь идет о матрице порядка девяти. Я взял чистый лист и нарисовал окружность. Точками разделил всю дугу на равные (почти) части и пронумеровал эти точки числами от 1 до 9 по часовой стрелке. Это показано на Рис. 1. Стал думать, как провести ломанные линии через все точки? Последовательно соединять - это банальщина. Возникли ассоциации такие: число девять - это сумма трех троек или же это произведение двух троек. Буду соединять не последовательно, а через три дуги. Но если всегда только через три дуги, то схема быстро зациклится и большинство точек не будет задействовано. Пробовал чередовать то через две дуги, то через три... Много вариантов перебрал, но все оказывалось как-то невзрачно. Точнее сказать - не получался красивый общий рисунок. И вдруг у меня что-то екнуло в дебрях мозговых извилин, я вдруг буквально почувствовал единственно верную последовательность 33533533.
Она цикличная. Ее цикл 335. При этом охвачены все точки и наблюдается прекрасная симметрия (на Рис.1 - симметрия относительно пунктирной оранжевой линии). Да,забыл отметить, что галопы по точкам решил реализовывать против часовой стрелки. Почему так? А бог его знает! Еще со школьной физики вошло в память, что против часовой стрелки направление считают положительным. Наверное, можно и по часовой было принять, и решение тоже появилось бы... . Но получилось именно так.

Это был первый этап. Пока что он ничего мне не сулил. Про себя думал, что 95 процентов  - попадание в тупик. Тогда все с начала бы пришлось. Я же решил драться за малюсенькие пять процентов. Первое, о чем надо думать на втором этапе, - где в матрице поместить единичку. Обычно ставлю ее либо в левом верхнем углу, либо в центре верхней строки. Тут почему-то решил три числа проставить как показано на рисунке 2. Центр всегда 41, если хотим строить МК ассоциативный. Ведь 41 это половина девятки в квадрате плюс единица. По этой же причине на нужных местах находятся единица и восемьдесят один.

Третий этап, пожалуй, самый сложный. Чтобы его выбрать пришлось просмотреть десятки вариантов. Первое, что мне захотелось, - проставлять числа ходами шахматного коня. А не удлиненными ходами, как это было недавно, когда я нашел интересный метод построения ИМК(р). Кстати понятный даже школьникам младших классов. Написал даже статью в "Прозе.ру". Дело в том, что еще двести с лишним лет назад великий Эйлер строил редкой красоты магические квадраты ходами именно шахматного коня. 

Методом проб и ошибок была выявлена голубая ячейка (Рис. 3) и направление ходов чуточку вверх и вправо, позволившие правильно замкнуть цикл ячейкой 81. Дюжина ячеек определена! Это доказывает четвёртый рисунок. Осталось найти направления девяти окончательных циклов.  Тут мне очень повезло. Ход конем оказался вправо и вниз, а числа в голубых ячейках - это наша последовательность, но в обратном порядке: 93625847 (Рис. 5). Второй зелёный цикл показан на следующем шестом рисунке. Чтобы формально продолжать процесс я составил полезную табличку:

[ 9] [-6][-3][-7][-4][-1][-5][-2][-8]
[18] 12. 15. 11. 14. 17. 13. 16. 10
[27] 21. 24. 20. 23. 26. 22. 25. 19
[36] 30. 33. 29. 32. 35. 31. 34. 28
[45] 39. 42. 38. 41. 44. 40. 43. 37
[54] 48. 51. 47. 50. 53. 49. 52. 46
[63] 57. 60. 56. 59. 62. 58. 61. 55
[72] 66. 69. 65. 68. 71. 67. 70. 64
[81] 75. 78. 74. 77. 80. 76. 79. 73

Уже с этой помощницей квадрат заполняется в считанные минуты. В результате на Рис. 7 - самый настоящий Идеальный Магический Квадрат! Проверим произвольную строку, столбец, главную диагональ, любую ломанную диагональ:

79+53+38+30+1+22+14+69+63=369
58+15+7+38+73+68+27+35+48=369
12+23+7+30+41+52+75+59+70=369
34+39+50+79+57+68+16+21+5=369

Все в норме! Магическая сумма действительно для МК девятого порядка равна 369.

Но в принципе на базе найденного решения можно легко трансформировать ИМК(9) в эквивалентный, поставив единичку в любой другой ячейке. Дело в том, что есть несколько приемов, не нарушающих магических свойств. Например, если единичку поставить в левый верхний угол, то квадрат окажется следующим:

01 75 20 53 16 45 69 32 58
35 61 09 78 23 49 10 39 65
42 68 31 55 03 74 26 52 18
46 12 38 71 34 63 06 77 22
80 25 54 15 41 67 28 57 02
60 05 76 19 48 11 44 70 36
64 30 56 08 79 27 51 14 40
17 43 72 33 59 04 73 21 47
24 50 13 37 66 29 62 07 81

Вчера получил письмо от испанского преподавателя. Он в восторге! Сказал, что сам пытался построить, но в полном объеме никак не выходило. Не все 36 сумм оказывались магическими. Обещал пригласить меня на грядущую презентацию способной ученицы.

2 декабря 2020 г.