Три квадрата ведут к эллипсу

Был на конференции и там предложили довольно сложную задачу для школьников. Сходу решить мне не удалось. Суть на рисунке. Полуокружность проходит по характерным точкам A, B, C. Требуется найти все решения и выявить зависимость между коэффициентами k1 и k2.

Итак, три квадрата. Один больше другого. Возможно, среди них есть и одинаковые. Но не суть важно. Важно, что из заданной схемы легко выявить следующие соотношения:

a=[2*(k1-k2)]/[(k1-k2)^2+k1^2]

a=2R/(1+k1)

R=a*(1+k1)/2

Отсюда сразу получается взаимосвязь между коэффициентами:

k1^2+k2^2-k1*k2-k1+k2=0

То есть имеем общий вид кривой второго порядка. За много веков математики хорошо изучили их. В зависимости от набора параметров, их знаков и прочих тонкостей, мы можем иметь либо гиперболу, либо эллипс, либо частный случай последнего - окружность, либо параболу, либо даже пару прямых линий. Что же у нас с последней формулой?
Конечно же это в - чистом виде эллипс! На рисунке он наглядно показан. Дана там и формула в явном виде. С ее помощью легко строить две ветви нашей замкнутой кривой.
Если сомневаетесь, то скопируйте в окошке ВольфрамаАльфа:

1/2*(k1-1+sqrt(1+k1*(2-3*k1)))&&1/2*(k1-1-sqrt(1+k1*(2-3*k1))) where k1=-1/3..1

и посмотрите на кривую в живую.

А решения простые: вся верхняя граница желтой области. Параметр k1 физически возможен в диапазоне от 0 до 1, а параметр k2 - в диапазоне от 0 до 1/3. Причем при максимуме k2=1/3 значение k1=2/3. 

Красота!

2 декабря 2020 г.