Метод кройки и шитья. Геометрия

Есть потрясающе красивые методы в геометрии, которые почему-то не преподносят школьникам восьмого класса. А зря! Расскажу об одном из таких, названных почему-то методом кройки и шитья. Может быть портной его открыл? Или швея особо одаренная? О нем мне поведал совсем недавно геометр под ником Race, с которым я часто контактирую в известном математическом российском форуме.

Итак, смотрим на рисунок. Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Надо его одной прямой линией разбить на две фигуры, площади которых равны. В общем случае получим четырехугольник и треугольник. И только лишь параллелограмм разбивается этим методом на два равновеликих треугольника. Они даже конгруэнтные.

Кто догадлив, тот сразу сообразит, что методом кройки и шитья разбивка производится восемью способами. То есть по четыре способа на каждую диагональ выпуклого четырехугольника. На рисунке показаны только два решения для выбранной диагонали BD.

Разберем левую часть рисунка. Строим прямую, параллельную диагонали BD и проходящую через вершину A. Эта прямая пересекается с продолжением стороны BC в точке N. При помощи циркуля и линейки находим середину отрезка NC и обозначим ее буквой М с чертой наверху. Мне всегда удобно все среднее обозначать с такой чертой. Эту точку затем соединяем с вершиной D. Линия MD делит четырехугольник ABCD на две равновеликие фигуры: серую и желтую. Сначала я не поверил последнему сказанному явлению, но аналитика показала, что все верно!

Второй вариант разделения показан в правой части рисунка. И еще два варианта можно рассматривать для заданной диагонали BD. А затем можно и для диагонали AC построить четыре решения. Но столь величайшее удовольствие я доверяю моим читателям. Не пожалеете!

3 декабря 2020 г.