Точка квадратичного минимума. Сокращенно ТКМ

Наверное перед вами, читатель, новое веяние в геометрии. Во всяком случае я такого анализа нигде не встречал. Хотя вполне возможно, что вещь эта давно изучена, все тонкости выявлены и результаты широко применяют на практике. Но предположим, что я являюсь первопроходцем и первопроходец этот хочет поделиться со всем миром своей радостью.

Скорее всего немногие знают, что в треугольнике точка пересечения медиан является и центром тяжести фигуры. Если координаты вершин треугольника известны, то точка, о которой идет речь, имеет следующие икс и игрек:
x=(x1+x2+x3)/3
y=(y1+y2+y3)/3
Так все просто! Но замечено еще одно очень интересное свойство: точка эта, говоря по-научному, по сути еще и Точка Квадратичного Минимума. Название придумал самостоятельно и прошу всех его (и аббревиатуру тоже) любить и жаловать.

А означает сказанное вот что. Если взять внутри треугольника любую точку М и измерить расстояния от нее до каждой из трех вершин, а затем эти расстояния возвести в квадрат, просуммировать, то получим некое число. Поразительно, но минимальным оно будет только в том случае, если точка эта - как раз ТКМ. Установлено методом дифференциального исчисления.

С треугольником разобрались, он первый на рисунке. Красивый кружочек на нем - как раз Точка Квадратичного Минимума. Какую бы иную точку ни брать, сумма квадратов длин от нее до каждой вершины окажется непременно больше. Но меня осенила неожиданная мысль: а у четырехугольника как? Первое, что подумалось - рассмотреть полную аналогию с треугольником. Начертил ортогональные медианы и проанализировал точку пересечения. Для удобства и быстроты расчетов составил простенькую программу на языке Yabasic. Очень удобный, кстати, язык! Я на нем не просто пишу, а пишу молниеносно. Однажды соревновался с одним продвинутым программистом (он на Питоне работает), так я щелкал любые предложенные примеры в два-три раза быстрее. Во-первых мой мозг за сорок лет работы на ЭВМ стал турбореактивным и, во-вторых, печатаю на клаве со скоростью профессиональной машинистки. Ввел в программу сначала массив иксов: 1,2,5,8 и игреков: 1,5,7,3 (смотрите второй рисунок). Рассчитал координаты ТКМ:
x=(1+2+5+8)/4=4
y=(1+5+7+3)/4=4
На рисунке оказались практически такие же значения! Но графика все же иногда обманчива. Подобные важные вещи обязательно проверяются аналитикой. Пэтому вторая часть моей проги - это вычисления квадратов расстояний от ТКМ до четырех вершин и запоминание общей суммы. Далее методом Монте-Карло внутри четырехугольника выбираются случайные точки, находятся для них суммы четырех квадратов и после по специальному алгоритму за несколько сотен циклов происходит спуск к тому месту, в котором желанная присутствует оптимальность. Программа без эмоций выдала координату (4;4). Догадка подтвердилась!

Теперь пришла очередь пятиугольника. Но тут лафа закончилась и настали минуты, часы и сутки мучительных поисков истины. Нет, с расчетами все оказалось просто:
x=(3+0+3+9+8)/5=4.6
y=(2+6+8+7+3)/5=5.2
А вот какие линии проводить, чтобы на пересечении оказалась желанная точка...
Даже приблизительно не помню, сколько перебрал вариантов. Можно ориентироваться лишь по числу исписанных гелевой ручкой листов. Не менее тридцати, наверное. Причем с двух сторон исписанных. Но все же вариант нужный нашелся! ТКМ - на пересечении двух букв "Т". Это показывает третий рисунок. Красная "Т" и синяя дают точку (4.6;5.2).

Шестиугольник, к счастью, поддался почти сразу. Всего пять-шесть вариантов составил с двумя Т-образными элементами. Все получилось, можно сказать, случайно. Рисунок четвёртый - в помощь!
 Аналитика опять ожидаемая:
x=(0+1+6+9+9+2)/6=4.5
y=(2+5+8+5+3+1)/6=4
Программа тоже дала такие же числа. Пришло время штурмовать семиугольник. Ничто, казалось, не предвещало больших сложностей. Но они появились, как снежный ком. Неделю пытался угадать план линейных построений. В конце концов отчаялся и принял решение разбираться с восьмиугольником.

Тут интуиция сработала безотказно! На серединах определенных противолежащих сторон строится четырехугольник и уже его медианы дают нужную точку. На последнем рисунке я показываю альтернативную схему: пересечение двух двутавров (красного и синего). Аналитические координаты:
x=(0+3+7+10+10+8+4+1)/8=5.375
y=(6+8+7+5+2+1+0+3)/8=4
Программа тоже вышла на эти координаты.

Семиугольник оказался орешком крепчайшим.Мне ничего не оставалось делать, как наобум пытаться выйти на цифры:
x=(0+2+5+9+8+4+1)/7=4.143...
y=(6+8+7+3+1+0+3)/7=4
Тут уж я дал волю своим фантазиям! Чертил десятки (если не сотни) самых разных схем во время чаепития, прослушиваний аудиокниг, в очереди к врачу, в постели перед сном и т.д. И вдруг один из вариантов (он на пятом рисунке) более-менее дал нечто похожее! С волнением повторил построения в более крупном масштабе и максимально тщательно. Сомнений не было: решение найдено! Ух и хитрющее же это решение! Недаром число семь особое даже в нашем лексиконе. "Семь раз отрежь", "семь пядей во лбу", "загадка, разгадка, да семь верст правды", "для друга и семь верст не околица", "семеро одного не ждут", "семь бед - один ответ", "семь пятниц на неделе", "семь мудрецов дешевле опытного", "семь дел в одни руки не берут", "один с сошкой, а семеро с ложкой"... . И тому подобное. Можно еще десяток народных примет вспомнить.

Дальше заморачиваться не стал. Ясно и очевидно, что тут чистая геометрия и арифметика идут рука об руку. Но первая на порядок проще! Никогда бы не подумал, что простое среднеарифметическое может решать квадратичную оптимизацию. Теперь знаю, что и такое бывает.

13 декабря 2020 г.
Москва