Механизм и высшая математика

Очень сложные задачи подбрасывают нам машины и механизмы на стадии их разработки. Но на то и математика, чтобы находить оптимальные параметры как всего устройства, так и отдельных его частей. На кафедре теоретической механики ко мне обратился мой давний знакомый и попросил помочь вывести формулу для какого-то подъемного устройства. Его самая приблизительная схема показана на рисунке. Серая плита свободно лежит на скользящих опорах стержней с и d. Внизу стержни имеют шарниры, закрепленные в массивном фундаменте. Плита может подниматься, оставаясь при этом всегда горизонтальной. В итоге виртуально можно представить трапецию (она показана красными линиями). Также виртуально просматриваются ее диагонали d1 и d2 (они зеленого цвета). И нужно найти такую высоту подъема h, при которой отношение этих диагоналей принимает наибольшее значение. В чистом виде оптимизационная задача, которую необходимо решить методом дифференциального исчисления.

Для этого в первую очередь нужно вывести формулы для диагоналей. Это было для меня не особо сложно. Хоть и не было под рукой Мапла, но все нужные теоремы помнились железно и потому сомнений в правильности не возникло. Трудности грянули при поиске экстремума. Взять даже производную отношения диагоналей чего стоило! Ну, а уж чтобы приравнять ее нулю и вытянуть за хвост высоту h - это сизифов труд на галере или в каменоломне. Короче, не сумел с первых десяти попыток обойтись без ошибок. Пришлось дождаться приезда домой и призвать на помощь электронных помощников. Но и тут не все гладко выходило. Поезд формул оказались длинным, смешным чудаком! Упрощать и Мапл, и Вольфрам наотрез отказались. Снова врубил ручное управление. Ни одному студенту не пожелал бы такой каторги! Спасла в одну из ночей небольшая хитрость: стал работать не целиком со всем выражением, а разбил его на шесть групп. Это очень походило на установку пазлов. Логика, интуиция и удача работали одновременно. И,-о,чудо!- настал миг, когда сократилось большое количество сомножителей. Окончательный результат показался столь миниатюрным, что не поверил в безупречность выражения для h_opt. Я только забыл сказать (и на рисунке тоже не отметил), что в задаче всегда  d>c.

27 декабря 2020 г.