Древнеиндийская задача

Краем уха слышал, что задача пришла из Древней Индии, хотя в этом сомневаюсь. По крайней мере, гугл ничего о ней не говорит. Но допустим она древнеиндийская. Какая разница? Главное, чтобы интересная была. Смысл ее такой: можно ли найти три разных равнобедренных треугольника, длины сторон которых выражены целыми числами, а  площади фигур равны?

В 2010 году я только-только начал осваивать Вольфрам Альфа. Эта штуковина поражала меня все более и более. Позволяла не только делать всё математическое, но и знакомиться с географией, химией, квантовой механикой и прочее, прочее. Я и сотой доли не знаю до сих пор возможностей данного шедевра. Однако десять лет использую его в качестве помощника в высшей математике. В том числе и в теории чисел. И почему бы не попросить у Вольфрама помощи в решении задачи из Индии? Площадь равнобедренного треугольника элементарная, выводится в два щелчка вручную. На рисунке формула обведена рамочкой.

Вот какая мысль пришла мне в голову. Пусть а - длина одной из двух равных сторон треугольника; b - длина основания. Тогда если в окошке этого чуда набить
b^2/16*(4*a^2-b^2)=... over the integers
где вместо многоточия будет какое-либо целое число (выражает площадь треугольника S во второй степени), то решение задачи появится только в том случае, если система выдаст три варианта длин сторон. Именно три!

Конечно, был риск впустую потратить время. Например в случае, если решений вообще нет в принципе. Но мне казалось, что игра стоит свеч. Дело было давно, я практически не помню всех хитроумных ходов, основанных на случайной генерации и итерации, но удачное число все же обнаружил! Оно вот какое: 499968. А! Вспомнил! Никакая там итерация или генерация! А просто задумал число пол миллиона и начал по единичке его уменьшать. Сделал всего лишь около тридцати попыток и, - Эврика!- решение нашлось! Стороны первого треугольника: 118,118,12; второго: 47,47,32 и третьего: 38,38,48. Похвастался своим открытием на форуме. Загорелась дискуссия и неожиданно коллега с ником Andrey нашел еще одно решение: 114,114,12; 42,42,36 и 37,37,54. Больше обнаружить ничего не удалось, хотя мэтры теории чисел убеждали, что подобных троек должно быть бесконечно много. Просто числа должны быть побольше.

Так ли это, или не так -  науке пока неизвестно.

28 декабря 2020 г.