Прорыв при помощи Ло Шу. Часть 1

У меня не было времени на раскачку. Требовалось немедленно решить проблему "девятки". Таким сленгом коллеги обзывали матрицу, состоящую из девяти строк и девяти столбцов. Меня упросили, причем слишком настойчиво, дать четкий ответ: возможно или нет составить ИМК? Два года назад до этого я нашел несколько способов сделать подобное для матриц пятого, седьмого и одиннадцатого порядков. Точнее, для всех порядков, выражаемых нечетным и обязательно простым числом. Или же когда матрица имеет порядок, равный произведению двух простых чисел, начиная с пяти. За успешные разработки в огромном зале мне вручили красочный диплом и организовали бурные аплодисменты, переходящие в затухание.

Я прекрасно знал, что китайский МК , названный Ло Шу и нарисованный на панцире черепахи, имеет единственный вид. Если, конечно, не учитывать повороты и отражения. Он, к счастью, ассоциативный, но к сожалению, не пан-магический. Другими словами, он не идеальный. Как же тогда при помощи неидеальной "тройки" составить идеальную "девятку"? А ведь дело было задолго до открытых мною Цепей Александрова, совершивших настоящую революцию в теории МК.

Кто не в курсе, поясню: МК - это магический квадрат, а ИМК - идеальный магический квадрат. Более подробно можно почитать в Википедии.

Так вот, дело было в среду. Я быстро сбегал в Правление нашего общества работников просвещения и заплатил требуемую ежемесячную "штуку" наличкой. Получил квитанцию и шел спокойненько по улице Фурманова, глазел на роскошные особняки, которые выросли как грибы после лихих девяностых. Привлек внимание один фасад. Его украшали разноцветные плиты размером пятьдесят на пятьдесят сантиметров. Глазомер у меня хороший и поэтому зуб отдаю за точность. Поразила простота и красота орнамента. Белый фон и на нем вкрапления ярко желтых плит, идущих под углом сорок пять градусов к горизонту. Про себя подумал: "Очень похоже на мою матрицу, только плиты должны располагаться покруче, поскольку ходы у меня не просто шахматным конем, а неким "жирафом". Такой термин изобрел не так давно мной внук Андрей - любитель самых различных настольных игр. И тут я четко представил себе, как можно было бы максимум гармонично в матрице девять на девять расположить ячейки Ло Шу! Смотрите на Рис. 1. Конечно, это не примитивный МК3 вида
6 7 2
1 5 9
8 3 4
а его производная. К каждому числу прибавляется константа 36.

Тут придется сделать лирическое отступление и пояснить. Поскольку "девятка" должна стать идеальной, то необходима ассоциативность. И, значит, сумма любых двух центрально симметричных ячеек одинакова и равна 9^2+1=82. В центре должна находиться половина этого значения, то есть ячейка с числом 41. В примитивном Ло Шу в центре стоит 5. Следовательно, прибавить нужно 36 к каждому числу примитивного варианта. Но вернемся к рисунку. Я подумал, что вряд ли удастся выделить желтые ячейки проще и гармоничней. Важно, что ходы тут более вытянутые, чем шахматные. Это раз. И, во-вторых, горизонтальные слои расположены симметрично по вертикали. Это совсем не режет глаз, а напротив - ласкает его. Даже придраться ни к чему нельзя! Ей богу! При этом сразу девять ячеек в будущей "девятке" уже потенциально имеются! У нас ассоциативность сохранилась, ибо 44+38=82; 45+37=82 и так далее со всеми центрально симметричными парами чисел.

Но самое главное во всем сказанном следующее. Получена как бы трафаретка, в желтые окошки которой следует вводить оставшиеся семь производных Ло Шу и собственно сам примитивный Ло Шу. Ее достаточно просто параллельно перемещать по ячейкам. Но для того, куда перемещать, нужна хоть какая-то еще зацепка. Думать мне пришлось немало. Минут десять-пятнадцать. Пришел на помощь прежний опыт. Он подсказывал, что в одной из главных диагоналей обычно стоят числа 1,11,21,...,81. Интересно, что их полная сумма равна магической сумме МК9, то есть 369. Но открытым были вопросы: а на какой из двух главных диагоналей их поместить и в каком порядке? Если диагональ я выбрал наугад (с левого верхнего угла идущую), то порядок расстановки оставшихся восьми чисел требовал уже перебора вариантов.

Число перестановок без повторений в данном случае равно восьми факториал, деленному на четыре факториал. То есть 8!/4!=1680 вариантов. Все равно довольно много, несмотря на ассоциативность. Совершенно ясно, что без программы на компьютере тут явно не обойтись. Ибо если вручную, то даже месяца не хватит. А требуют срочно!

Как же производится работа электронного мозга? Показываю начальный первый шаг. Допустим единичка находится во второй строке сверху и во втором столбце слева (забегая вперед скажу, что так оно и оказалось после всех расчетов). Тогда легко при помощи нашей трафаретки расставить серые ячейки с цифрами примитивного Ло Шу.  Это видим на Рис. 2. Часть чисел вышла за пределы нашего квадрата, то есть за пределы красной рамки. Но это не страшно. Числа 6,7,2 переносим вниз через девять строк. Далее ассоциативно добавляем красные числа (Рис. 3). Ровно на треть матрица уже заполнена!

Во второй части рассказа покажем оставшиеся семь видов трафаретки и окончательный результат.

3 января 2021 г.