Задача о четырех кубах. Часть 2

УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА.
РЕШЕНИЕ ЭЙЛЕРА И БИНЕ

В данной работе речь пойдет об уравнении в целых числах, которое предложил более двух веков назад Леонард Эйлер (Рис.1). Полюбуйтесь им на рисунке Рис.2.
Леонард Эйлер (1707—1783 гг.) - математик, механик, физик и астроном, ученый необычайной широты интересов, автор свыше 800 работ по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближенным вычислениям, небесной механике, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки и др., оказавших значительное влияние на развитие науки. По происхождению швейцарец.
В 1726 г. был приглашен работать в Петербург, в 1727 г. переехал жить в Россию, в 1731—1741 и начиная с 1766 гг. был академиком Петербургской академии наук. В 1741—1766 гг. работал в Берлине, оставаясь почетным членом Петербургской Академии наук.
Он считал, что математика была и будет самой удивительной наукой, рожденной в головах многих выдающихся личностей. Она возникла и совершенствовалась в соответствии с нуждами практики, но оказалась настолько цельной и гармоничной, что сама явилась объектом тщательных исследований. Величайшие умы человечества, иногда по крупицам, а иногда и гейзером идей, открывали все новые и новые грани теории чисел, статистического анализа, изучения функций, дифференциального и интегрального исчислений, рядов, геометрии, тригонометрии, графов, топологии и т.д. и т.п. Основной целью математики чаще всего было нахождение области допустимых решений нужной задачи. Когда та или иная сложная проблема вдруг стопорилась, приходилось искать иные подходы, методы и даже создавать новые направления, которые позволяли преодолевать пробелы в математических знаниях. Так происходил прогресс науки о порядке...
Эти мысли гения математики актуальны и сегодня. Наиболее ярким примером сказанному служит, конечно же, Великая Теорема Ферма. Потребовалось целых 358 лет, чтобы ее безошибочно доказать!
Задача о четырех кубах тоже оказалась непростой. Но если в ВТФ требовалось доказать полное отсутствие решений, то в нашем случае, наоборот, нужно было найти систему выражений для x, y, z ,w которая давала бы все примитивные четверки Эйлера. Четверка Эйлера (x,y,z,w) называется примитивной, если она не может быть получена из какой-то другой четверки Эйлера, то есть x, y, z, w являются взаимно простыми числами.
Леонард Эйлер сам приложил немало усилий, чтобы найти формулы, генерирующие все примитивные четверки целых чисел
Проблема эта чисто алгебраическая и совсем непростая. Вспоминаю такой эпизод в моей жизни. Еще в школе прочитал решение Пифагора, при помощи которого можно находить все примитивные тройки чисел в задаче о трех квадратах. Года через три мне понадобились эти формулы, но я их совершенно забыл, а учебников под рукой не оказалось. Оставалось только самому вывести знаменитые соотношения. И что же? Промучился два часа, но так и не удалось повторить подвиг Пифагора. И это с квадратами! С кубами же такая задача на порядок сложней. Даже Эйлеру оказалось по силам вывести лишь зависимости, дающие хотя бесконечную, но далеко не полную серию x, y, z ,w  (смотрите Рис.3). Проверим эффективность работы данных формул. Простая программа на языке Yabasic :

open #1,"340.txt","r"
open #2,"EULER2.txt","w"
dim x(10)
n=8:n0=4:s1=0.00001
rem Считываем примитивные четверки Эйлера
for v=1 to 340
input #1 r,x0,y0,z0,w0
k=0
for a=-n to n
for b=-n to n
x(1)=abs(1-(a-3*b)*(a^2+3*b^2))
x(2)=abs(-1+(a+3*b)*(a^2+3*b^2))
x(3)=abs(-a-3*b+(a^2+3*b^2)^2)
x(4)=abs(-a+3*b+(a^2+3*b^2)^2)
rem Распределяем массив чисел по возрастанию
for j=1 to n0-1
for i=1 to n0-j
if x(i)>x(i+1) then
t=x(i):x(i)=x(i+1):x(i+1)=t
fi
next i
next j
x=x(1):y=x(2):z=x(3):w=x(4)
rem Исключаем тривиальные и нелинейные варианты
if abs(x)<>abs(y) then
if abs(x)<>abs(z) then
if abs(x)<>abs(w) then
if abs(y)<>abs(z) then
if abs(y)<>abs(w) then
if abs(z)<>abs(w) then
if abs(x/x0-y/y0) < s1 then
if abs(x/x0-z/z0) < s1 then
if abs(x/x0-w/w0) < s1 then
if k=0 then s=s+1: print s,x0,y0,z0,w0;
print " -> ";
print #2, s,x0,y0,z0,w0;:print #2, " -> ";
print a,b:print #2, a,b:k=1:fi
fi:fi:fi:fi:fi:fi:fi:fi:fi
next b
next a
next v

позволила установить, что из 340 известных числовых решений задачи о четырех кубах система Эйлера выявляет всего 25 решений, то есть меньше 10%.

Почти через сто лет такой же результат получил Бине (Рис.4).
Жак Филлип Мари Бине — французский математик и астроном, родился в Ренне 2 февраля 1786 г., умер в Париже 12 мая 1856 г. Окончив Политехническую школу, он был назначен в ней профессором механики и впоследствии главным инспектором. В 1823 г. Бине занял кафедру астрономии в College de France после Деламбра. В 1843 г. он был избран членом Академии наук на место Лакруа. Бине принял участие в новом издании «Mecanique analytique» Лагранжа. Напечатал массу статей по механике, чистой и прикладной математике и астрономии. Бине одним из первых пришёл к идеям матричной алгебры и первым опубликовал в 1812 году правило умножения матриц. С его именем связана формула Бине для чисел Фибоначчи, хотя эту формулу столетием ранее получил Абрахам де Муавр. Независимо от Эйлера нашел частное решение задачи о четырех кубах (формулы Эйлера и Бине). Бине принадлежит также ряд важных теорем в механике вращающихся тел.

Москва, 2017 г.