Задача о четырех кубах. Часть 1

"Нам чисел россыпи найти бы золотые."
Георгий Александров

С ЧЕГО ВСЕ НАЧАЛОСЬ.
МОИ ВСТРЕЧИ С МАТЕМАТИКОМ А.Н.КОЛМОГОРОВЫМ

В школьной библиотеке я брал чаще не фантастику, а популярные книги по математике и уяснил для себя следующее. Исторически сложилось так, что алгебре предшествовала арифметика. Если вначале люди учились считать количество вещей, деньги, километры и так далее, то потом появилась потребность однотипные вычисления сводить к общим формулам с буквенными параметрами. Обобщенные выражения заключали в себе уже серию арифметических вариантов, иногда даже бесконечную. Например, формула Пифагора для прямоугольного треугольника включает в себя три буквенных параметра. Задаваясь размерами двух катетов, всегда стало возможным вычислить гипотенузу. Или наоборот: зная гипотенузу, можно выявить великое множество различных катетов.
Будучи старшеклассником, я в 1967 году решил закрепить знания математики не при помощи репетитора, а путем посещения подготовительных курсов, проводимых в Политехническом музее, что на Новой площади в Москве. Готовился к поступлению в институт. Лекции читали очень хорошие учителя школ, ВУЗов и даже выдающиеся математики. Однажды очередную лекцию провел Андрей Николаевич Колмогоров.

Мне он не был знаком, и, честно говоря, впечатления не произвел. Излагал материал сумбурно, сбивчиво, дикция четко не отработана. Речь шла о методе аналогий, о системе понятий и системе решений, из которых я мало что понял. В конце занятия со мной произошел такой казус: я уронил карандаш и никак не мог найти его на полу. Как сквозь землю провалился. В результате все слушатели вышли из комнаты, а я все ищу, недоумевая, куда он мог закатиться. Андрей Николаевич (так он представился нам перед лекцией) поинтересовался, что я тут потерял. Я покраснел и ответил, что карандаш. После он спросил, понравился ли мне урок. Я совсем засмущался, еще больше покраснел, так как пришлось соврать. Он, конечно, все понял, и попросил разрешения полистать мой конспект. Тут нужно отметить мою привычку: писал лекции только на нечетных страницах, а оборотные стороны оставлял пустыми. Так мне советовала мама. Потому что иногда возникали вопросы, новые мысли, рассуждения по теме, а порой и вовсе из другой области. Для этого четные страницы оказывали важную услугу. Как раз эти страницы и привлекли внимание Андрея Николаевича. Там были записи моего наивного "доказательства" теоремы Ферма, попытки разработать способы построения магических квадратов, различные преобразования уравнения Эйлера с четырьмя кубами и многое другое. Последняя из названных проблем в то время меня больше всех интересовала. С какой-то книги я выписал решение.

Лектор, вдруг заулыбался, просветлел и неожиданно предложил пойти к нему домой со словами: где-то у меня есть нечто похожее: кажется, в письмах Линника. Я, естественно, ничего не понял, но любопытство взяло свое и согласился. Совершенно не помню, как и на чем добирались, но вот мы у него дома. В кабинете огромная библиотека, на столе кипа журналов и печатная машинка, на диване листы, листы и листы. Андрей Николаевич вытащил из ящика стола внушительную кипу писем. У меня глаза разгорелись, когда увидел на конвертах красочные марки с иностранными буквами. Про себя подумал: хорошо бы иметь их и собрать для коллекции эти перфорированные прямоугольнички! Наконец, он нашел нужный конверт протянул мне. Прочитал на нем: от Линника Юрия Владимировича. Вытащил длинное письмо на трех листах. И где-то в середине увидел действительно похожие выражения.
- Видишь, заметил лектор, - почти одно и то же, но степени побольше в два раза.
Я попросил разрешения переписать формулы в свою тетрадь, что с волнением и сделал. Благо, писал авторучкой с открытым пером (естественно, китайской), которую Андрей Николаевич мне любезно одолжил. Правда, позже (уже у себя дома) обнаружил, что допустил две опечатки в двух последних формулах и это мне стоило больших потуг, чтобы восстановить структуру выражений, при которых уравнение Эйлера строго соблюдалось.

На другой странице оказались еще две серии решений задачи о четырех кубах, но значительно более закрученные и непонятно как выведенные.
Их я списал более внимательно опечаток, к счастью, не сделал.
-Вот что, молодой человек, - уважительно сказал Андрей Николаевич, - проверьте правильность решений, попробуйте выяснить, являются ли формулы достаточными, чтобы выявить все четверки Эйлера, или же они покрывают только часть множества числовых вариантов. И еще: чем бы вам хотелось заниматься в сфере математики?
Я ответил, что пока не определился и пробую рассматривать несложные для понимания, но еще нерешенные проблемы. Например, проблему Гольдбаха. Еще пытаюсь выяснить: существуют ли две различные пифагоровы тройки, имеющие одинаковое произведение.

Лектор лишь усмехнулся и пожелал успехов.
Только спустя некоторое время я узнал, что судьба свела меня с двумя великими математиками: Андреем Николаевичем Колмогоровым и Юрием Владимировичем Линником. Более того - они определили мое хобби на всю жизнь, так как серьезно увлекся задачей о четырех кубах. Вот уж сорок шесть лет она не дает мне покоя.
Вторая встреча с Колмогоровым произошла уже в студенческие годы. Волей судьбы я оказался на лекции в МГУ. Было это примерно в 1971 году. Колмогоров популярно рассказывал о результатах нововведения в школьных учебниках и о журнале "Квант". После лекции я осмелился к нему подойти. Надо сказать, что у Колмогорова была прекрасная память и он сразу меня узнал, даже вспомнил дату нашей первой беседы у него дома. Я ему признался, что сильно увлекся уравнением Эйлера и нашел несколько вариантов, похожих на квадратичные представления Рамануджана. К сожалению, черновики с собой у меня не было, и беседа наша ограничилась лишь общими фразами. Он предложил опять встретиться на днях у него дома, но обстоятельства не сложились и больше мы не виделись. Зато он часто мелькал на экране телевизора и публиковал статьи в средствах массовой информации. А совсем недавно увидел в интернете его замечательные слова:

"Не существует сколько-нибудь достоверных тестов на одарённость, кроме тех, которые проявляются в результате активного участия хотя бы в самой маленькой поисковой работе."

Это крылатое выражение и стало ориентиром моей дальнейшей научной деятельности. Формулы, о которых я говорил выше, будут главными героями данной книги.

КРАТКО О МАТЕМАТИКЕ А.Н.КОЛМОГОРОВЕ

Если совсем коротко, то об этом гиганте можно написать так.
Величайший русский математик двадцатого века, создатель современной теории вероятностей, автор классических результатов в теории функций, в математической логике, топологии, теории дифференциальных уравнений, функциональном анализе, в теории турбулентности, теории гамильтоновых систем. Созданные им школы в теории вероятностей, теории функций, функциональном анализе и теории гамильтоновых систем определили развитие этих направлений математики в ХХ столетии. В истории российской науки его имя стоит рядом с такими именами, как М.В. Ломоносов и Д.И. Менделеев - учёных, всей своей жизнью прославивших Россию.
Сам Андрей Николаевич вспоминал, что с теорией чисел столкнулся еще в дошкольном возрасте, когда неожиданно для себя самостоятельно открыл удивительное свойство нечетных чисел:
1=1^2
1+3=2^2
1+3+5=3^2
.........
В 1978 году он в содружестве с А.П.Юшкевичем написал фундаментальный популярный исторический труд "Математическая логика. Алгебра. Теория чисел. Теория вероятностей". У меня всегда под рукой Большой энциклопедический словарь "Математика", изданный в 1988 году, введение к которому написал Андрей Николаевич Колмогоров.

Итог всего сказанного: я начал систематизировать задачу о четырех кубах.

Москва, 2017 г.