Задача о четырех кубах. Часть 3

РЕШЕНИЯ РАМАНУДЖАНА

Фигура Рамануджана как математика тем более удивительна, что его формальное образование было весьма ограниченным. Он родился 22 декабря 1887 г. в небогатой семье касты браминов в местечке Эрод на юге Индии и вырос в городке Кумбаконаме, где его отец служил бухгалтером в небольшой текстильной лавке. Его математический талант был замечен очень рано, и в возрасте 7 лет он получил право на стипендию для учёбы в средней школе Кумбаконама. Он поражал одноклассников тем, что помнил наизусть сложные математические формулы и много знаков числа ;.

В 12 лет Рамануджан изучил обширный труд С. Л. Лоуни «Плоская тригонометрия», включая рассмотренные там суммы и произведения бесконечных последовательностей, которым суждено было занять важное место в его последующих работах. Через три года Рамануджан достал книгу «Сборник элементарных результатов чистой математики» (Synopsis of Elementary Results in Pure Mathematics), содержащий свыше 6000 теорем (большей частью без доказательств) и составленный преподавателем Кембриджского университета Дж. Ш. Карром. Две эти книги и стали основой математической подготовки Рамануджана.

В 1903 г. Рамануджан был принят в местный колледж (входивший в состав Мадрасского университета. – Перев.). Однако поглощённый своими математическими изысканиями в ущерб всему остальному, он провалился на экзаменах; то же самое повторилось четыре года спустя в другом колледже в Мадрасе. После женитьбы в 1909 г. Рамануджан на время оставил своё увлечение и попробовал найти работу. К счастью, в 1910 г. по pекомендации многих сочувствующих Рамануджану индийских математиков на него обратил внимание богатый любитель и покровитель математики Р. Рамачандра Рао. Под впечатлением открытий, законспектированных Рамануджаном в его «Тетрадях», Рамачандра Рао предоставил ему ежемесячное пособие.

В 1912 г., желая всё-таки иметь работу, Рамануджан устроился бухгалтером в Трест мадрасского порта, который возглавлял английский инженер Френсис Спринг. Вместе с основателем Индийского математического общества В. Рамасвами Айяром они уговорили Рамануджана сообщить свои результаты трём известным английским математикам. Двое из них, по-видимому, не отозвались. Третьим был Г. Г. Харди из Кембриджского университета, признанный теперь самым выдающимся английским математиком того времени.

Харди, привыкший к письмам от всякого рода «умников», получив послание Рамануджана 16 января 1913 г., сначала был склонен его проигнорировать. Однако вечером того же дня он решил вместе с коллегой и близким другом Джоном И. Литлвудом поломать голову над списком из 120 формул и теорем, которые Рамануджан приложил к своему письму. Через несколько часов они «вынесли приговор» – перед ними работа не маньяка, а гения.

По составленной Харди позднее «шкале чистого таланта» для математиков Рамануджан получил 100 баллов, Литлвуд – 30, а себе Харди поставил 25. Немецкий математик Давид Гильберт, самая влиятельная фигура в математике того времени, заслужил только 80. Этот эпизод и то, что за ним последовало, по словам Харди, было единственным романтическим событием его жизни. Он писал, что некоторые формулы Рамануджана его совершенно ошеломили, но тем не менее «они, несомненно, верны, ибо если бы они были неверны, ни у кого не хватило бы воображения их выдумать».

 Харди немедленно пригласил Рамануджана приехать в Кембридж. Но серьезные возражения со стороны матери и собственные колебания задержали его отъезд до марта 1914 г. В течение следующих пяти лет Харди и Рамануджан работали совместно в Тринити-Колледже Кембриджского университета. Сочетание блестящего мастерства Харди-аналитика и фантастической интуиции Рамануджана привело к необычайно плодотворному сотрудничеству. Они опубликовали серию основополагающих работ о свойствах различных теоретико-числовых функций, открывавших путь для ответа на вопросы типа: каково наиболее вероятное число простых делителей у данного целого числа? Сколькими способами можно выразить натуральное число в виде суммы меньших натуральных чисел?

В 1917 г. Рамануджан стал действительным членом Лондонского королевского общества и профессором Кембриджского университета. Впервые индиец был удостоен того и другого звания. Слава его росла, однако здоровье резко ухудшилось. В военное время, когда в Великобритании остро ощущалась нехватка продовольствия, трудно было придерживаться вегетарианской диеты, которую он строго соблюдал. Рамануджан не раз попадал в больницу, но поток его новых результатов не иссякал. В 1919 г., когда война закончилась и путешествия за границу снова стали безопасными, он вернулся в Индию. Ставший кумиром молодых индийских интеллектуалов 32-летний Рамануджан умер 26 апреля 1920 г.

Коснулся он и задачи о четырех кубах. Его решения, как всегда, изящны (см. Рисунок). Тем не менее, каждая из трех его моделей (по прикидкам самого гения) дает не более 12 процентов чисел Эйлера. Но нет никаких сомнений, что Рамануджан смог бы отыскать серию формул, дающие все варианты, займись он задачей более основательно, а не урывками. Хотя вопрос этот спорный. Ведь если рассмотреть только коэффициенты его первого решения, а именно:

+3+5-5
+4-4+6
+5-5-3
+6-4+4

то ближайшее подобное решение:

+3172+5576-5576
+5409-5409+7137
+5576-5576-3172
+7137-5409+5409

Думаю, что без компьютера такие числа даже супер гений не обнаружит.


Москва. 2017 г.